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Supondo que \(\sigma\) e \(G\) satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência e que \(f\) e \(g\) sejam funções suficientemente regulares, prove as seguintes identidades (de Green):
\[\iint\limits_\sigma\left(f\nabla g\right)\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint\limits_G\left( f\Delta g+\nabla f\cdot\nabla g\right)\,dV, \]
\[\iint\limits_\sigma\left(f\nabla g-g\nabla f\right)\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint\limits_G\left( f\Delta g- g\Delta f\right)\,dV, \] onde \(\displaystyle \Delta f= \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}\) é denominado Laplaciano de \(f\).
Considere o campo vetorial \(\mathbf{F}(x,y,z)=x^2\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}\) e a superfície \(\sigma\) descrita como sendo a porção do cone \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) abaixo do plano \(z=1\) e tendo orientação para cima. Verifique o Teorema de Stokes calculando, separadamente, a integral de linha e a integral dupla e, em seguida, comparando os valores.
Use o Teorema de Green para provar que\[ \int_Cf(x)\,dx + g(y)\,dy = 0\] se \(f\) e \(g\) forem funções diferenciáveis e \(C\) for uma curva fechada simples lisa por partes.
O que isso nos diz sobre o campo vetorial \[ \mathbf{F}(x,y) = f(x)\mathbf{i}+g(y)\mathbf{j}?\]
Seja \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=f(x,y,z)\mathbf{i}+ g(x,y,z)\mathbf{j} + h(x,y,z)\mathbf{k}\) e suponha que \(f\), \(g\) e \(h\) sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região. Mostre que se \(\mathbf{F}\) é conservativo numa região esférica aberta então \(\mathrm{rot\,}\mathbf{F} = \mathbf{0}\) nessa região. [Sugestão: use que se \(\mathbf{F}\) for conservativo numa região, então \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial g}{\partial x},\quad \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial h}{\partial x},\quad \dfrac{\partial g}{\partial z}=\dfrac{\partial h}{\partial y} \] nessa mesma região.]
Considere o campo vetorial \(\mathbf{F}(x,y,z)=(x-y)\mathbf{i} + (y-z)\mathbf{j}+(z-x)\mathbf{k}\) e a superfície \(\sigma\)
descrita como sendo a porção do plano \(x+y+z=1\) no primeiro octante e orientada para cima. Verifique o Teorema de Stokes
calculando, separadamente, a integral de linha e a integral dupla e, em seguida, comparando os valores.
\(\dfrac{3}{2}\)
Seja \(\mathbf{F}(x,y)= (ye^{xy}-1)\mathbf{i} + xe^{xy}\mathbf{j}.\)
Mostre que \(\mathbf{F}\) é um campo vetorial conservativo.
Calcule uma função potencial de \(\mathbf{F}\).
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial sobre uma partícula que se move ao longo da curva representada pelas seguintes equações paramétricas \begin{align*} x & = t+ \arcsin(\sin t) \\ y & = \dfrac{2}{\pi}\arcsin(\sin t), \ \left(0\leq t\leq 8\pi\right). \end{align*}
Sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos que satisfazem \(\displaystyle 0<\beta-\alpha\leq 2\pi\) e suponha que \( r= f(\theta)\) seja uma curva polar lisa com \(f(\theta)>0\) no intervalo \([\alpha,\beta]\). Use a fórmula \[ A = \dfrac{1}{2}\int_C-y\,dx+x\,dy \] para encontrar a área da região \(R\) englobada pela curva \(r=f(\theta)\) e os raios \(\theta=\alpha\) e \(\theta=\beta\).
Seja \(G\) um sólido com a superfície \(\sigma\) orientada por vetores normais unitários para fora, suponha que \(\phi\) tenha derivadas parciais de primeira e segunda ordens contínuas em algum conjunto aberto contendo \(G\) e seja \(D_{\mathbf{n}}\phi\) a derivada direcional de \(\phi\), onde \(\mathbf{n}\) é um vetor normal unitário para fora de \(\sigma\). Mostre que \[ \iint\limits_\sigma D_{\mathbf{n}}\phi\,dS = \iiint\limits_G\left[\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2\phi}{\partial z^2} \right]\,dV. \]
A Lei de Coulomb afirma que a força eletrostática \(\mathbf{F}(\mathbf{r})\) que uma partícula com carga \(Q\) exerce sobre outra partícula com carga \(q\) é dada pela fórmula \[ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = \dfrac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\|\mathbf{r}\|^3}\mathbf{r}, \] onde \(\mathbf{r}\) é o vetor posição da carga \(q\) em relação a \(Q\) e \(\epsilon_0\) é uma constante positiva (chamada permissividade do meio).
Expresse o campo vetorial \(\mathbf{F}(\mathbf{r})\) em forma de coordenadas \(\mathbf{F}(x,y,z)\) com \(Q\) na origem.
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial \(\mathbf{F}\) sobre uma carga \(q\) que se move ao longo de um segmento de reta de \((3,0,0)\) para \((3,1,5)\).
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças \[ \mathbf{F}(x,y)= y^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j} \] para mover uma partícula de \((0,0)\) até \((1,1)\) ao longo da parábola \(y=x^2\).
Prove a seguinte identidade \[ \iint\limits_\sigma\mathrm{rot\,}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0, \] supondo que \(\mathbf{F}\) e \(\sigma\) satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência.
Enuncie o Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes, incluindo todas as hipóteses envolvidas.
Prove a seguinte identidade \[ \iint\limits_\sigma\nabla f\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint\limits_G\Delta f\,dV, \] supondo que \(\sigma\) e \(G\) satisfaçam as hipóteses do Teorema da Diverência e que \(f(x,y,z)\) cumpra os requisitos de diferenciabilidade necessários. Acima, \(\displaystyle \Delta f= \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}\) é denominado Laplaciano de \(f\).