Multiplicadores de Lagrange
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O plano $4x - 3y + 8z = 5$ intercepta o cone $z^2 = x^2 + y^2$ em uma elipse.
Faça os gráficos do cone, do plano e da elipse.
Use os multiplicadores de Lagrange para achar os pontos mais alto e mais baixo da elipse.
Gráficos.
Ponto mais alto: $\displaystyle \left( -\frac{4}{3}, 1,\frac{5}{3} \right)$ e ponto mais baixo: $\displaystyle \left( \frac{4}{13}, -\frac{3}{13},\frac{5}{13} \right).$
Embora $\nabla f = \lambda \nabla g$ seja uma condição necessária para a ocorrência de um valor extremo de $f(x,y)$ sujeito à restrição $g(x,y) = 0$, ela não garante por si só que ele exista. Como um exemplo, tente usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor máximo de $f(x,y) = x + y$ sujeito à restrição $xy = 16$. O método identificará os dois pontos $(4,4)$ e $(-4,-4)$ como candidatos para a localização dos valores extremos. Ainda assim, a soma $x + y$ não tem valor máximo sobre a hipérbole. Quanto mais distante você está da origem nessa hipérbole no primeiro quadrante, maior se torna a soma $f(x,y) = x + y$.
Note que quando $x \to 0,$ tem-se $y \to \infty$ e $f(x,y) \to \infty;$ e quando $x \to -\infty,$ tem-se $y \to 0$ e $f(x,y) \to -\infty,$ logo não há valores máximo e mínimo de $f$ sujeito a esta restrição.
Encontre os pontos da elipse $x^2 + xy + y^2 = 3$ mais próximos e mais distantes da origem.
A distância entre um ponto $(x,y)$ e a origem $(0,0)$ é
$$d=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$$
Mas a álgebra fica mais simples se maximizarmos e minimizarmos o quadrado da distância:
$$d^{2}=f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$$
A restrição é que os pontos pertencem a elipse, ou seja,
$$g(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}=3$$
De acordo com os multiplicadores de Lagrange, resolvemos $\nabla f=\lambda \nabla g$ e $g=3.$ Então
$$\nabla f(x,y)=(2x,2y)$$
e
$$\lambda \nabla g(x,y)=\lambda(2x+y,x+2y)=(2x\lambda+y\lambda,2y\lambda+x \lambda).$$
Logo temos,
\begin{array}{rcl}2x=2x\lambda+y\lambda\\2y=2y\lambda+x\lambda\\x^{2}+xy+y^{2}=3\\end{array}
Se $\lambda=0$ teremos que $x=0$ e $y=0$, mas esses valores não satisfazem equação $(3)$. Logo $\lambda \neq 0$ e multiplicando
ambos os lados da equação $(1)$ por $\dfrac{y}{\lambda}$ e ambos os lados da equação $(2)$ por $\dfrac{x}{\lambda}$, obtemos que
$$\frac{2xy}{y}=2xy+y^{2}\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{2xy}{y}=2xy+x^{2}.$$
Logo,
$$y^{2}=x^{2}\Rightarrow y=x\;\;\;\; \mbox{ou}\;\;\;\; y=-x.$$
Se $y=x$ temos que da equação $(3)$ que $x^{2}+x^{2}+x^{2}=3\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1.$
Logo temos os pontos $(1,1)$ e $(-1, -1).$
Se $y=-x$ temos que da equação $(3)$ que $x^{2}-x^{2}+x^{2}=3\Rightarrow x^{2}=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}.$
Logo temos os pontos $(\sqrt{3},-\sqrt{3})$ e $(-\sqrt{3},\sqrt{3}).$
Os valores de $f$ nesses pontos são:
$$f(1,1)=f(-1,-1)=2\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\;\;\;\;\; f(\sqrt{3},-\sqrt{3})=f(-\sqrt{3},\sqrt{3})=6.$$
Portanto, $(1,1)$ e $(-1, -1)$ são os pontos mais próximos e $(\sqrt{3},-\sqrt{3})$ e $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ os pontos mais afastados da origem $(0,0).$
Determine os valores extremos de $f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 - 4x - 5$ na região descrita por $x^2 + y^2 \leq 16$.
Valor máximo: $f(-2, \pm 2 \sqrt{3}) = 47$ e valor mínimo $f(1,0) = -7.$
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = xy$ e $x^2 + 4y^2 = 8.$
Pontos de máximo: $\displaystyle \left(2,1\right)$ e $(-2,-1)$; pontos de mínimo: $\displaystyle \left(-2,1\right)$ e $(2,-1)$.
Determine o plano tangente à superfície $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$, com $x > 0$, $y > 0$ e $z > 0$, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano $ax + by + cz = d$ no primeiro octante é dado por $V = d^3/(6abc)$.)
$6x + 4y + 3z = 12\sqrt{3}.$
Encontre o ponto da curva $x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ mais próximo da origem.
$\displaystyle \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right).$
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = 3x + y$ e $x^2 + 2y^2 = 1.$
Ponto de máximo: $\displaystyle \left( \frac{6}{\sqrt{38}}, \frac{1}{\sqrt{38}} \right)$; ponto de mínimo: $\displaystyle \left( -\frac{6}{\sqrt{38}}, -\frac{1}{\sqrt{38}} \right)$.
Determine a curva de nível de $f(x,y) = x^2 + 16y^2$ que seja tangente à curva $xy = 1$, $x>0$ e $y>0$. Qual o ponto de tangência?
$x^{2} + 16 y^{2} = 8;$ o ponto de tangência é $\displaystyle \left( 2, \frac{1}{2} \right).$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
$$f(x,y) = x^2 + 2y^2 - x$$
no conjunto $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1 \}$.
Valor máximo: $\dfrac{9}{4};$ valor mínimo: $-\dfrac{1}{4}.$
Determine os pontos da elipse $\mathcal{D} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1 \right\}$ que fornecem o maior e o menor valor da função $f(x,y) = xy$.
Pontos de máximo: $(2,1)$ e $(-2,-1);$ pontos de mínimo: $(-2,1)$ e $(2,-1).$
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y,z) = 2x + 6y + 10z; \quad x^2 + y^2 + z^2 = 35.$
Valor máximo: $70;$ valor mínimo: $-70.$
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 - 2xy + 3y^2$ e $x^2 + 2y^2 = 1.$
Pontos de máximo: $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ e $\displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$; pontos de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} \right)$ e $\displaystyle \left( -\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$.
Sejam \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) os ângulos de um triângulo.
Use multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo de \(f(\alpha,\beta,\gamma)=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\) e determine os ângulos para os quais o máximo ocorre.
Expresse \(f(\alpha,\beta,\gamma)\) como uma função apenas de \(\alpha\) e \(\beta\) e use um software de apoio computacional para fazer o gráfico dessa função de duas variáveis. Confirme que o resultado obtido no item anterior é consistente com o gráfico.
\(\alpha = \beta=\gamma=\pi/3\) e valor máximo \(=1/8\).
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 - 2xy + y^2$ e $x^2 + y^2 = 1.$
Pontos de máximo: $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ e $\displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$; ponto de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n; \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1.$
Valor máximo: $\sqrt{n};$ valor mínimo: $-\sqrt{n}.$
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y) = x^2y; \quad x^2 + 2y^2 = 6.$
Valor máximo: $4;$ valor mínimo: $-4.$
A produção total $P$ de certo produto depende da quantidade $L$ de trabalho empregado e da quantidade $K$ de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 do livro do Stewart, foi discutido o modelo Cobb-Douglas $P = bL^\alpha K^{1-\alpha}$ seguido de certas hipóteses econômicas, em que $b$ e $\alpha$ são constantes positivas e $\alpha < 1$. Se o custo por unidade de trabalho for $m$ e o custo por unidade de capital for $n$, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade $p$ de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção $P$ estará sujeita à restrição $mL + nK = p$. Mostre que a produção máxima ocorre quando
$$L = \dfrac{\alpha p}{m} \quad \text{e} \quad K = \dfrac{(1 - \alpha)p}{n}.$$
Encontre todos os extremos relativos de \(x^2y^2\) sujeitos à restrição \(4x^2+y^2=8\). Faça-o de duas maneiras: primeiro, usando restrições para eliminar uma variável e, em seguida, utilizando multiplicadores de Lagrange como variáveis auxiliares.
Ocorre máximo absoluto de \(4\) em \((\pm 1,\pm 2)\); mínimo absoluto de valor \(0\) em \((\pm\sqrt{2},0)\) e \((0,\pm 2\sqrt{2})\).
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y,z) = yz + xy; \quad xy = 1, \quad y^2 + z^2 = 1.$
Valor máximo: $\dfrac{3}{2};$ valor mínimo: $\dfrac{1}{2}.$
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4; \quad x^2 + y^2 + z^2 = 1.$
Valor máximo: $1;$ valor mínimo: $\dfrac{1}{3}.$
Encontre os pontos da curva $x^2 - 6xy - 7y^2 + 80 = 0$ mais próximos da origem. Desenhe a curva.
$(1,3)$ e $(-1,-3).$ Realizando a mudança de coordenadas $x = \frac{1}{\sqrt{10}} u - \frac{3}{\sqrt{10}} v$ e $y = \frac{3}{\sqrt{10}} u + \frac{1}{\sqrt{10}} v,$ a equação da curva inicial é transformada em $\frac{u^{2}}{10} - \frac{v^{2}}{40} = 1,$.
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 - 2y^2$ e $x^2 + y^2 - 2x = 0.$
Ponto de máximo: $\displaystyle \left( 2,0 \right)$; pontos de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{2}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$ e $\displaystyle \left( \frac{2}{3}, \frac{-2\sqrt{2}}{3} \right)$.
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto sobre a parábola $y = x^2$ que se encontra mais próximo do ponto $(0,1) \in \mathbb{R}^2.$
$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} \right)$ e $\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} \right).$
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$ e $x + 2y = 3.$
Ponto de máximo local: $\displaystyle \left(- \frac{13}{7}, \frac{17}{7} \right)$; ponto de mínimo local: $\displaystyle \left( 1,1 \right)$.
Determine o valor máximo de $f(x,y,z) = 6x + z$ sobre a curva de interseção das superfícies $x^2 + y^2 = 4$ e $z = x^2 - 2y^2$.
$16.$
Mostre que o valor máximo de $a^2b^2c^2$ sobre uma esfera de raio $r$ centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas $(a,b,c)$ é $(r^2/3)^3$.
Usando o item anterior, mostre que, para números não negativos $a$, $b$ e $c$,
$$(abc)^{\frac{1}{3}} \leq \frac{a + b + c}{3},$$
isto é, a média geométrica de três números não negativos é menor que ou igual à média aritmética.
Use multiplicadores de Lagrange para maximizar $f(a,b,c) = a^{2}b^{2}c^{2}$ sujeita a restrição $a^{2} + b^{2} + c^{2} = r^{2}.$
Como $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ está na esfera $a + b + c = r^{2},$ pelo item 1 segue que $abc = f(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}) \leq \left(\dfrac{r^{2}}{3}\right)^{3} = \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^{3}.$
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = 3x + y$ e $x^2 + 2y^2 \leq 1.$
Ponto de máximo: $\displaystyle \left( \frac{6}{\sqrt{38}}, \frac{1}{\sqrt{38}} \right)$; ponto de mínimo: $\displaystyle \left( -\frac{6}{\sqrt{38}}, -\frac{1}{\sqrt{38}} \right)$.
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 + 4y^2$ e $xy = 1$, $x > 0$ e $y>0.$
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 + 2y^2$ e $3x + y = 1.$
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{6}{19}, \frac{1}{19} \right)$.
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
$f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$ e $x + 2y - 1 = 0.$
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left(-1,1 \right)$
Determine os valores de máximo e mínimo de $f(x,y,z) = x^2 - yz$ em pontos da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
Valor máximo: $1;$ valor mínimo: $\displaystyle -\frac{1}{2}.$
Determine o ponto do elipsóide $x^2 + 4y^2 + z^2 = 1$ que maximiza a soma $x + 2y + z$.
$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right).$
Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante $p$, é equilátero.
(Sugestão: Utilize a fórmula de Heron para a área:
$$A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)},$$
em que $s = p/2$ e $x,y$ e $z$ são os comprimentos dos lados.)
Utilizando a fórmula de Heron temos que a área e um triânulo é
$$A=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)},$$
com $s=p/2$ e $x,\,y,\,z$ lados do triângulo.
Mas a álgebra fica mais simples se maximizarmos o quadrado da área, isto é,
$$A^{2}=f(x,y,z)=s(s-x)(s-y)(s-z).$$
A restrição é que o triângulo têm perímetro constante $p$, ou seja,
$$g(x,y,z)=x+y+z=p.$$
De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, resolvemos $\nabla f=\lambda \nabla g$ e $g=p.$ Então
$$\nabla f(x,y,z)=(\,-s(s-y)(s-z),\, -s(s-x)(s-z),\,-s(s-x)(s-y)\,)$$
e
$$\lambda \nabla g(x,y,z)=\lambda (1,1,1)=(\lambda, \lambda, \lambda).$$
Logo temos as seguintes equações
\begin{array}{rcl}-s(s-y)(s-z)&=&\lambda\\-s(s-x)(s-z)&=&\lambda\\-s(s-x)(s-y)&=&\lambda\\x+y+z&=&p\end{array}
Assim, das três primeiras equações, temos que
$$-s(s-y)(s-z)=-s(s-x)(s-z)=-s(s-x)(s-y).$$
Da primeira igualdade obtemos que $s-y=s-x\Rightarrow y=x$ e da segunda igualdade obtemos que $s-z=s-y\Rightarrow z=y$, resultando que $x=y=z.$
Portanto, o triângulo com área máxima e perímetro constante $p$ é um triângulo equilátero.
Determine os pontos da superfície $xyz = 1$ que estão mais próximos da origem.
$(1,1,1),$ $(1,-1,-1),$ $(-1,1,-1)$ e $(-1,-1,1).$
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y) = 4x + 6y; \quad x^2 + y^2 = 13.$
Valor máximo: $26;$ valor mínimo: $-26.$
Determine o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo de $(14,1)$.
$(2,4).$
Determine o ponto da reta $x + 2y = 1$ cujo produto das coordenadas seja máximo.
$\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right).$
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
$f(x,y) = x^2 + y^2; \quad xy = 1.$
Não há valor máximo; valor mínimo: $2.$
O plano $x + y + 2z = 2$ intercepta o paraboloide $z = x^2 + y^2$ em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.
Mais próximo: $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$ e mais distante: $\displaystyle \left( -1,-1,2 \right).$