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| MA211 - Cálculo II | Integrais de linha | Teorema fundamental das integrais de linha

Teorema fundamental das integrais de linha

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2100   

Considere o campo vetorial

$${\bf F}(x,y)=(\ln(y^{2}+1))\,{\bf i}+\bigg(\frac{2y(x-1)}{y^{2}+1}\bigg)\,{\bf j}.$$

  1. Determine se $F$ é ou não um campo conservativo.

  2. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula desde o ponto $(-1,1)$ até o ponto $(2,3).$

  1. Sim.

  2. $\ln(10) + 2\ln(2).$

2107   

Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:

$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$

para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$. Um exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico ${\bf F}=\epsilon q Q{\bf r}/|{\bf r}|^{3}$. Suponha que um elétron com carga de $-1,6\times 10^{-19}\, C$ esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de $10^{-12}\,m$ do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use o valor $\epsilon=8,985\times 10^{9}$.)

$\approx 1,4 \times 10^{4}$ J.

2105   

Suponha que ${\bf F}$ seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,

$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$

para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Determine o trabalho realizado por ${\bf F}$ ao mover um objeto de um ponto $P_{1}$ por um caminho para um ponto $P_{2}$ em termos da distância $d_{1}$ e $d_{2}$ desses pontos à origem.

$c\left(\dfrac{1}{d_{1}} - \dfrac{1}{d_{2}}\right).$

2047   


Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ é ou não:

  1. aberto;

  2. conexo; e

  3. simplesmente conexo.


Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x>0,\,y>0\}$ representa o primeiro quadrante, excluindo os eixos. Então:

  1. $D$ é aberto, pois em torno de cada ponto em $D$, podemos colocar um disco que se encontra em $D.$

  2. $D$ é conexo, pois o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de $D$ encontra-se em $D.$

  3. $D$ é simplesmente conexo, pois ele é conexo e não tem buracos.

3071   

Seja ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\cos y+y, x-e^{x}\,\sin y)$. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é o arco de circunferência que une o ponto $(-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ ao ponto $(1,0)$. Veja a figura abaixo.

ma211-list11-ex2.png


Notemos que ${\bf F}$ é um campo vetorial conservativo, pois: ${\bf F}$ é definido em todo $\mathbb{R}^{2}$; $P(x,y)=e^{x}\,\cos y+y$ e $Q(x,y)=x-e^{x}\,\sin y$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas;  $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=1-e^{x}\,\sin y=\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y).$

Sendo $F$ conservativo, existe $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Vamos encontrar $f$. Temos que 

$$f_{x}(x,y)=P(x,y)     \mbox{ e }      f_{y}(x,y)=Q(x,y).$$

Então,

$$\label{(2)}f_{x}(x,y)=e^{x}\,\cos y+y\Rightarrow f(x,y)=e^{x}\,\cos y+y+g(y).$$

Logo,  temos que

$$f_{y}(x,y)=-e^{x}\,\sin y+x+g'(y).$$

Como $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$, obtemos que

$$-e^{x}\,\sin y+x+g'(y)=x-e^{x}\,\sin y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$$

Assim, tomando $C=0$ segue que

$$f(x,y)=e^{x}\,\cos y+xy.$$

Do resultado acima e pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos que

$$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=f(1,0)-f\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=e-e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\,\cdot\cos\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\frac{1}{2}.$$

2063   

Dados ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$, $C$ é o arco da parábola $y=2x^{2}$ de $(-1,2)$ a $(2,8).$

  1. Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.

  2. Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

  1. $f(x,y) = \dfrac{x^{3} + y^{3}}{3};$

  2. $171.$

2104   

Seja ${\bf F}(x,y)=\dfrac{-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}}{x^{2}+y^{2}}.$

  1. Mostre que $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}.$

  2. Mostre que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ não é independente do caminho. [Sugestão: calcule $\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ e $\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C_{1}$ e $C_{2}$ são as metades superior e inferior do círculo $x^{2}+y^{2}=1$ de $(1,0)$ a $(-1,0)$.] Isso contraria o Teorema 6 (Seção 16.3 do Livro do James Stewart)?

  1. $\dfrac{\partial P}{\partial y}= \dfrac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}.$

  2. Tome $C_{1}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{1}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ $0 \leq t \leq \pi$ e $C_{2}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{2}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ de $t = 2\pi$ a $t = \pi.$ Segue que $\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}  = \pi \neq -\pi = \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$ Como o domínio de $\mathbf{F}$ é $\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$ que não é simplesmente conexo, o resultado não contradiz o Teorema 6.

2052   

Determine se ${\bf F}(x,y)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

2096   

Seja $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,(x,y)\notin A\}$, onde $A$ é a semirreta $\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,y=0\,e\,x\geq 0\}$. Calcule

$$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy,$$

onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(1,-1).$

$\dfrac{3\pi}{2}.$

2065   

Dados ${\bf F}(x,y,z)=yz\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+(xy+2z)\,{\bf k}$, $C$ é o segmento de reta de $(1,0,-2)$ a $(4,6,3).$

  1. Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.

  2. Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

  1. $f(x,y,z) = xyz + z^{2};$

  2. $77.$

2088   

Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no semiplano $y>0$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-2,3).$

$\pi.$

2066   

Dados ${\bf F}(x,y,z)=y^{2}\,\cos z\,{\bf i}+2xy\,\cos z\,{\bf j}-xy^{2}\,\sin z\,{\bf k}$, $C: {\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+\sin t\,{\bf j}+t\,{\bf k}$, $0\leq t\leq \pi.$

  1. Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.

  2. Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

  1. $f(x,y,z) = xy^{2} \cos(z);$

  2. $0.$

2089   

Calcule $\int_{C}2x\,\cos y\,dx-x^{2}\,\sin y\,dy$ ao longo dos caminhos $C$ a seguir no plano $xy.$

  1. A parabóla $y=(x-1)^{2}$ de $(1,0)$ a $(0,1).$

  2. O segmento de reta de $(-1,\pi)$ a $(1,0).$

  3. O eixo $x$ de $(-1,0)$ a $(1,0).$

  4. O astróide ${\bf r}(t)=(\cos^{3} t)\,{\bf i}+(\sin^{3}t)\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 2\pi$, no sentido anti-horário de $(1,0)$ de volta a $(1,0).$

  1. $-1.$

  2. $2.$

  3. $0.$

  4. $0.$

2060   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(e^{x}\,\cos y)\,{\bf i}-(e^{x}\,\sin y)\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = e^{x}\cos(y) + \dfrac{z^{2}}{2}  + K.$

2102   

Seja ${\bf F}=\nabla f$, onde $f(x,y)=\sin(x-2y)$. Determine curvas $C_{1}$ e $C_{2}$ que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.

  1. $\displaystyle\int_{C_{1}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$

  2. $\displaystyle\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot d{\bf r}=1$

  1. $\mathbf{r}(t) = \pi t \mathbf{i} + \pi t \mathbf{j},$ $0 \leq t \leq 1.$

  2. $\mathbf{r}(t) = \dfrac{\pi}{2} t \mathbf{i},$ $0 \leq t \leq 1.$

2059   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2} + K.$

2087   

Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$, onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no conjunto $\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| y>0\}\cup\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,x<0\}$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-1,-1).$

$0.$

2101   

Considere o campo vetorial

$${\bf F}(x,y)=(1+ye^{xy})\,{\bf i}+(2y+xe^{xy})\,{\bf j}.$$

  1. Determine se ${\bf F}$ é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para ${\bf F}.$

  2. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ${\bf F}$ ao mover uma partícula sobre a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 1,$ desde o ponto $(3,-\sqrt{8})$ até o ponto $(3,\sqrt{8}).$

  1. Sim. Função potencial: $f(x,y) = x + e^{xy} + y^{2}.$

  2. $e^{3\sqrt{8}} - e^{-3\sqrt{8}}.$

2094   

Considere o campo vetorial

$${\bf F}(x,y)=\bigg(e^{x}\ln(y)-\frac{e^{y}}{x}\bigg)\,{\bf i}+\bigg(\frac{e^{x}}{y}-e^{y}\ln(x)\bigg)\,{\bf j}.$$

  1. O campo ${\bf F}$ é conservativo? Justifique sua resposta.

  2. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é qualquer caminho ligando o ponto $(1,1)$ ao ponto $(3,3).$

  1. Sim.

  2. $0.$

2083   

Calcule $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(2,2)} y\,dx+x\,dy$.

$3.$

2099   

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=2y^{3/2}\,{\bf i}+3x\sqrt{y}\,{\bf j}$ ao mover um objeto de $P(1,1)$ a $Q(2,4).$

$30.$

2057   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(x-y)\,{\bf i}+(x+y+z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

2098   

Suponha que ${\bf F}=\nabla f$ seja um campo vetorial conservativo e

$$g(x,y,z)=\int_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}{\bf F}\cdot d{\bf r}.$$

Mostre que $\nabla g={\bf F}.$

Como $g(x,y,z) = f(x,y,z) - f(0,0,0),$ segue que $\nabla g = \nabla f = \mathbf{F}.$


2091   

Calcule a integral de linha

$$\int_{C}e^{2y}\,dx+(1+2xe^{2y})\,dy,$$

onde $C$ é a curva dada por $r(t)=(te^{t},1+\sin(\pi t/2))$, $0\leq t\leq 1.$ (Sugestão: verifique se o campo é conservativo.)

$e^{5} + 1.$

3073   

A figura mostra o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(2xy, x^{2})$ e três curvas que começam em $(1,2)$ e terminam em $(3,2).$

ma211-list11-ex6.png

  1. Explique por que $\int_{c}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ tem o mesmo valor para as três curvas.
  2. Qual é esse valor comum?

  1. ${\bf F}$ é conservativo, logo $\int_{C} \bf F \cdot d\bf r$ depende somente dos pontos inicial e final de $C.$
  2. $16.$

2058   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf i}+\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf j}+\dfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = -\dfrac{1}{2(x^2 + y^{2} +z^{2})} + K.$

2106   

Um campo vetorial inverso do quadrado é da forma:

$${\bf F}({\bf r})=\frac{c{\bf r}}{|{\bf r}|^{3}}$$

para alguma constante $c$, onde ${\bf r}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$. Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional ${\bf F}=-(mMG){\bf r}/|{\bf r}|^{3}$. Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máxima de $1,52\times 10^{8}\,km$ do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de $1,47\times 10^{8}\,km)$. (Use os valores $m=5,97\times 10^{24}\,kg$, $M=1,99\times 10^{30}\,kg$ e $G=6,67\times 10^{-11}\,N\cdot m^{2}/kg^{2}.$)

$\approx 1,77 \times 10^{35}$ J.

2086   

Calcule $\displaystyle\int_{C}(\sin(xy)+xy\,\cos(xy))\,dx+x^{2}\,\cos(xy)\,dy$, onde $C(t)=(t^{2}-1,t^{2}+1)$, $-1\leq t\leq 1.$

$0.$

2084   

Calcule $\displaystyle\int_{C}y\,dx+x^{2}\,dy$, onde $C$ é a curva cuja imagem é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,2)$, orientada de $(1,1)$ para $(2,2).$

$\dfrac{23}{6}.$

2097   

Mostre que a integral de linha $\int_{C}2x\,\sin y\,dx+(x^{2}\,\cos y-3y^{2})\,dy$, onde $C$ é qualquer caminho entre $(-1,0)$ a $(5,1)$, é independente do caminho e calcule a integral.

$\mathbf{F} (x,y) = 2x \sin(y) \mathbf{i} + x^{2} \cos(y) - 3y^{2} \bf j$ é um campo conservativo com uma função potencial $f(x,y) = x^{2} \sin(y) - y^{3};$ o valor da integral é $25 \sin(1) - 1.$

2054   

Determine se ${\bf F}(x,y)=e^{x}\,\cos y\,{\bf i}+e^{x}\,\sin y\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

2103   

Mostre que, se um campo vetorial ${\bf F}=P\,{\bf i}+Q\,{\bf j}+R\,{\bf k}$ é conservativo e $P$, $Q$, $R$ têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \,\,\,\,\,\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\,\,\,\,\,\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$$

Se $f$ é uma função potencial de $\mathbf{F},$ então $f_{x} = P,$ $f_{y} = Q$ e $f_{z} = R.$ Como $P, Q$ e $R$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então pelo Teorema de Clairaut, temos $f_{xy} = f_{yx},$ $f_{yz} = f_{zy}$ e $f_{xz} = f_{zx}.$

2062   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=e^{y+2z}({\bf i}+x\,{\bf j}+2x\,{\bf k})$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = xe^{y + 2z} + K.$

2064   

Dados ${\bf F}(x,y)=xy^{2}\,{\bf i}+x^{2}y\,{\bf j}$, $C: {\bf r}(t)=(t+\sin\frac{1}{2}\pi t, t+\cos \frac{1}{2}\pi t)$, $0\leq t\leq 1.$

  1. Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.

  2. Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

  1. $f(x,y) = \dfrac{x^{2}y^{2}}{2};$

  2. $2.$

2051   

Determine se ${\bf F}(x,y)=y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = xy + K.$

2061   

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=(y\,\sin z)\,{\bf i}+(x\,\sin z)\,{\bf j}+(xy\,\cos z)\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = xy\sin(z) + K.$

2055   

Determine se ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}\,\cos y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = e^{x}\sin(y) + K.$

3072   

A figura mostra uma curva $C$ e um mapa de contorno de uma função $f$ cujo gradiente é contínuo. Determine $\int_{C}\nabla f\cdot d{\bf r}.$

ma211-list11-ex4.png

$40.$

2093   

Seja

$${\bf F}(x,y)=\bigg(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3y\bigg)$$

um campo vetorial em $\mathbb{R}^{2}$. Calcule a integral de linha do campo ${\bf F}$ ao longo das curvas

$C_{1}$ e $C_{2}$, orientadas no sentido anti-horário, onde:

  1. $C_{1}$ é a circunferência de equação $x^{2}+y^{2}=4.$

  2. $C_{2}$ é a fronteira do retângulo $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,-\pi \leq x \leq \pi,-3 \leq y \leq 3\}.$

  1. $0.$

  2. $0.$

2048   

Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ é ou não: 

  1. aberto;

  2. conexo; e

  3. simplesmente conexo.


Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ consiste de todos os pontos, exceto para aqueles que encontram-se sobre o eixo y. Então:

  1. $D$ é aberto.

  2. Os pontos em lados opostos do eixo $y$ não podem ser conectados por um caminho que se encontra totalmente em $D$, então $D$ não é conexo.

  3. $D$ não é simplesmente conexo, pois não é conexo.

2053   

Determine se ${\bf F}(x,y)=(2x-3y)\,{\bf i}+(-3x+4y-8)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = x^2 - 3xy + 2y^2 -8y + K.$

2092   

Calcule a integral de linha

$$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=\int_{C}{\bf F}\cdot r'(t)\,dt$$

onde ${\bf F}=(2xyz^{3},x^{2}z^{3},3x^{2}yz^{2})$ e $C$ é a curva dada por $r(t)=(\sin^{6}t,1-\cos t, e^{t(t-\pi/2)}$, $0\leq t\leq \pi/2.$ (Dica: verifique se ${\bf F}$ é conservativo.)

$1.$

2050   

Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\, $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ é ou não:

  1. aberto;

  2. conexo; e

  3. simplesmente conexo.


Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\, $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ consiste dos pontos que estão sobre ou dentro do círculo $x^{2}+y^{2}\leq 1$ juntamente com os pontos que estão em ou entre os círculos $x^{2}+y^{2}=4$ e $x^{2}+y^{2}=9$.

  1. $D$ não é aberto pois qualquer disco centrado em $(0,1)$ contém pontos que não estão em $D$.

  2. $D$ não é conexo pois não existe um caminho em $D$ conectando, por exemplo, os pontos $(1,0)$ e $(2,0)$.

  3. $D$ não é simplesmente conexo porque possui um buraco. Com efeito, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^2+y^2=(5/2)^2$, contém pontos que não pertencem a $D$, por exemplo, o ponto $(0,3/2)$.

2049   


Determine se o conjunto $\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ é ou não:

  1. aberto;

  2. conexo; e

  3. simplesmente conexo.


Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,1<x^{2}+y^{2}<4\}$ representa a região anelar entre os círculos com centro $(0,0)$ e raio $1$ e $2$. Então:

  1. $D$ é aberto pois, em torno de cada ponto em $D$, podemos colocar um disco que se encontra inteiramente em $D$.

  2. $D$ é conexo pois quaisquer dois pontos de $D$ podem ser conectados por um caminho em $D$.

  3. $D$ não é simplesmente conexo pois,  por exemplo, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^{2}+y^{2}=(3/2)^2$ possui pontos que não estão em $D$, por exemplo, a origem $(0,0)$.

2067   

Dados ${\bf F}(x,y,z)=e^{y}\,{\bf i}+xe^{y}\,{\bf j}+(z+1)e^{z}\,{\bf k}$, $C: {\bf r}(t)=t\,{\bf i}+t^{2}\,{\bf j}+t^{3}\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$

  1. Determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f$.

  2. Use o resultado anterior para calcular $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ sobre a curva $C$ dada.

  1. $f(x,y,z) = x e^{y} + ze^{z};$

  2. $2e.$

2085   

Calcule $\displaystyle\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy$.

$\displaystyle \dfrac{\pi}{4} + \arctan\left( \dfrac{2}{3} \right).$

2090   

Considere o campo

$${\bf F}(x,y,z)=(e^{z},2yz, xe^{z}+y^{2}).$$


  1. Verifique se o campo ${\bf F}$ é conservativo.

  2. Se ${\bf F}$ for conservativo, calcule $f(x,y,z)$ tal que $\nabla f={\bf F}.$

  3. Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ onde $C$ é dada por $r(t)=(\cos t, \sin t, t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$

Sim.

$f(x,y) = x e^{z} + y^{2} z.$

$e^{2\pi} - 1.$

2095   

Seja ${\bf F}:\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ contínuo no aberto $\Omega$. Prove que uma condição necessária para que ${\bf F}$ seja

conservativo é que $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=0$ para toda curva $C$ fechada, de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida em $\Omega.$

Se $C$ é uma curva fechada em $\Omega$  parametrizada por $\mathbf{r}(t),$ com $a \leq t \leq b,$ $\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$ e $\mathbf{F} = \nabla f,$ então $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r} = f(\mathbf{r}(a)) - f(\mathbf{r}(b)) = 0.$

2046   

Determine se ${\bf F}(x,y)=(ye^{x}+\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}+x\,\cos y)\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$


Primeiramente, temos que o domínio de ${\bf F}$ é todo o $\mathbb{R}^{2}$, o qual é uma região aberta e simplesmente conexa. Sendo $P(x,y)=ye^{x}+\sin y$ e $Q(x,y)=e^{x}+x\,\cos y$, temos que $P$ e $Q$ possuem derivadas de primeira ordem contínuas. Também temos que

$$\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}+\cos y    \,\,\,  \text{   e   }   \,\,\,   \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}+\cos y,$$

ou seja,

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$

Assim, das condições acima verificadas, temos que ${\bf F}$ é um campo conservativo. Agora, vamos determinar $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Isto é, devemos encontrar $f$ tal que

$$f_{x}(x,y)=P(x,y)      \text{   e   }      f_{y}(x,y)=Q(x,y).$$

Como $f_{x}(x,y)=P(x,y)$ temos que

$$f_{x}(x,y)=ye^{x}+\sin y\Rightarrow f(x,y)=ye^{x}+x\,\sin y+g(y)$$

Assim obtemos que

$$f_{y}(x,y)=e^{x}+x\cos y+g'(y)$$

Mas, $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$ logo obtemos que

$$e^{x}+x\cos y+g'(y)=e^{x}+x\,\cos y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$$

Portanto,

$$f(x,y)=ye^{x}+x\sin y+C      \text{   e   }      \nabla f={\bf F}.$$

2056   

Determine se ${\bf F}(x,y)=(\ln y+2xy^{3})\,{\bf i}+(3x^{2}y^{2}+x/y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = x^{2}y + xy^{-2} + K.$