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Integrais duplas

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  1. Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano $\mathbb{R}^{2}$) $$I=\displaystyle\iint\limits_{ \mathbb{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x{^2}+y^{2})}\,dy dx= \lim_{a\rightarrow\infty}\displaystyle\iint\limits_{D_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA,$$ onde $D_{a}$ é o disco com raio $a$ e centro na origem. Mostre que $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA=\pi.$$

  2. Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é $$\iint\limits_{\mathbb{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA=\lim_{a\rightarrow\infty}\displaystyle\iint\limits_{S_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA,$$ onde $S_{a}$ é o quadrado com vértices $(\pm a,\pm a)$. Use esse resultado para mostrar que $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx\,\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}\,dy=\pi.$$

  3. Deduza que $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}.$$

  4. Fazendo a mudança de variável $t=\sqrt{2} x$, mostre que $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2} dx=\sqrt{2\pi}.$$

    (Este é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)


  1. Note que $$\displaystyle\iint\limits_{D_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r e^{-r^2} dr d\theta = \pi (1 - e^{-a^2})$$ para cada $a.$

  2. Note que $$\int\limits_{S_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} e^{-x^2} e^{-y^2} dxdy = \left(\int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx\right) \left(\int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy\right) $$ para cada $a.$

  3. Troque $y$ por $x$ no item (b).

  4. Note que fazendo a mudança de variável sugerida, $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2} dx= \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}/2} dt = \sqrt{\pi}.$$