Limite de uma função de duas variáveis (I)

Interpretação geométrica da definição formal do limite de funções duas variáveis.

Entre com a função no campo $f(x,y)=$.

Selecione o ponto em que você gostaria de estudar o limite da função no campo $(x_0,y_0)$.

O aplicativo lhe devolverá o valor do limite da função em tal ponto, $L$, caso ele exista.

Dizer que $\lim_\limits{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=L$ significa que para cada valor $\epsilon$ que você escolha, é possível determinar uma vizinhança de $x_0, y_0$, de raio $\delta$, tal que se $(x,y)$ estiver nessa vizinhança, $|f(x,y)-L|<\epsilon$. 

Interaja com os valores de $\epsilon$ e $n$, lembrando que, no exemplo inicial desde aplicativo, $\delta=\dfrac{\epsilon}{n}$. Observe como, fixado $\epsilon$, conforme $n$ aumenta, a vizinhança ao redor de $(x_0, y_0)$ se reduz e o valor da função de aproxima suficientemente de $L$,

Limite de uma função de duas variáveis (II)

Este aplicativo mostra que a função $f(x,y)=\dfrac{2x^3y}{3(x^2+y^2)}$ tem limite na origem, utilizando o Teorema do Confronto $\left|\dfrac{2x^3y}{3(x^2+y^2)}\right|\leq\dfrac{2}{3}|y|=\dfrac{2}{3}\sqrt{y^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}$.

Certifique-se de que vocês compreende a quais funções os gráficos em azul e vermelho se referem.

Limite de uma função de duas variáveis (III)

Este aplicativo mostra o gráfico da função $f(x,y)=6-\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{3}y^2$ e dá indícios de que $\lim_\limits{(x,y)\to(2,2)}f(x,y)=L=f(2,2)$ através de dois caminhos, o da parábola $y=2-(x-2)^2$ e o da curva $(2+e^{\dfrac{-t}{10}}\cos(t),2+e^{\dfrac{-t}{10}}\sin(t))$.

Você pode movimentar o gráfico, clicando na figura e arrastando com o mouse.

Exemplo de função de 2 variáveis que não possui limite
 
Este aplicativo apresenta um exemplo de função onde o limite para $(x_0,y_0)=(0,0)$ não existe. Trata-se da função $f(x,y)=\dfrac{10xy}{2x^2+3y^2}$, definida em todo o $\mathbb{R}^2$, exceto na origem. 

Um modo de mostrar que um limite $\lim_\limits{(x,y)\to (x_0,y_0)}$ não existe é mostrar que a função se aproxima de valores diferentes a depender do caminho que se escolhe para chegar a $(x_0,y_0)$. 

Analisa-se o limite da função em $(0,0)$ ao percorrer caminhos $y=mx$ para todos os valores de $m$ entre $-1$ e $1$. Observe que para $y=-x$ o valor da função se aproxima de $-2$ e para $y=x$ o valor da função se aproxima de $2$.