Máximos e Mínimos Condicionados

Problema: Determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função $z=f(x,y)$ com a condição de que os pontos $(x,y)$ pertençam à curva $g(xy)=0$.

Solução: Se pudermos explicitar $y=h(x)$ ou $x=h(y)$ na equação $g(x,y)=0$, substitui-se na função $z=f(x,y)$ e teremos que resolver um problema de maximizar ou minimizar uma função de uma variável em $x$, $z=f(x,h(x))$, ou em y, $z=f(h(y),y)$ em um intervalo fechado. Se isto não for possível, empregamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que se baseia no seguinte teorema: Se P é um ponto de máximo ou mínimo de $z=f(x,y)$ sobre uma curva $g(x,y)=0$, onde $\nabla g(P) \neq 0$, então, $\nabla f(P)=\lambda\nabla g(P)$ para alguma constante $\lambda$.

A figura abaixo mostra o problema de maximizar e minimizar a função $z=f(x,y)=1+(x-1)^2+(y-1)^2$ com a condição de que $(x,y)$ pertença à curva $g(x,y)=(x-1)^2+\dfrac{(y-1)^2}{4}$, elipse azul.

Note que os pontos de máximos e mínimos se encontram nos vértices da elipse.