Máximos e mínimos
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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=4+x^{3}+y^{3}-3xy$.
Ponto de mínimo: $(1,1);$ ponto de sela: $(0,0).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=-x^{2}+y^{2}+2xy+4x-2y$.
Ponto de sela: $\displaystyle \left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}-5$.
Ponto de mínimo : $\displaystyle \left( \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}\right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(-1,1\right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}+3xy+4y^{2}-6x+2y$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{54}{7}, -\frac{22}{7} \right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{5}+y^{5}-5x-5y$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 1,1\right);$ ponto de máximo: $\displaystyle \left( -1,-1\right);$ pontos de sela: $\displaystyle \left(1,-1\right)$ e $\displaystyle \left(-1,1\right).$
Considere a função
$$f(x,y)=-\frac{y^{2}}{2}+3x^{2}-2x^{3}.$$
Determine e classifique os pontos críticos de $f.$
Mostre que a curva de nível $f(x,y)=0$ com $x\geq 0$ é uma curva fechada, isto é, é a fronteira de uma região $R$ limitada do plano $xy.$ Calcule o valor máximo de $f$ nessa região $R$.
Pontos críticos: $(0,0)$ e $(1,0).$ Ponto de máximo: $(1,0);$ ponto de sela: $(0,0).$
$\max \{ f(s); s\in R \} =1$.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=xy^{2}$, $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x\geq 0,\;y\geq 0,\;x^{2}+y^{2}\leq3\}.$
Valor máximo: $2;$ valor mínimo: $0.$
Determine a menor distância entre o ponto $(2,1,-1)$ e o plano $x+y-z=1$.
$\sqrt{3}.$
\]
Determine o volume máximo da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano $x+2y+3z=6.$
Vamos maximizar a função:
$$f(x,y)=x\cdot y\cdot \bigg(\dfrac{6-x-2y}{3}\bigg)=\dfrac{6xy-x^{2}y-2xy^{2}}{3},$$
então o volume máximo é $V=x \cdot y \cdot z.$
Para encontrar os pontos críticos devemos encontrar as derivadas parciais $f_{x}$ e $f_{y}.$ Assim,
$$f_{x}(x,y)=\frac{6y-2xy-2y^{2}}{3}\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\;\;\;\;\; f_{y}(x,y)=\frac{6x-x^{2}-4xy}{3}.$$
Fazendo $f_{x}=0$ e $f_{y}=0$, obtemos o seguinte sistema de equações
$$\left \{\begin{array}{cc}6y-2xy-2y^{2}=0\\6x-x^{2}-4xy=0\\\end{array}\right.$$
Da primeira equação obtemos
$$y=0 \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{ou}\;\;\;\;\;\;\;\; y=3-x.$$
Como, $y=0$ não satifaz as condicões, vamos analisar o caso onde $y=3-x.$ Substituindo esse valor na segunda equação obtemos
$$x=0\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{ou}\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^{2}-6x=0.$$
Novamente, como $x=0$ não satisfaz as condições, vamos analisar o caso onde $3x^{2}-6=0$. Logo, obtemos
$$x=0\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{ou} \;\;\;\;\;\;\;\; x=2.$$
Novamente, $x=0$ não nos interessa. Assim, sendo $x=2$ obtemos que $y=1$ e $z=\dfrac{2}{3}.$ Portanto, o volume máximo da maior caixa, nas condições do exercício, será
$$V=(2)\cdot(1)\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$
Seja
$$f(x,y)=k(x-y)^{2}+\frac{y^{4}}{2}-\frac{y^{2}}{2},\;\;k\neq 0.$$
Encontre os pontos críticos da função $f$.
Classifique os pontos críticos da função $f$ no caso em que $k>0$.
$(0,0), (1,1)$ e $(-1,-1).$
Pontos de mínimo: $(1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de sela: $(0,0).$
Mostre que $f(x,y)=x^{2}+4y^{2}-4xy+2$ tem um número infinito de pontos críticos e que $f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0$ em cada um. A seguir, mostre que $f$ tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
Note que todos os pontos críticos são da forma $\displaystyle \left(x,\frac{1}{2}x \right)$ e que $f(x,y) = (x - 2y)^{2} + 2 \geq 2,$ com igualdade justamente se $\displaystyle y = \frac{1}{2}x.$
Agora, queremos ver que $f_{xx}f_{yy}-f_{xy} ^{2}=0$ em todos os pontos críticos. Para isso, calculemos as segundas derivadas de $f$ \[ f_{xx}(x,y)=2, f_{xy}(x,y)=-4 \text{ e } f_{yy}(x,y)=8. \] Daí temos que $f_{xx}f_{yy}-f_{xy} ^{2}=2\cdot 8-(-4)^{2}=16-16=0$, como queríamos.
Por fim, queremos ver que esses pontos críticos são pontos de mínimo de $f$, mas como $f_{xx}f_{yy}-f_{xy} ^{2}=0$ o Teste de Derivada Segunda é inconclusivo. Mas, note que $f$ pode ser reescrita como \[ f(x,y)=x^2+4y^2-4xy+2=(x-2y)^2+2. \]
Como $(x-2y)^2\geq 0$, segue que $f(x,y)\geq 2$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^2$. Em particular, se tomamos um ponto crítico de $f$, isto é, um ponto da forma $(2y,y)$ então $f(2y,y)=2$. Provando que os pontos críticos são pontos de mínimo de $f$.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=(2x-x^{2})(2y-y^{2})$, $D$ é a região do plano $xy$ dada por $0\leq y\leq 2(2x-x^{2})$.
Valor máximo: $1;$ valor mínimo: $0.$
Determine os pontos do gráfico de $xy^{3}z^{2}=16$ mais próximos da origem.
$\displaystyle \left( \frac{2}{\sqrt[4]{12}}, \sqrt[4]{12}, \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{12}}\right),$ $\displaystyle \left( \frac{2}{\sqrt[4]{12}}, \sqrt[4]{12}, - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{12}}\right),$ $\displaystyle \left( -\frac{2}{\sqrt[4]{12}}, \sqrt[4]{12}, \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{12}} \right)$ e $\displaystyle \left( -\frac{2}{\sqrt[4]{12}}, \sqrt[4]{12}, - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt[4]{12}} \right).$
Determine a menor distância entre os planos paralelos $2x+3y-z=2$ e $2x+3y-z=4.$
$\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}$.
Ponto de máximo: $\displaystyle \left( -1, \frac{1}{2} \right).$
Determine $(x,y)$, com $x^{2}+4y^{2}\leq 1$, que maximiza a soma $2x+y.$
$\displaystyle \left( \frac{4\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{34} \right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+xy$, $x>0$ e $y>0$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 2^{2/5}, 2^{-1/5} \right).$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=2x^{3}+y^{4}$, $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$
Valor máximo: $2;$ valor mínimo: $-2.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{y^{2}-x^{2}}$.
Ponto de mínimo: $(0,0);$ pontos de sela: $(1,0)$ e $(-1,0).$
Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de $f(x,y)=4+x^{3}+y^{3}-3xy$ e se $f$ tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.
$f$ possui um ponto de sela em $(0,0)$ e um mínimo local em $(1,1).$
Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de $32000\;cm^{3}$. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
$40$cm $\times$ $40$cm $\times$ $20$cm.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=x^{2}+3xy-3x$ em $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 0,\;y\geq 0\; \text{e} \;x+y\leq 1\}.$
Valor máximo: $\displaystyle 0;$ valor mínimo: $-2.$
Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, que possa ser inscrita no elipsóide $16x^{2}+4y^{2}+9z^{2}=144.$
$\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{12}{\sqrt{3}}.$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=3+xy-x-2y$, $D$ é a região triangular fechada com vértices $(1,0)$, $(5,0)$ e $(1,4).$
Valor máximo: $2;$ valor mínimo: $-2.$
Determine os pontos da superfície $y^{2}=9+xz$ que estão mais próximos da origem.
$(0,3,0)$ e $(0,-3,0).$
Determine os pontos do cone $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ que estão mais próximos do ponto $(4,2,0).$
$(2,1,\sqrt{5})$ e $(2,1,-\sqrt{5}).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=xy+2x-\ln(x^{2}y)$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right).$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4$, $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x|\leq 1, \; |y|\leq 1\}.$
Valor máximo: $7;$ valor mínimo: $4.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=e^{x}\cos{y}$.
Não há pontos críticos.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=x^{2}-2xy+2y^{2}$ em $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \;|x|+|y|\leq 1\}.$
Valor máximo: $\displaystyle 2;$ valor mínimo: $0.$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=3x-y$ no conjunto $D$ de todas $(x,y)$ tais que $x\geq 0$, $y\geq 0$, $y-x\leq 3$, $x+y\leq 4$ e $3x+y\leq 6.$
Valor máximo: $6;$ valor mínimo: $-3.$
Considere a função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+2xy-x-y+1$ no quadrado $0\leq x\leq 1$ e $0\leq y\leq 1$.
Mostre que $f$ tem um mínimo absoluto ao longo do segmento de reta $2x+2y=1$ nesse quadrado. Qual é o valor mínimo absoluto?
Encontre o valor máximo absoluto de $f$ no quadrado.
$\displaystyle \frac{3}{4}.$
$f(1,1) = 3.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=y\cos{x}$.
Sendo $f(x,y)=y\,\cos x$, vamos inicialmente localizar seus pontos críticos:
$$f_{x}(x,y)=-y\,\sin x \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;\;\; f_{y}(x,y)=\cos x.$$
Igualando essas derivadas parciais a zero, obtemos as equações
$$y\,\sin x=0 \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;\;\; \cos x=0.$$
Da segunda equação obtemos que $x=\bigg(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\bigg)$, $n\in \mathbb{Z}.$ Da primeira equação temos que $y=0$ para todos essas $x$-valores.
Assim, os pontos críticos são $\bigg(\dfrac{\pi}{2}+n\pi,0\bigg).$ Agora,
$$f_{xx}(x,y)=-y\,\cos x,\;\;\;\;\;\; f_{xy}(x,y)=-\sin x\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e}\;\;\;\;\;\; f_{yy}(x,y)=0.$$
Então
\begin{array}{rcl}D(x,y)&=&(f_{xx}(x,y))\cdot (f_{yy}(x,y))-(f_{xy}(x,y))^{2}\\&\Rightarrow& D\bigg(\dfrac{\pi}{2}+n\pi,0\bigg)=0-\sin^{2}x=-\sin^{2}x<0.\end{array}
Portanto, cada ponto crítico é ponto de sela.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}$.
Sendo $f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}$, vamos inicialmente localizar seus pontos críticos:
$$f_{x}(x,y)=3x^{2}-12y \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;\;\; f_{y}(x,y)=-12x+24y^{2}.$$
Igualando essas derivadas parciais a zero, obtemos as equações
$$x^{2}-4y=0 \;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{e} \;\;\;\;\;\;\;\; 2y^{2}-x=0.$$
Para resolvê-las, substituímos $x=2y^{2}$ da segunda equação na primeira. Isso resulta em
$$0=y^{4}-y=y(y^{3}-1)$$
e existem duas raízes reais $y=0$ e $y=1.$ Os dois pontos críticos de $f$ são $(0,0)$ e $(2,1).$\\
Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais e $D(x,y)$:
$$f_{xx}(x,y)=6x\,\,\,\, f_{xy}(x,y)=-12 \;\;\;\; f_{yy}(x,y)=48y$$
$$\begin{split}D(x,y)&=f_{xx}(x,y)\cdot f_{yy}(x,y)-(f_{xy}(x,y))^{2}\\&=(6x)\cdot (48y)-(-12)^{2}=288xy-144.\end{split}$$
Como $D(0,0)=-144<0$, segue do Teste da Derivada Segunda que $(0,0)$ é um ponto de sela, ou seja, $f$ não tem nem máximo local nem mínimo local em $(0,0).$ Como $D(2,1)=432>0$ e $f_{xx}(2,1)=12>0$, vemos do Teste da Derivada Segunda que $f(2,1)=-8$ é um mínimo local.
Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio $r.$
$\displaystyle \frac{8}{3\sqrt{3}} r^{3}.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}-2y^{2}$.
Pontos de mínimo: $(-1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de máximo: $(0,0);$ pontos de sela: $(0,1), (0,-1), (1,0)$ e $(-1,0).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}-5x$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{5}{3}, -\frac{5}{3} \right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(-1,1\right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}-3x^{2}+27y$.
Pontos de sela: $\displaystyle \left(3,\frac{3}{2}\right)$ e $\displaystyle \left(-3,-\frac{3}{2}\right).$
Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de $f(x,y)=3x-x^{3}-2y^{2}+y^{4}$ e se $f$ tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.
$f$ possui um ponto de máximo local em $(1,0),$ pontos de sela em $(1,1),$ $(1,-1)$ e $(-1,0)$ e pontos de mínimo local em $(-1,1)$ e $(-1,-1).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}$.
Ponto de mínimo : $\displaystyle \left( 2,1\right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(0,0\right).$
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante $c$.
A caixa é um cubo com arestas de comprimento $\dfrac{c}{12}.$
Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades $x$ e $y$ estejam relacionadas linearmente, ou seja, $y=mx+b$, pelo menos aproximadamente, para algum valor de $m$ e de $b$. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos $(x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), \ldots, (x_{n},y_{n})$, e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes $m$ e $b$ para que a reta $y=mx+b$ ``ajuste" os pontos tanto quanto possível (veja a figura). Seja $d_{i}=y_{i}-(mx_{i}+b)$ o desvio vertical do ponto $(x_{i},y_{i})$ da reta. O {\bf método dos mínimos quadrados} determina $m$ e $b$ de modo a minimizar $\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}$, a soma dos quadrados dos desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a reta de melhor ajuste é obtida quando
$$m\sum_{i=1}^{n}x_{i}+bn=\sum_{i=1}^{n}y_{i}$$
$$m\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$$
Assim, a reta é determinada resolvendo esse sistema linear de duas equações nas incógnitas $m$ e $b.$
As duas equações são obtidas como pontos críticos da função $\displaystyle \sum^{n}_{i = 1} d_{i}^{2} = \sum^{n}_{i = 1} \left(y_{i} - (mx_{i} + b) \right)^{2} = f(m,b).$ Note que de fato pontos satisfazendo as equações são pontos de mínimo de $f.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4$.
Pontos de mínimo: $(1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de sela: $(0,0).$
Determine os pontos críticos da função
$$f(x,y)=-(x^{2}-1)^{2}-(x^{2}y-x-1)^{2}.$$
Calcule os valores assumidos por $f$ nos pontos críticos. É possível classificar os pontos críticos sem utilizar o críterio da derivada segunda? Se for possível, classifique-os e justifique a resposta.
$(1,2)$ e $(-1,0).$
$f(1,2) = f(-1,0) = 0.$ Note que $f(x,y) \leq 0,$ o que implica que $(1,2)$ e $(-1,0)$ são pontos de máximo.
Três alelos (versões alternativas de um gene) $A$, $B$ e $O$ determinam os quatro tipos de sangue: $A$ ($AA$ ou $AO$), $B$ ($BB$ ou $BO$), $O$ ($OO$) e $AB$. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é $P=2pq+2pr+2rq$, onde $p$, $q$ e $r$ são as proporções de $A$, $B$ e $O$ na população. Use o fato de que $p+q+r=1$ para mostrar que $P$ é no máximo $\dfrac{2}{3}$.
É preciso maximizar de $P = 2q - 2q^{2} + 2r - 2r^{2} -2rq$ no conjunto delimitado pelas retas $q = 0,$ $r = 0$ e $q + r = 1.$ O ponto de máximo ocorre em $\displaystyle \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right),$ no qual o valor de $P$ é justamente $\dfrac{2}{3}.$
Suponha que $T(x,y)=4-x^{2}-y^{2}$ represente uma distribuição de temperatura em uma região que pode ser aproximada por um plano. Seja $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 0,\;y\geq x\;\text{e}\;2y+x\leq 4\}$. Determine o ponto de $D$ de menor temperatura.
$(0,2).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}+y^{3}+xy-3x-4y+5$.
Ponto de mínimo : $\displaystyle \left( 1,1\right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{4}+xy+y^{2}-6x-5y$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 1,2\right).$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=y^{2}-x^{2}$ em $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^{2}+y^{2}\leq 4\}.$
Valor máximo: $\displaystyle 4;$ valor mínimo: $-4.$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=xy$ em $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x\geq 0,\;y\geq 0\;\text{e}\;2x+y\leq 5\}.$
Valor máximo: $\displaystyle \frac{25}{8};$ valor mínimo: $\displaystyle 0.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}$.
Ponto de máximo: $\displaystyle \left(0,2 \right).$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=x^{3}-3x-y^{3}+12y$, $D$ é o quadrilátero cujos vértices são $(-2,3)$, $(2,3)$, $(2,2)$ e $(-2,-2).$
Valor máximo: $18;$ valor mínimo: $-18.$
Determine três números positivos cuja soma é $100$ e cujo produto é máximo.
$\displaystyle x = y = z = \frac{100}{3}.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{4}+y^{4}+4x+4y$.
Ponto de mínimo : $(-1,-1).$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}+2xy+4y^{2}-6x-12y}$.
Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 2,1\right).$
Entre todos os pontos do gráfico de $z=10-x^{2}-y^{2}$ que estão acima do plano $x+2y+3z=0$, encontre o ponto mais afastado do plano.
$\displaystyle \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{355}{36} \right).$
Determine o valor máximo de $f(x,y)=x+5y$, onde $x$ e $y$ estão sujeitos às restrições: $5x+6y\leq 30$, $3x+2y\leq 12$, $x\geq 0$ e $y\geq 0.$
$25.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=xy-2x-y$.
Ponto de mínimo: $(2,1);$ ponto de sela: $(0,0).$
Suponha que $(0,2)$ seja um ponto crítico de uma função $g$ com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre $g$?
$g_{xx}(0,2)=-1, \quad g_{xy}(0,2)=6, \quad g_{yy}(0,2)=1.$
$g_{xx}(0,2)=-1, \quad g_{xy}(0,2)=2, \quad g_{yy}(0,2)=-8.$
$g_{xx}(0,2)=4, \quad g_{xy}(0,2)=6, \quad g_{yy}(0,2)=9.$
$g$ possui um ponto de sela em $(0,2).$
$g$ possui um ponto de máximo local em $(0,2).$
Não se pode afirmar algo sobre $g$ pelo Teste da Segunda Derivada.
Para fazer essa análise sobre $g$ iremos utilizar o Teste da Segunda Derivada.
Temos que- \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=-1\cdot 1-6^2=-1-36=-37<0. \] Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, segue que $(0,2)$ é um ponto de sela de $g$.
- Temos que \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=(-1)\cdot (-8)-2^2=8-4=4>0. \] Como $D>0$ e $g_{xx}(0,2)<0$, pelo Teste da Segunda Derivada, segue que $(0,2)$ é um ponto de máximo de $g$.
- Temos que \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=4\cdot 9-6^2=36-36=0. \] Como $D=0$ o Teste da Segunda Derivada não nos fornece nenhuma informação sobre $g$.
Mostre que $(0,0)$ é um ponto crítico de $f(x,y)=x^{2}+kxy+y^{2}$, não importando o valor da constante $k$.
Note que $f_{x} (0,0) = f_{y} (0,0) = 0.$
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ no conjunto $D.$
$f(x,y)=3x-y$ em $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$
Valor máximo: $\displaystyle \frac{8\sqrt{10}}{10};$ valor mínimo: $-\sqrt{10}.$
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}-4xy+4y^{2}-x+3y+1$.
Não há pontos críticos.