Teoremas de Stokes

3135

Seja $\sigma$ a superfície de um sólido $G$ com vetor normal unitário $\mathbf{n}$ orientado para fora de $\sigma$. Suponha que $\mathbf{F}$ seja um campo vetorial com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em $\sigma$. Prove que \[\iint\limits_\sigma (\mathrm{rot\,}\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.\] [Sugestão: tome $C$ uma curva fechada simples em $\sigma$ que separa a superfície em duas subsuperfícies $\sigma_1$ e $\sigma_2$ com fronteira comum $C$. Aplique o Teorema de Stokes a $\sigma_1$ e a $\sigma_2$ e some os resultados.]
O campo vetorial $\mathrm{rot\,}\mathbf{F}$ é denominado campo rotacional de $\mathbf{F}$. Em palavras, interprete a fórmula do item anterior como uma afirmação sobre o fluxo do campo rotacional.

2616

Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ${\bf F}$ dado e a superfície $S$.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i} + z{\bf j} + x{\bf k}$, $S$ é o hemisfério $x^2+y^2+z^2=1$, $y \geq 0$, orientado na direção positiva do eixo $y$.

$\displaystyle\int_{C} {\bf F} \cdot d{\bf R} = \displaystyle\iint_{S} \mbox{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S} = -\pi$.

3134

Considere o campo vetorial \[\mathbf{F}(x,y,z)=(x-z)\mathbf{i}+(y-x)\mathbf{j}+(z-xy)\mathbf{k}. \]

Use o Teorema de Stokes para encontrar a circulação em torno do triângulo de vértices $A=(1,0,0)$, $B=(0,2,0)$ e $C=(0,0,1)$, orientado no sentido anti-horário quando visto da origem para o primeiro octante.
Encontre a densidade de circulação de $\mathbf{F}$ na origem na direção de $\mathbf{k}$, ou seja, $\displaystyle\mathrm{rot\,}\mathbf{F}(\mathbf{0})\cdot\mathbf{k}$.
Encontre o vetor unitário $\mathbf{n}$ tal que a densidade de circulação de $\mathbf{F}$ na origem seja máxima na direção de $\mathbf{n}$.

$\dfrac{3}{2}$
$-1$
$\displaystyle \mathbf{n}= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j} -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{k} $

2626

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = x{\bf j}$, $S$ a superfície $\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3; 0\leq z\leq 1, x^2+y^2=1,$$x\geq 0, y\geq 0\}$, sendo ${\bf n}$ a normal com componente $x$ positiva.

$0$.

2608

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot d{\bf S}.$

${\bf F}(x,y,z) = (e^{xy}\cos{z},(x^2+1)z,-y)$, $S$ é o hemisfério $x^2+y^2+z^2 = 1$, $x \geq 0$, orientado na direção positiva do eixo $x$.

$-2\pi$.

2630

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = -y^2{\bf i} + x^2{\bf j} + z^2{\bf k}$, $S$ a superfície $x^2 + \dfrac{y^2}{4} + z^2 = 2$, $z \geq 1$, sendo ${\bf n}$ a normal que aponta para cima.

$0$.

2624

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i} + x^2{\bf j}+z{\bf k}$, $S$ a superfície parametrizada por ${\bf R}(u,v) = (u,v,2u+v+1)$, $u\geq 0$, $u+v\leq 2$, sendo ${\bf n}$ a normal apontando para baixo.

$-\dfrac{2}{3}.$

2628

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i}$, $S$ a superfície $x^2+y^2+z^2 = 2$, $x^2+y^2\leq 1$ e $z \geq 0$, sendo ${\bf n}$ a normal apontando para cima.

$-\pi$.

2618

Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos $(1,0,0)$, $(1,2,1)$, $(0,2,1)$ e de volta para a origem sob a influência do campo de forças ${\bf F}(x,y,z) = z^2{\bf i} + 2xy{\bf j} + 4y^2{\bf k}.$ Encontre o trabalho feito.

$3$.

2625

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i} + x^2{\bf j} + z{\bf k}$, $S$ a superfície $x^2+y^2 = 1$, $0\leq z \leq 1$ e $y\geq 0$, sendo ${\bf n}$ a normal com componente $y\geq 0$.

$0$.

2606

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot d{\bf S}.$

${\bf F}(x,y,z) = xyz{\bf i} + xy{\bf j} + x^2yz{\bf k}$ e $S$ é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$, com orientação para fora.

$0.$

2607

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot d{\bf S}.$

${\bf F}(x,y,z) = x{\bf i} - z{\bf j} + y{\bf k}$, $S$ é a parte do plano $x+z=1$ dentro do cilindro $x^2+y^2 = 1$, com orientação para cima.

$2\pi.$

2610

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = xy{\bf i} + 2z{\bf j} + 3y{\bf k}$, $C$ é a curva de interseção do plano $x+z=5$ com o cilindro $x^2+y^2=9$.

$9\pi$.

2621

Suponha que $S$ e $C$ satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e $f$ e $g$ tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Demonstre que $\displaystyle\int_C (f\nabla g + g\nabla f) \cdot d{\bf R} = 0$

Note que $\mbox{rot} (f\nabla g + g\nabla f) = {\bf 0}.$

2627

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i}$, $S$ a superfície $z = x^2+y^2$ com $z \leq 1$, sendo ${\bf n}$ a normal com componente $z$ positiva.

$-\pi$.

2425

Se $S$ é uma esfera e ${\bf F}$ satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que $\displaystyle\iint\limits_{S}\mbox{rot}{\bf F} \cdot d{\bf S} = 0$.

2614

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = (2xyz-2y,x^2+2x,x^2+2y)$, $C$ é a circunferência $y^2+z^2=1$, $x=2$.

$2\pi$.

2609

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = (x+y^2){\bf i} + (y+z^2){\bf j} + (z+x^2){\bf k}$, $C$ é o triângulo com vértices $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$.

$1$.

2623

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i}-x^2{\bf j}+5{\bf k}$, $S$ a superfície parametrizada por ${\bf R}(u,v) = (u,v,1-u^2)$, $u \geq 0$, $v \geq 0$, $u+v\leq 1$, sendo ${\bf n}$ a normal apontando para cima.

$-\dfrac{5}{6}.$

2622

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf k}$, $S$ a superfície parametrizada por ${\bf R} (u,v) = (u,v,u^2+v^2)$, $u^2+v^2 \leq 1$, sendo ${\bf n}$ a normal apontando para cima.

$0.$

3137

Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial \[ \mathbf{F}(x,y,z) = x^2\mathbf{i}+4xy^3\mathbf{j}+y^2x\mathbf{k}\] sobre uma partícula que percorre o caminho $C$ definido como o bordo da superfície $\sigma$ contida no plano $z=y$ e cuja projeção no plano $xy$ corresponde ao retângulo $R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2; 0\leq x\leq 1$,\ $0\leq y\leq 3\}$. O sentido de percurso é tal que a fronteira de $R$ é percorrida no sentido horário.

Note que calcular o trabalho $\displaystyle W= \oint_C\mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{r}$ assim diretamente exigiria quatro integrações separadas, uma para cada lado do retângulo. Entretanto, usando o Teorema de Stokes podemos, em vez disso, calcular uma (única!) integral de superfície \[ W= \iint\limits_\sigma\mathrm{rot\,}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \] na qual $\sigma$ é tomada com a orientação para baixo, como requerido pelo Teorema de Stokes. Como a superfície $\sigma$ está contida no plano $z=y$ e \[\mathrm{rot\,}\mathbf{F} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ x^2 & 4xy^3 & xy^2 \end{array}\right| = 2xy\mathbf{i}-y^2\mathbf{j}+4y^3\mathbf{k}, \] segue então que \begin{align*} W= \iint\limits_\sigma\mathrm{rot\,}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS & = \iint\limits_R\mathrm{rot\,}\mathbf{F}\cdot\left( \dfrac{\partial z}{\partial x}\mathbf{i} +\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathbf{j} - \mathbf{k}\right)\,dA \\ & = \iint\limits_R\left(2xy\mathbf{i}-y^2\mathbf{j}+4y^3\mathbf{k}\right)\cdot\left(0\mathbf{i}+\mathbf{h}-\mathbf{k}\right)\,dA \\ & = \int_0^1\int_0^3(-y^2-4y^3)\,dydx \\ & = - \int_0^1\left[\dfrac{y^3}{3}+y^4\right]_{y=0}^3\,dx \\ & = -\int_0^1 90\,dx = -90. \end{align*}

2611

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = (x^2-y){\bf i} + 4z{\bf j} + x^2{\bf k}$, $C$ é a curva de interseção do plano $z=2$ com o cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$.

$4\pi$.

2620

Suponha que $S$ e $C$ satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e $f$ e $g$ tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Demonstre que $\displaystyle\int_C (f\nabla f)\cdot d{\bf R} = 0$

Note que $\mbox{rot} (f\nabla f) = {\bf 0}.$

2424

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F} \cdot d{\bf r}$, com ${\bf F} (x,y,z) = yz{\bf i} + 2xz{ \bf j} + e^{xy} {\bf k} $ e $C$ é a circunferência $x^2+y^2 = 16$, $z=5$, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

2612

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. Em cada caso, $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = x^2z{\bf i} + xy^2{\bf j} + z^2{\bf k}$, $C$ é a curva de interseção do plano $x+y+z=1$ com o cilindro $x^2+y^2 = 9$.

$\dfrac{81\pi}{2}.$

2631

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = y{\bf i} + x{\bf j} + xz{\bf k}$, $S$ a superfície $z = x+y+2$ e $x^2 + \dfrac{y^2}{4} \leq 1$, sendo ${\bf n}$ a normal que aponta para baixo.

$4\pi$.

2613

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F}\cdot d{\bf R}$. $C$ é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

${\bf F}(x,y,z) = (y+z,-z,y)$, $C$ é a curva obtida como interseção do cilindro $x^2+y^2=2y$ com o plano $y = z$.

$\dfrac{4\pi}{3}$.

2615

Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial ${\bf F}$ dado e a superfície $S$.

${\bf F}(x,y,z) = y^2{\bf i} + x{\bf j} + z^2{\bf k}$, $S$ é a parte do parabolóide $z = x^2 + y^2$ que está acima do plano $z = 1$, orientado para cima.

$\displaystyle\int_{C} {\bf F} \cdot d{\bf R} = \displaystyle\iint_{S} \mbox{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \pi.$

2629

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral $\displaystyle\iint_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf n}dS$ numa integral de linha e calcule.

${\bf F}(x,y,z) = -y{\bf i} + x{\bf j} + x^2{\bf k}$, $S$ a superfície $x^2+y^2+z^2 = 4$, $\sqrt{2} \leq z \leq \sqrt{3}$ e $y \geq 0$, sendo ${\bf n}$ a normal apontando para cima.

$\pi$.

2605

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot d{\bf S}.$

${\bf F}(x,y,z) = x^2z^2{\bf i} + y^2z^2{\bf j} + xyz {\bf k}$ e $S$ é a parte do parabolóide $z = x^2+y^2$ que está dentro do cilindro $x^2+y^2=4$, orientado para cima.

$0.$

2617

Seja $C$ uma curva fechada, simples e lisa que está no plano $x+y+z=1$. Mostre que a integral de linha $\displaystyle\int_C zdx - 2xdy + 3ydz$ depende apenas da área da região englobada por $C$ e não da forma de $C$ ou de sua posição no plano.

$\displaystyle\int_C zdx - 2xdy + 3ydz = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times $ (área da região englobada por $C$).

2619

Suponha que $S$ e $C$ satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e $f$ e $g$ tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Demonstre que $\displaystyle\int_C (f\nabla g)\cdot d{\bf R} = \displaystyle\iint_{S} (\nabla f \times \nabla g)\cdot d{\bf S}$

Note que $\mbox{rot} (f\nabla g) = \nabla f \times \nabla g.$

3136

Em 1831, o físico Michael Faraday descobriu que uma corrente elétrica pode ser produzida variando-se o fluxo magnético através de um arco condutor. Suas experiências mostraram que a força eletromotriz $\mathbf{E}$ está relacionada com a indução magnética $\mathbf{B}$ pela equação \[ \oint_C\mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} = - \iint\limits_\sigma\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot\mathbf{n}\,dS.\] Use este resultado para fazer uma conjectura acerca da relação entre $\mathrm{rot\,}\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$. Explique seu raciocínio.