Domínios, curvas de nível e esboço de gráficos

2525

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

2517

Dada a expressão $g(x,y)=f(x,y)+2$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ deslocado para cima por duas unidades.

2528

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $x+y-1+z^{2}=0$, $z\geq 0$.

$\left\lbrace (x,y); x + y \leq 1 \right\rbrace$

2515

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln z$ que passa pelo ponto $(3,-1,1)$.

$\sqrt{x - y} - \ln(z) = 2.$

2503

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{dt}{1+t^{2}}$ que passa pelo ponto $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$.

$\arctan(y) - \arctan(x) = 2\arctan(\sqrt{2}).$

2519

Dada a expressão $g(x,y)=-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy.$

2378

É dada uma curva $\gamma$ que passa pelo ponto $\gamma(t_0) = (1,3)$ e cuja imagem está contida na curva de nível $x^2 + y^2 = 10$. Suponha $\gamma'(t_0) \neq \bf{0}$.

Determine a equação da reta tangente a $\gamma$ no ponto $(1,3)$.
Determine uma curva $\gamma(t)$ satisfazendo as condições acima.

$(x,y) = (1,3) + \lambda (-6,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
$\gamma(t) = (\sqrt{10} \cos(t), \sqrt{10} \sin(t)).$

2495

Dada a função $f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}}$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,y) \right\rbrace$.
$Im(f) =\mathbb{R}.$
As curvas de nível são as parábolas $y = C x^{2}$ sem a origem se $C \neq 0$ e o eixo $x$ se $C \neq 0.$

2471

Seja $f(x,y,z)=e^{\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}.$

Calcule $f(2,-1,6).$
Determine o domínio de $f$.
Determine a imagem de $f$.

$e.$
$\left\lbrace (x,y,z): \;z \geq x^{2} + y^{2} \right\rbrace.$
$[1,\infty).$

2532

Seja $f(x,y)=e^{xy}$ uma função de duas variáveis.

Determine o domínio e a imagem de $f.$
Esboce as curvas de nível de $f.$

$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$ e $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z > 0 \right\rbrace.$
$xy = C.$

3075

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$.
Descreva em palavras como o gráfico da função $\displaystyle g(x,y)= e^{-a(x^2+y^2)}$ está relacionado com o gráfico de $f$, sendo $a>0$. Mostre (verifique) que o valor de $a$ influencia na "largura" do pico presente no gráfico da função.

2489

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

$z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

2456

Dada $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}$.

Encontre o domínio da função;
Encontre a imagem da função;
Descreva as curvas de nível da função.

O domínio de $f$ é
$$D=\{(x,y)|\, 16-x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}<16\}.$$
A imagem de $f$ é
$$\bigg\{z|\, z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}},\,(x,y)\in D\bigg\}.$$
Mas,
$$z=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.$$
Assim, a imagem de $f$ é $\bigg\{z|\, z \geq \dfrac{1}{4}\bigg\}.$
s curvas de níveis de $f$ são da forma $f(x,y)=c$, isto é,
$$\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}=c\Leftrightarrow \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow 16-x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c^{2}}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=16-\frac{1}{c^{2}}.$$
Assim, as curvas de níveis de $f$ são circunferências com centro na origem e raio menor do que $4.$

2501

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}$ que passa pelo ponto $(2\sqrt{2},\sqrt{2})$.

$x^{2} + y^{2} = 10.$

2516

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que passa pelo ponto $(-1,2,1)$.

$x^{2} + y + z^{2} = 6.$

2506

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=(y-2x)^{2}$ mostrando várias de suas curvas de nível.

$y=2x\pm \sqrt{C}, C \geq0.$

2479

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=3$.

$z = 3.$

2508

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=ye^{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.

$y = Ce^{-x}.$

2457

Considere a função

$$f(x,y)=\sqrt{x+y^{2}-3}$$

Faça um esboço das curvas de nível de $f$ nos níveis $c=0$, $c=1$ e $c=3.$
Quantas curvas de nível de $f$ passam pelo ponto $(3,-1)$?

As curvas de níveis de $f$ são
$$\sqrt{x+y^{2}-3}=c\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x+y^{2}-3=c^2\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x=3+c^2-y^{2},$$
ou seja, uma família de parábolas com concavidade para a esquerda. As três curvas de níveis pedidas, obtidas considerando respectivamente $c=0$, $c=1$ e $c=3$, são
$x=3-y^{2}$, $x=4-y^{2}$ e $x=12-y^{2}.$ Elas estão apresentadas na figura abaixo.
Pelo ponto $(3,-1)$ passa uma única curva de nível, isto é, $f(x,y)=1.$ Pois caso contrário o ponto $(3,-1)$ teria duas alturas diferentes, o que é impossível.

2523

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

2518

Dada a expressão $g(x,y)=2f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ esticado verticalmente ao dobro.

2500

Dada a função $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; 0 < z \leq 1 \right\rbrace.$
As curvas de nível são as os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0$ e a origem.

2487

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\cos{x}$.

$z = \cos(x)$

2502

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-1}$ que passa pelo ponto $(1,0)$.

$x = 1$ ou $x = -1.$

2530

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}$.

$\left\lbrace (x,y); x^{2} \leq y \leq 2x \right\rbrace$

2526

Seja $f(x,y)=3x+2y.$ Calcule:

$f(1,-1)$;
$f(a,x)$;
$\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$;
$\dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$.

$1.$
$3a + 2x.$
$3.$
$2.$

2504

Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é de uma função $f$ cujo gráfico é um cone. O outro é de uma função $g$ cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê?

O da esquerda corresponde ao cone e o da direita ao paraboloide.

2460

Seja $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$.

Calcule $f(2,0).$
Determine o domínio de $f$.
Determine a imagem de $f$.

$4.$
$\mathbb{R}^{2}.$
$[0,\infty).$

Queremos calcular $f(2,0)$ sabendo que $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$. Basta substituir os valores na expressão, assim temos
\[
f(2,0)=2^{2}e^{3 \cdot 2 \cdot 0}=4e^{0}=4 \cdot 1=4.
\]
Por definição, o domínio da função $f$ é o conjunto dos pontos de $\mathbb{R}^{2}$ em que a função está bem definida. Em nosso caso, o domínio é o conjunto de pontos em que a função $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$ está bem definida. Portanto, o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^2$.
A imagem da função $f$ é o conjunto dos pontos $\{ z\in \mathbb{R} | z = f(x,y) \text{ e } (x,y)\in D\}$, onde $D$ é o domínio de $f$. Observe que $x^{2} \geq 0$ e $e^{3xy}> 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, logo $x^{2}e^{3xy}\geq 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. Por exemplo, se fixarmos $x=1$ temos que a imagem da função são os pontos da forma $e^{3y}$ com $y\in \mathbb{R}$, ou seja, é todo o intervalo $(0,\infty)$. Agora, quando colocamos $x=0$ a imagem é $0$. Portanto, a imagem de $f$ é o conjunto $[0,\infty]$.

2486

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=10-4x-5y$.

$z = 10 - 4x - 5y.$

2490

Faça uma correspondência entre a função e seu gráfico (indicado por I-VI). Dê razões para sua escolha.

$f(x,y)=|x|+|y|$.
$f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$.
$f(x,y)=(x-y)^{2}$.
$f(x,y)=|xy|$.
$f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{2}$.
$f(x,y)=\sin(|x|+|y|)$.

2522

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

2521

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

2527

Seja $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+2y}$.

Determine o domínio.
Calcule $f(2u+v,v-u).$

$\left\lbrace (x,y);\; x \neq -2y \right\rbrace$
$\frac{u}{v}.$

2488

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y^{2}+1$.

$z = y^{2} + 1$

2458

O índice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é $T$ e a umidade relativa é $h$, de modo que podemos escrever $I=f(T,h)$. A tabela seguinte com valores de $I$ foi extraída de uma tabela do Environment Canada.

Qual é o valor de $f(35,60)$? Qual é o seu significado?
Para que valor de $h$ temos $f(30,h)=36$?
Para que valor de $T$ temos $f(T,40)=42$?
Qual o significado de $I=f(20,h)$ e $I=f(40,h)$? Compare o comportamento dessas duas funções de $h.$

48, o que significa que quando a temperatura real é $35^\circ$C e a umidade relativa é $60\%,$ o humidex é $48^\circ$C.
$50\%.$
$35^\circ$C.
$I = f(20,h)$ e $I = f(40,h)$ são funções de $h$ que fornecem os valores do humidex quando a temperatura real é $20^\circ$C e $40^\circ$C, respectivamente. Ambas as funções crescem com $h,$ porém $f(20,h)$ cresce aproximadamente a taxa constante, enquanto $f(40,h)$ cresce mais rapidamente a uma taxa crescente.

2491

Dada a função $f(x,y)=y-x$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as retas $y - x = C.$

2499

Dada a função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2})$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0.$

2507

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=y-\ln{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.

$y = \ln(x) + C.$

2505

Faça um esboço do diagrama de contorno da função cujo gráfico é mostrado.

$y = 2x \pm \sqrt{C},$ $C \geq 0.$

2478

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\ln(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2})$.

$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{16} < 1\right\rbrace.$

2492

Dada a função $f(x,y)=\sqrt{y-x}$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; x \leq y \right\rbrace$.
$Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z \geq 0 \right\rbrace.$
As curvas de nível são as retas $y - x = C,$ com $C \geq 0.$

2524

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ .Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

2472

Seja $g(x,y,z)=\ln(25-x^{2}-y^{2}-z^{2}).$

Calcule $g(2,-2,4).$
Determine o domínio de $g$.
Determine a imagem de $g$.

$0.$
$\left\lbrace (x,y,z): x^{2} + y^{2} + z^{2} < 25 \right\rbrace.$
$(-\infty, \ln(25)].$

2480

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y$.

$z = y.$

2493

Dada a função $f(x,y)=xy$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as hipérboles $xy = C$ quando $C \neq 0$ e os eixos $x$ e $y$ quando $C = 0.$

2473

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{x+y}$.

$\left\lbrace (x,y);\; y \geq -x \right\rbrace$

2379

Determine a equação da reta tangente à curva $\gamma$ no ponto $\gamma(t_0) = (2,5)$ sabendo-se que $\gamma'(t) \neq \bf{0}$ e que sua imagem está contida na curva de nível $xy = 10$. Qual a equação da reta normal a $\gamma$, neste ponto?

Reta tangente: $(x,y) = (2,5) + \lambda (-2,5),$ $\lambda \in \mathbb{R},$
Reta normal: $(x,y) = (2,5) + \lambda (5,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

2529

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $f(x,y)=\dfrac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.

$\left\lbrace (x,y); x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace$

3074

Mostre (verifique) que o domínio da função $f(x,y)=\ln(x^2-y)$ consiste em todos os pontos abaixo da curva $y<x^2$.

A função $(x,y)\longmapsto\ln(x^2-y)$ só está definida para $ 0<x^2-y $, ou seja, $y<x^2$. Assim, primeiro esboçamos a parábola $y=x^2$ (como uma curva tracejada, por exemplo). A região $y<x^2$ consiste em todos os pontos abaixo dessa curva.

2474

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\ln(9-x^{2}-9y^{2})$.

$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$

2477

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.

$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \right\rbrace.$

2475

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-y^{2}}$.

$\left\lbrace (x,y);\; -1 \leq x \leq 1,\;-1\leq y \leq 1 \right\rbrace.$

2513

Uma placa fina de metal, localizada no plano $xy$, tem temperatura $T(x,y)$ no ponto $(x,y)$. As curvas de nível de $T$ são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por

$$T(x,y)=\dfrac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}.$$

As isotérmicas são dadas pela família de elipses: $x^{2} + 2y^{2} = \frac{100}{C} - 1,$ com $0 < C \leq 100.$

2476

Determine e faça o esboço do domínio da função $\bigstar$ $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}}$.

$\left\lbrace (x,y);\; y \geq x^{2},\; x\neq \pm 1 \right\rbrace.$

2531

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $z=\ln(2x^{2}+y^{2}-1)$.

$\left\lbrace (x,y); 2x^{2} + y^{2} > 1 \right\rbrace$

2494

Dada a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.

Encontre o domínio da função.
Encontre a imagem da função.
Descreva as curvas de nível da função.

$D_{f} = \mathbb{R}^{2}.$
$Im(f) = \mathbb{R}.$
As curvas de nível são as hipérboles $x^{2} - y^{2} = C$ com foco no eixo $x$ se $C > 0;$ com foco no eixo $y$ se $C < 0$ e as retas $y = \pm x$ se $C = 0.$

2520

Dada a expressão $g(x,y)=2-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy$ e deslocado para cima por duas unidades.

2459

Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas

$$P(L,K)=1,01L^{0,75}K^{0,25}$$

discutida no Exemplo 3 da Seção 14.1 do Stewart, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma função de produção genérica

$$P(L,K)=bL^{\alpha}K^{1-\alpha}.$$

Sim.

2514

Faça uma correspondência entre a função: (i) e seu gráfico; (ii) e seus mapas de contorno. Justifique sua escolha.

$z=\sin(xy)$
$z=\sin(x-y)$
$z=(1-x^{2})(1-y^{2})$
$z=e^{x} \; \cos{y}$
$z=\sin{x}-\sin{y}$
$z=\dfrac{x-y}{1+x^{2}+y^{2}}$