Limite e continuidade
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Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x + y}{x - y}$, caso exista.
Não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (2,1)}\dfrac{4 - xy}{x^2 + 3y^2}$.
$\frac{2}{7}.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \mbox{ln} \ \dfrac{x - y}{x^2 + y^2}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; x > y \right\rbrace.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy^2}{x^2 - y^2}$, caso exista.
Não existe.
Calcule \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (-1,2)} \dfrac{xy}{x^2+y^2}\).
Como a função \(\displaystyle f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) é contínua no ponto \((-1,2)\) (de acumulação), basta avaliá-la neste mesmo ponto. Ou seja, \[ \lim_{(x,y)\to (-1,2)}\dfrac{xy}{x^2+y^2} = \dfrac{(-1)2}{(-1)^2+2^2} = -\dfrac{2}{5}. \]
Calcule
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{\mbox{sen}(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}.$$
Considere $t=x^{2}+y^{2}$.
Assim , se $(x,y)\rightarrow (0,0)$ temos que $t \to 0.$ Portanto,
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1.$$
Mostre que os limites não existem, considerando que \((x,y)\rightarrow (0,0) \) ao longo dos eixos coordenados.
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x-y}{x^2+y^2} \]
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\cos(xy)}{x^2+y^2} \]
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy \ \mbox{cos} \ y}{3x^2 + y^2}$.
Não existe.
Determine se a função
$$f(x,y) = \begin{cases}e^{\left( \dfrac{1}{x^2 + y^2 - 1} \right)}, & \quad \text{se } x^2 + y^2 < 1, \\0, & \quad \text{se } x^2 + y^2 \geq 1.\end{cases}$$
é contínua em $\displaystyle{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$. Justifique sua resposta.
$0.$
Determine $h(x,y) = g(f(x,y))$ e o conjunto no qual $h$ é contínua, em que
$$g(t) = t^2 + \sqrt{t}, \ \ \ f(x,y) = 2x + 3y - 6.$$
$h(x,y) = (2x+3y-6)^{2} + \sqrt{2x + 3y - 6}$ é contínua em $\left\lbrace (x,y);\; y \geq -\frac{2x}{3} + 2 \right\rbrace.$
Verifique que a função \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\) é contínua no disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\).
O domínio de \(f\) é o disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\). Para todo ponto \((x_0,y_0)\) na fronteira do disco, temos \[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-x_0^2-y_0^2} = 0.\] Como o mesmo vale também para pontos interiores ao disco, temos que \(f\) é contínua no disco fechado.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2ye^y}{x^4 + 4y^2}$.
Não existe.
Não existe.
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - xy}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0).\end{cases}$$
Calcule o limite $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$ ou mostre que esse limite não existe.
Calcule o limite $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,1)}f(x,y)$ ou mostre que esse limite não existe.
$f$ é contínua em $(0,0)$? Justifique.
$f$ é contínua em $(1,1)$? Justifique.
O limite não existe.
$0.$
Não.
Sim.
Determine \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2). \)
Usando coordenadas polares, teremos que: \[\begin{array}{lll} x=r\cos\theta, & y=r\sin\theta, & r^2=x^2+y^2. \end{array} \] Além disso, como \(r=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0\), temos que \( r\rightarrow 0^+\) se, e somente se, \( (x,y)\rightarrow (0,0) \). Assim, segue para o limite dado que \begin{align*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2) & = \lim_{r\to 0^+} r^2\ln r^2 \\ & = \lim_{r\to 0^+}\underbrace{\dfrac{2\ln r}{1/r^2}}_{\text{do tipo}\ \infty/\infty} \\ & \stackrel{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{r\to 0^+} \dfrac{2/r}{-2/r^3} \\ & = \lim_{r\to 0^+} (-r^2) = 0.\end{align*}
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} - 1}$.
$2.$
Determine o maior conjunto no qual a função $F(x,y) = \dfrac{1}{x^2 - y}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; y \neq x^{2} \right\rbrace.$
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.
A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitude e do tempo.
O custo da tarifa do táxi como função da distância percorrida e do tempo gasto.
Contínua.
Descontínua.
Descontínua.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
$0.$
Mostre que os limites não existem, considerando que \((x,y)\rightarrow (0,0) \) ao longo dos eixos coordenados.
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{3}{x^2+2y^2} \]
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x+y}{2x^2+y^2} \]
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (5,-2)}(x^5 + 4x^3y - 5xy^2)$.
$2025.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 \ \mbox{sen}^2y}{x^2 + 2y^2}$.
$0.$
Determine o maior conjunto no qual a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2y^3}{2x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\1, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace.$
Seja $f(x,y) = \dfrac{2xy^2}{x^2 + y^4}$.
Considere a reta $\gamma(t) = (at, bt)$, com $a^2 + b^2 > 0$; mostre que, quaisquer que sejam $a$ e $b$,
$$\displaystyle \lim_{t \to 0} f(\gamma(t)) = 0.$$
Tente visualizar este resultado através das curvas de nível de $f$.
Calcule $\displaystyle \lim_{t \to 0} f(\delta(t))$, onde $\delta(t) = (t^2,t).$ (Antes de calcular o limite, tente prever o resultado olhando para as curvas de nível de $f$.)
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{2xy^2}{x^2 + y^4}$ existe? Por quê?
Demonstração.
$1.$
Não existe.
Suponha que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (3,1)}f(x,y) = 6$. O que podemos dizer do valor de $f(3,1)$? E se a função $f$ for contínua?
Nada se pode afirmar. Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ $f(3,1) = 6.$
Defina continuidade de uma função de duas variáveis $f(x,y)$ em um ponto $(x_0, y_0)$ de seu domínio.
Dada a função
$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2\sqrt{y}}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\L, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0),\end{cases}$$
é possível encontrar $L$ de maneira que $f$ seja contínua em $(0,0)$?
$f(x,y)$ é contínua em $(x_{0},y_{0}) \in D_{f}$ se
$$\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} f(x,y) = f(x_{0},y_{0}).$$
$L = 0.$
$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0), \end{cases}$ é contínua em (0,0)? Justifique.
Notemos que para $(x,y)\neq (0,0)$ a função $f$ é contínua, pois $xy^{2}$ e $x^{2}+y^{2}$ são funções contínuas e $x^{2}+y^{2}\neq 0.$ Agora, estudemos a continuidade da função $f$ no ponto $(0,0).$ Temos que
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{(x,y)\to (0,0)}x\cdot \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$$
Como
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}x=0\,\,\,\,\,\, \mbox{e}\,\,\,\,\,\, \bigg| \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\bigg|\leq 1,\, \forall (x,y)\neq (0,0),$$
obtemos que
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0.$$
Assim,
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).$$
Portanto, $f$ é contínua em $(0,0).$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{y - x^3}$, caso exista.
Não existe.
Determine o maior conjunto no qual a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + xy + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\end{cases}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \dfrac{x - y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$, caso exista.
Não existe.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = 3x^2y^2 - 5xy + 6$. Justifique sua resposta.
$\mathbb{R}^{2}.$
Utilize coordenadas polares $x=r\cos \theta$ e $y=r\sin \theta$, com $r \geq 0$ e $0 \leq \theta < 2 \pi$, e o teorema do confronto para calcular o limite
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.$$
Dica: Note que, se $(r, \theta)$ são as coordenadas polares do ponto $(x,y)$, com $r \geq 0$, então $r \to 0^+$ quando $(x,y) \to (0,0)$.
$0.$
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}x + y, & \quad \text{se } xy = 0, \\k, & \quad \text{caso contrário},\end{cases}$$
em que $k$ é um número real. É possível escolher $k$ de modo que $f$ seja contínua em $(0,0)$? Em caso afirmativo, qual deve ser o valor de $k$?
$k = 0.$
Se $f(x_0,y_0) = 3$, o que podemos dizer sobre
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)$$
se $f$ for contínua em $(x_0,y_0)$? E se $f$ não for contínua em $(x_0,y_0)$? Justifique sua resposta.
Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite é igual a $f(x_{0},y_{0}) = 3.$ Se não for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite pode ter qualquer valor diferente de $3.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy(x - y)}{x^4 + y^4}$, caso exista.
Não existe.
Sabendo que $\left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq 1$, podemos dizer algo sobre
$$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}y\sin\dfrac{1}{x}?$$
Justifique sua resposta.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} y\sin\left(\frac{1}{x} \right) = 0.$
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \sqrt{6 - 2x^2 - 3y^2}$. Justifique sua resposta.
$\left\lbrace (x,y);\; 2x^{2} + 3y^{2} \leq 6 \right\rbrace.$
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{y^4}{x^4 + 3y^4}$.
Não existe.
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} x \ \sin{\dfrac{1}{x^2 + y^2}}$, caso exista.
$0.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, caso exista.
$0.$
Determine o maior conjunto no qual a função $G(x,y) = \ln{(x^2 + y^2 - 4)}$ é contínua.
$\left\lbrace (x,y);\;x^{2} + y^{2} > 4 \right\rbrace.$
Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, caso exista.
Não existe.