Mudança de variáveis
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A região limitada por $y = 1 + x^2,$ pelo eixo $x$ e pelas retas $x = 0$ e $x = 1.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{\cos{(x-y)}}{\sin{(x+y)}} \, dA$, em que $R$ é a região trapezoidal com vértices $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$ e $(0,1)$.
$1.$
Uma esfera astroidal tem equação \(x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}\). Encontre o volume do sólido compreendido por uma esfera astroidal usando uma integral tripla e a transformação \begin{align*} x & = \rho (\sin\phi\cos\theta)^3, \\ y & = \rho (\sin\phi\sin\theta)^3, \\ z & = \rho (\cos\phi)^3, \end{align*} para a qual \(0\leq\rho\leq a\), \(0\leq\phi\leq\pi\), \(0\leq\theta\leq 2\pi\).
\(\dfrac{4}{35}\pi a^3\)
Mostre que se \(R\) for a região triangular de vértices \((0,0)\), \((1,0)\) e \((0,1)\), então \[\iint\limits_R f(x+y)\,dA = \int_0^1 uf(u)\,du.\]
Use o resultado anterior para calcular a integral \[ \iint\limits_R e^{x+y}\,dA. \]
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x} \, dA$, em que $R$ é o triângulo de vértices $(0,0), (1,0)$ e $(0,1)$.
$0$.
Calcule $\iiint\limits_{E} dV$, em que $E$ é o sólido delimitado pelo elipsoide $x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$. Utilize a transformação $x = au$, $y = bv$ e $z = cw$.
A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com $a = b = 6.378$ km e $c = 6.356$ km. Use o item anterior para estimar o volume da Terra.
$\dfrac{4\pi a b c}{3}.$
$\dfrac{4\pi (6378) (6378) (6356)}{3} \approx 1.083 \times 10^{12}$ km$^{3}.$
Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle \iint\limits_{R}(x - 3y) \, dA$, em que $R$ é a região triangular de vértices $(0,0)$, $(2,1)$ e $(1,2)$; $x = 2u + v$, $y = u + 2v$.
$-3.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} x^2 \, dA$, em que $R$ é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $4x^2 + y^2 \leq 1$.
$\dfrac{\pi}{32}.$
Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = 5u - v, \quad y = u + 3v$.
$16.$
Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle\iint\limits_{R} x^2 \, dA$, em que $R$ é a região limitada pela elipse $9x^2 + 4y^2 = 36$; $x = 2u$, $y = 3v$.
$6\pi.$
Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = uv, \quad y = \dfrac{u}{v}$.
$-\dfrac{2u}{v}.$
Se \(x=x(u,v,w)\), \(y=y(u,v,w)\) e \(z=z(u,v,w)\) for uma transformação injetora, então \(u=u(x,y,z)\), \(v=v(x,y,z)\) e \(w=w(x,y,z)\). Supondo a diferenciabilidade das funções, mostre que \[\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\cdot\dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = 1.\] Use este resultado para mostrar que o volume \(V\) do paralelepípedo oblíquo limitado pelos planos \(x+y+2z=\pm 3\), \(x-2y+z=\pm 2\), \(4x+y+z=\pm 6\) é dado por \(V=16\).
Determine a imagem do conjunto $S$ sob a transformação dada. $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq u \leq 3, \, 0 \leq v \leq 2\}$;$x = 2u + 3v$, $y = u - v$.
O paralelogramo com vértices $(0,0),$ $(6,3),$ $(12,1),$ $(6,-2).$
Considere a transformação do plano $xy$ no plano $uv$ dada por $u=x-2y$ e $v=3x-y$.
Inverta a transformação, isto é, obtenha as expressões da transformação do plano $uv$ no plano $xy$.
Represente geometricamente a região $R$ no plano $xy$ obtida como imagem da transformação aplicada à região delimitada por $u=0$, $u=4$, $v=1$, $v=8$.
Utilize a transformação dada para calcular a integral
$$\iint\limits_{R}\dfrac{x-2y}{3x-y} \, dA.$$
$x = \dfrac{2v - u}{5},$ $y = \dfrac{v - 3u}{5}.$
Região delimitada pelas retas $x = 2y,$ $x = 2y + 4,$ $y = 3x - 1$ e $3x - 8.$
$\dfrac{8 \ln(8)}{5}.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R}\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\, dA$, em que $R$ é a região limitada pela curva $x+y = 1$ e pelos eixos coordenados.
$\pi.$
Seja $f$ uma função contínua em $[0,1]$ e seja $R$ a região triangular com vértices $(0,0), (1,0)$ e $(0,1)$. Mostre que
$$\iint\limits_{R} f(x,y) \, dA = \int_0^1 uf(u) \, du.$$
Utilize a mudança de variáveis $u = x + y$ e $v = y.$
Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle\iint\limits_{R} xy \, dA$, em que $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas $y = x$ e $y = 3x$ e pelas hipérboles $xy = 1$, $xy = 3$; $x = \dfrac{u}{v}$, $y = v$.
$2 \ln 3.$
Determine a imagem do conjunto $S$ sob a transformação dada. $S$ é a região triangular com vértices $(0,0), (1,1), (0,1)$;$x = u^2$, $y = v$.
A região limitada pela reta $y = 1,$ pelo eixo $y$ e por $y = \sqrt{x}.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R}\cos{\left(\dfrac{y - x}{y + x}\right)} \, dA$, em que $R$ é a região trapezoidal com vértices $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$ e $(0,1)$.
$\dfrac{3}{2} \sin(1).$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} x \, dA$, em que $R$ é o conjunto, no plano $xy$, limitado pela cardioide $\rho = 1 - \cos{\theta}$.
$-\dfrac{5\pi}{4}.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{y - 2x}{3y + 2x} \, dA$, em que $R$ é a paralelogramo de vértices $(1,2)$, $(2,4)$, $(5,2)$ e $(4,0)$.
$-4\ln(2).$
Calcule a integral $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{e^{y - x^2}}{y - x^2} dA$, em que $R$ é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $1 + x^2 \leq y \leq 2 + x^2$, $y \geq x + x^2$ e $x \geq 0$, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
Olhando o integrando, é natural pensar que uma das novas variáveis introduzidas deva ser $y-x^2$, mas a outra, a princípio, não está pré-definida. Seja $u = y - x^2$ (escolheremos $v$ apropriadamente depois). Vamos analisar a região de integração dada.
\qquad Como $1 + x^2 \leq y \leq 2 + x^2, \text{ temos } 1 \leq y-x^2 \leq 2$, isto é, $1 \leq u \leq 2$;
\qquad Como $y \geq x + x^2$ e $x \geq 0$, temos $y-x^2 \geq x \geq 0$, isto é, $u \geq x \geq 0$.
Da análise acima, é natural pensar na outra variável como sendo $v = x$. Considere então a mudança de variáveis dada por
$$\begin{cases}x = v, \\y = u+v^2.\end{cases}$$
O Jacobiano dessa transformação é
$$\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \left| \begin{array}{cc} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 2v \end{array} \right| = -1.$$
Como analisamos anteriormente, a nova região de integração é
$$S = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2: 1 \leq u \leq 2 \mbox{ e } 0 \leq v \leq u\}.$$
Assim,
\begin{array}{rcl}\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{e^{y - x^2}}{y - x^2} \, dA & = & \displaystyle \iint\limits_{S} \frac{e^u}{u} \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\, dv du \\& = & \displaystyle\int_{1}^{2}\int_{0}^{u} \frac{e^u}{u} (1) \, dv du \\ & = & \displaystyle\int_{1}^{2} \left.\left(\frac{v e^u}{u}\right|_{v=0}^{v=u}\right) \, du \\ & = & \displaystyle\int_{1}^{2} e^u \, du \\ & = & e^u |_{1}^{2} = e^2 - e.\end{array}
Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = \dfrac{u}{u+v}, \quad y = \dfrac{v}{u-v}$.
$0.$
Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = uv, \quad y = vw, \quad z = uw$.
$2uvw.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \sin{(4x^2 + y^2)} \, dA$, em que $R$ é o cojunto de todos $(x,y)$ tais que $4x^2 + y^2 \leq 1$ e $y \geq 0$.
$\dfrac{\pi}{4}(1 - \cos(1)).$
Determine a imagem do conjunto $S$ sob a transformação dada. $S$ é o disco dado por $u^2 + v^2 \leq 1$;$x = au$, $y = bv$.
Suponha $a$ e $b$ não-nulos. Por essa mudança de coordenadas, temos que $u = x/a$ e $v = y/b$. Substituindo na equação dada, obtemos
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1,$$
isto é, o disco $S$ é transformado em uma elipse.
Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = \alpha \sin{\beta}, \quad y = \alpha \cos{\beta}$.
$-\alpha.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} e^{x+y} \, dA$, em que $R$ é dada pela inequação $|x| + |y| \leq 1$.
$e - e^{-1}.$
Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle\iint\limits_{R} (x^2 - xy + y^2) \, dA$, em que $R$ é a região delimitada pela elipse $x^2 - xy + y^2 = 2$; $x = \sqrt{2}u - \sqrt{\dfrac{2}{3}}v$, $y = \sqrt{2}u + \sqrt{\dfrac{2}{3}}v$.
$\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}}.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} x \, dA$, em que $R$ é o círculo $x^2 + y^2 - x \leq 0$.
$\dfrac{\pi}{8}.$
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \sin{(9x^2 + 4y^2)} \, dA$, em que $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse $9x^2 + 4y^2 = 1$.
$\dfrac{\pi}{24}(1 - \cos(1)).$