Regra da cadeia

2202

Os lados iguais e o ângulo correspondente de um triângulo isósceles estão aumentando à razão de $3cm/h$ e $2^{\circ}/h$, respectivamente. Ache a taxa à qual a área do triângulo está aumentando no instante em que o comprimento de cada um dos

lados iguais é de $6$ metros e o ângulo correspondente é $60^{\circ}.$

$\approx 181559$ cm$^{2}/$h.

2132

Seja $g(t)=f(3t^{2},t^{3},e^{2t})$ e suponha $\dfrac{\partial f}{\partial z}(0,0,1)=4.$

Expresse $g^{'}(t)$ em termos das derivadas parciais de $f.$
Calcule $g^{'}(0).$

$\displaystyle g^{'}(t) = 6t \frac{\partial f}{\partial x}(3t^{2},t^{3},e^{2t}) + 3t^{2} \frac{\partial f}{\partial y}(3t^{2},t^{3},e^{2t}) + 2e^{2t} \frac{\partial f}{\partial z}(3t^{2},t^{3},e^{2t}).$
$g^{'}(0) = 8.$

2128

Seja $z=f(u-v,v-u)$. Verifique que
$$\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=0.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}(u-v,v-u) - \frac{\partial f}{\partial y}(u-v,v - u)$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = -\frac{\partial f}{\partial x}(u-v,v-u) + \frac{\partial f}{\partial y}(u-v,v - u).$

2026

Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$

$z=x^{2}y+xy^{2}$, $x=2+t^{2}$, $y=1-t^{3}$.

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = 4(2xy + y^{2} )^{3} - 3 (x^{2} + 2xy)t^{2}.$

2032

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$

$z=\arcsin(x-y)$, $x=s^{2}+t^{2}$, $y=1-2st$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2s + 2t}{\sqrt{1 - (x - y)^{2}}}$.

2115

Mostre que qualquer função da forma
$$z=f(x+at)+g(x-at)$$
é uma solução da equação de onda
$$\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}.$$
(Sugestão: Tome $u=x+at$, $v=x-at$.)

Note que se $u = x + at$ e $v = x - at,$ então $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = a^{2}f''(u) + a^{2} g''(v)$e\\$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = f''(u) + g''(v).$

2184

No item abaixo:

expresse $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ como funções de $u$ e $v$, usando a Regra da Cadeia e também expressando $w$ diretamente em termos e $u$ e $v$ antes de diferenciar;
calcule $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ no ponto dado $(u,v)$.

$w=xy+yz+xz$, $x=u+v$, $y=u-v$, $z=uv$; $(u,v)=(1/2,1).$

$\displaystyle w(u,v) = u^{2} - v^{2} + 2u^{2}v,$$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(u,v) = 2u + 4uv$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(u,v) = -2v + 2u^{2}.$
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(-2,0) = 3$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(-2,0) = -\frac{3}{2}.$

2119

Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:

substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.

$z=\ln(1+x^{2}+y^{2})$, $x=\sin{3t}$ e $y=\cos{3t}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 0.$

2118

Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:

substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.

$z=x^{2}+3y^{2}$,$x=\sin{t}$ e $y=\cos{t}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = -4\sin(t)\cos(t).$

2038

Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

$w=f(r,s,t)$, onde $r=r(x,y)$, $s=s(x,y)$, $t=t(x,y)$.

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}$

2117

Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:

substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.

$z=\sin(xy)$, $x=3t$ e $y=t^{2}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 9t^{2}\cos(3t^{3}).$

2027

Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$

$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, $x=e^{2t}$, $y=e^{-2t}$.

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{2xe^{2t} - 2ye^{2t}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$

2030

Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$

$w=xe^{y/z}$, $x=t^{2}$, $y=1-t$, $z=1+2t$.

$\displaystyle \frac{dw}{dt} = e^{\frac{y}{z}} \left(2t - \frac{x}{z} - \frac{2xy}{z^{2}} \right).$

2120

Seja $g(t)=f(3t,2t^{2}-1).$

Expresse $g^{'}(t)$ em termos das derivadas parciais de $f$.
Calcule $g^{'}(0)$ admitindo $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,-1)=\dfrac{1}{3}.$

$\displaystyle g'(t) = 3\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t^{2} - 1) + 4t \frac{\partial f}{\partial y}(3t,2t^{2} - 1).$
$g'(0) = 1.$

2033

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$

$z=e^{x+2y}$, $x=s/t$, $y=t/s$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{x + st}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}} \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{x + st}\left(\frac{2}{s} - \frac{s}{t^{2}} \right) $.

2131

$f(x,y,z)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que, para todo $(x,y)$ no domínio de $g,f(x,y,g(x,y))=0$.
Suponha $g(1,1)=3$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1,3)=2$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1,3)=5$ e $\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,1,3)=10.$
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $g$ no ponto $(1,1,3).$

$\displaystyle z - 3 = -\frac{1}{5}(x - 1) - \frac{1}{2} (y-1).$

2042

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$Y=w\tan^{-1}(uv)$, $u=r+s$, $v=s+t$; $w=t+r$
$\dfrac{\partial Y}{\partial r}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial s}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial t}$ quando $r=1$, $s=0$, $t=1$.

$\displaystyle \frac{\partial Y}{\partial r} = 1 + \frac{\pi}{4}$ ,$\dfrac{\partial Y}{\partial s} = 2$, $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial t} = 1 + \frac{\pi}{4}.$

2129

Considere a função $F(x,y)=f\bigg(\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{x}\bigg)$. Mostre que

$$x\dfrac{\partial F}{\partial x}+y\dfrac{\partial F}{\partial y}=0.$$

Note que$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x^{2}} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) + \frac{1}{x} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right).$

2122

Expresse $\partial z/\partial t$ em termos das derivadas parciais de $f$, sendo $z=f(x,y)$ e $x=\sin{3t}$ e $y=\cos{2t}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 3 \cos(3t) \frac{\partial f}{\partial x}(\sin(3t),\cos(2t)) - 2\sin(2t) \frac{\partial f}{\partial y}(\sin(3t),\cos(2t)).$

2081

O comprimento $l$, a largura $w$ e a altura $h$ de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são $l=1m$ e $w=h=2m$. $l$ e $w$ aumentam a uma taxa de $2m/s$, ao passo que $h$ diminui a uma taxa de $3m/s$. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.

O volume.
A área da superfície.
O comprimento da diagonal.

$6$ m$^3$/s.
$10$ m$^2$/s.
$0$ m/s.

2201

O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto aumentam à razão de $0,01cm/min$ e $0,02cm/min$, respectivamente.

Ache a taxa de variação do volume quando $r=4cm$ e $h=7cm.$
A que taxa a área da superfície curva está variando nesse instante?

$0,88\pi$ cm$^{3}/$min.
$0,3\pi$ cm$^{2}/$min.

2199

Se $f(u,v,w)$ é diferenciável, $u=x-y$, $v=y-z$ e $w=z-x$, mostre que
$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=0.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial w}, $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{\partial f}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial w}.$

2136

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$.
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^{2} - 1}{3z^{2} - 1}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3y^{2} - 1}{3z^{2} - 1}.$

2203

Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levadas em conta, a pressão $P$, o volume $V$ e a temperatura $T$
de um mol de gás confinado estão relacionados pela {\it equação de van der Waals}
$$\bigg(P+\frac{a}{V^{2}}\bigg)(V-b)=kT,$$
em que $a$, $b$ e $k$ são constantes positivas. Se $t$ é o tempo, estabeleça uma fórmula para $\mathrm{d}T/ \mathrm{d}t$ em termos de $\mathrm{d}P/\mathrm{d} t$,
$\mathrm{d} V/\mathrm{d}t$, $P$ e $V$.

$\displaystyle \frac{dT}{dt} = \frac{1}{k} \left( \left(\frac{dP}{dt} - \frac{2a}{V^{3}} \frac{dV}{dt}\right)(V - b) + \left( P + \frac{a}{V^{2}} \right) \frac{dV}{dt} \right).$

2182

Nos item abaixo:

expresse $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ como uma função de $t$, usando a Regra da Cadeia, expressando $w$ em termos de $t$ e diferenciando em relação a $t$;
calcule $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ no valor dado de $t$.

$w=x^{2}+y^{2}$, $x=\cos{t}$, $y=\sin{t}$; $t=\pi.$

$\displaystyle \frac{dw}{dt}(t) = 0.$
$\displaystyle \frac{dw}{dt}(\pi) = 0.$

2029

Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$

$z=\tan^{-1}(x/y)$, $x=e^{t}$, $y=1-e^{-t}$.

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{xe^{-t} - ye^{t}}{x^{2} + y^{2}}.$

2200

Suponha que substituamos coordenadas polares $x=r\cos{\theta}$ e $y=r\sin{\theta}$ em uma função diferenciável $w=f(x,y).$

Mostre que $$\frac{\partial w}{\partial r}=f_{x}\cos{\theta}+f_{y}\sin{\theta}$$ e $$\frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial \theta}=-f_{x}\sin{\theta}+f_{y}\cos{\theta}.$$
Resolva as equações no item 1. para expressar $f_{x}$ e $f_{y}$ em termos de $\partial w/ \partial r$ e $\partial w/\partial \theta$.
Mostre que $$(f_{x})^{2}+(f_{y})^{2}=\bigg(\frac{\partial w}{\partial r}\bigg)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\bigg(\frac{\partial w}{\partial \theta}\bigg)^{2}.$$

$\displaystyle f_{x} = \cos(\theta) \frac{\partial w}{\partial r} - \frac{\sin (\theta)}{r} \frac{\partial w}{\partial \theta}$ e $\displaystyle f_{y} = \sin(\theta) \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\cos (\theta)}{r} \frac{\partial w}{\partial \theta}.$

2040

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$z=x^{2}+xy^{3}$, $x=uv^{2}+w^{3}$, $y=u+ue^{w}$;
$\dfrac{\partial z}{\partial u}$, $\dfrac{\partial z}{\partial v}$, $\dfrac{\partial z}{\partial w}$ quando $u=2$, $v=1$, $w=0$.

$\dfrac{\partial z}{\partial u} = 85$, $\dfrac{\partial z}{\partial v} = 178$, $\dfrac{\partial z}{\partial w} = 54.$

2113

Se $u=f(x,y)$, onde $x=e^{s}\cos{t}$ e $y=e^{s}\sin{t}$, mostre que
$$\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg)^{2}+ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg)^{2}=
e^{-2s}\bigg[ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial s}\bigg)^{2}+\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg)^{2}\bigg].$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} = e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial x} + e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial y} $e
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = -e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial x} + e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial y} .$

2114

Se $z=f(x-y)$, mostre que
$$\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.$$

Note que se $u = x - y,$ então $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du}$e$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{dz}{du}.$

2020

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t,$ onde
$$z=\sin{\theta}\cos{\phi}, \quad \theta=st^{2}, \quad \phi=s^{2}t.$$

Utilizando a Regra de Cadeia, obtemos
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial s} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial s} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(t^2) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(2st) \\
& = & t^2\cos(st^2)\cos(s^2t) - 2st\sin(st^2)\sin(s^2t)
\end{eqnarray*}
e
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial t} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial t} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(2st) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(s^2) \\
& = & 2st\cos(st^2)\cos(s^2t) - s^2\sin(st^2)\sin(s^2t).
\end{eqnarray*}

2204

Suponha que $u=f(x,y)$ e $v=g(x,y)$ verifiquem as equações de Cauchy- Riemann $u_{x}=v_{y}$ e $u_{y}=-v_{x}$. Se $x=r\cos{\theta}$ e
$y=r\sin{\theta}$, mostre que
$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \text{ e } \frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \cos(\theta) u_{x} + \sin (\theta) u_{y},$ $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} = \cos(\theta) v_{x} + \sin (\theta) v_{y},$
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin(\theta) u_{x} + r \cos(\theta) u_{y}$ e $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta} = - r\sin(\theta) v_{x} + r \cos(\theta) v_{y}$.

2123

Suponha que, para todo $t$, $f(t^{2},2t)=t^{3}-3t$. Mostre que
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2).$$

Tome $t = 1$ em $\displaystyle \frac{df}{dt}(t^{2},2t) = 2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^{2},2t) + 2\frac{\partial f}{\partial y}(t^{2},2t) = 3t^{2} - 3.$

2036

Seja $W(s,t)=F(u(s,t),v(s,t))$, onde $F$, $u$ e $v$ são diferenciáveis, e $u(1,0)=2$, $u_{s}(1,0)=-2$, $u_{t}(1,0)=6$, $F_{u}(2,3)=-1$, $v(1,0)=3$, $v_{s}(1,0)=5$, $v_{t}(1,0)=4$, $F_{v}(2,3)=10.$ Determine $W_{s}(1,0)$ e $W_{t}(1,0).$

$W_{s}(1,0) = 52$ e $W_{t}(1,0) = 34.$

2121

Expresse $\partial z/\partial t$ em termos das derivadas parciais de $f$, sendo $z=f(x,y)$ e $x=t^{2}$ e $y=3t.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^{2},3t) + 3 \frac{\partial f}{\partial y}(t^{2},3t).$

2028

Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$

$z=\sin{x}\cos{y}$, $x=\pi t$, $y=\sqrt{t}$.

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \pi \cos(x) \cos(y) - \frac{1}{2\sqrt{t}} \sin(x) \sin(y).$

2135

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$.
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$e^{x+y+z}+xyz=1$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{e^{x + y + z} + yz}{e^{x + y + z} + xy}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{e^{x + y + z} + xz}{e^{x + y + z} + xy}.$

2133

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $y=y(x).$
Expresse $\mathrm{d} y/\mathrm{d} x$ em termos de $x$ e $y.$
$x^{2}y+\sin(y)=x$

$\displaystyle \frac{d y}{d x} = -\frac{2xy - 1}{x^{2} + \cos(y)}.$

2137

A função diferenciável $z=z(x,y)$ é dada implicitamente pela equação $f\bigg(\dfrac{x}{y},z\bigg)=0$, onde
$f(u,v)$ é suposta diferenciável e $\dfrac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0$. Verifique que
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{1}{y} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},z \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},z \right)\right)^{-1}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},z \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},z \right)\right)^{-1}$.

2082

Se $z=f(x,y)$, onde $x=r\cos{\theta}$ e $y=r\sin{\theta}$,

Determine $\dfrac{\partial z}{\partial r}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial \theta}.$
Mostre que $\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg)^{2}+ \bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)^{2}=\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial r}\bigg)^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\bigg)^{2}$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial z}{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial z}{\partial y} $e$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r \sin(\theta)\frac{\partial z}{\partial x} + r\cos(\theta) \frac{\partial z}{\partial y}.$
Use $(a)$ para calcular $\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial r}\bigg)^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\bigg)^{2}$.

2198

Encontre $\partial w/ \partial r$ quando $r=1$, $s=-1$ se $w=(x+y+z)^{2}$, $x=r-s$, $y=\cos(r+s)$, $z=\sin(r+s).$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}(x(1,-1),y(1,-1),z(-1,1)) = 12.$

2205

Suponha que $w=f(x,y)$ é diferenciável e que exista uma constante $\alpha$ tal que
$x=u\cos(\alpha)-v\sin(\alpha)$
$y=u\sin(\alpha)+v\cos(\alpha).$
Mostre que
$$\bigg(\frac{\partial w}{\partial u}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial v}\bigg)^{2}=\bigg(\frac{\partial w}{\partial x}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial y}\bigg)^{2}.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u} = \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v} = -\sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}.$

2034

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$

$z=e^{r}\cos{\theta}$, $r=st$, $\theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}}$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{r} \left( t\cos(\theta) - \frac{s}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{r} \left( s\cos(\theta) - \frac{t}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right).$

2206

Se $z=f(x,y)$ com $x=u+v$ e $y=u-v$, demonstre que
$$\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=2 \frac{\partial f}{\partial x}.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}.$

2031

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$

$z=x^{2}y^{3}$, $x=s\cos{t}$, $y=s\sin{t}$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = 2xy^{3} \cos(t) + 3x^{2}y^{2} \sin(t) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = -2sxy^{3} \sin(t) + 3 sx^{2}y^{2} \cos(t)$.

2021

Seja $g(x,y)=f(x^{2}+y^{2})$, onde $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função diferenciável. Mostre que
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$

Observe que $f$ é uma função de uma variável. Logo, utilizando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, obtemos
$$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2x)$$
e
$$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2y).$$
Portanto
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$

2039

Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

$t=f(u,v,w)$, onde $u=u(p,q,r,s)$, $v=v(p,q,r,s)$, $w=w(p,q,r,s)$.

$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial p} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial p},$ $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial q} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial q},$

$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial r} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial r}$ e $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial s} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s}.$

2183

Nos item abaixo:

expresse $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ como uma função de $t$, usando a Regra da Cadeia, expressando $w$ em termos de $t$ e diferenciando em relação a $t$;
calcule $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ no valor dado de $t$.

$w=x^{2}+y^{2}$, $x=\cos{t}+\sin{t}$, $y=\cos{t}-\sin{t}$; $t=0.$

$\displaystyle \frac{dw}{dt}(t) = 0.$
$\displaystyle \frac{dw}{dt}(0) = 0.$

2134

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $y=y(x).$
$y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}=3$

$\displaystyle \frac{d y}{d x} = - \frac{2xy^{2} + 4x^{3}}{4y^{3} + 2x^{2}y}.$

2116

Se $z=f(x,y)$, onde $x=r^{2}+s^{2}$ e $y=2rs$, determine $\partial^{2}z/\partial r\partial s.$

$\displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial r\partial s} = 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} + (4r^{2} + 4s^{2}) \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} + 2 \frac{\partial z}{\partial y}.$

2124

Suponha que, para todo $x$,$f(3x,x^{3})=\arctan(x)$.

Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1)$ admitindo $\dfrac{\partial f}{\partial y}(3,1)=2$.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(3,1,f(3,1))$.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1) = -\frac{11}{6}.$
$\displaystyle z - \frac{\pi}{4} = -\frac{11}{6}(x - 3) + 2(y - 1).$

2041

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$u=\sqrt{r^{2}+s^{2}}$, $r=y+x\;\cos{t}$, $s=x+y\;\sin{t}$;
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ quando $x=1$, $y=2$, $t=0$.

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{4}{\sqrt{10}}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{2}{\sqrt{10}}.$

2035

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$

$z=\tan(u/v)$, $u=2s+3t$, $v=3s-2t$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{2u - 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2u + 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right))$.

2125

Admita que, para todo $(x,y)$,

$$4y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2.$$

Calcule $g^{'}(t)$, sendo $g(t)=f(2\cos{t},\sin{t})$.

$g^{'}(t) = -1.$

2037

Se $z=f(x,y)$, onde $f$ é diferenciável, e $x=g(t)$, $g(3)=2$, $g'(3)=5$, $f_{x}(2,7)=6$, $y=h(t)$, $h(3)=7$, $h'(3)=-4$, $f_{y}(2,7)=-8,$ determine $\mathrm{d}z/ \mathrm{d}t$ quando $t=3.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt}(3) = 62.$

2126

Admita que, para todo $(x,y)$,

$$4y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.$$

Prove que $f$ é constante sobre a elipse $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.$

Note que $\displaystyle \frac{dz}{dt} \left(t \right) = 0,$ para $z = f(x,y),$ $x = t$ e $\displaystyle y = \pm \sqrt{1 - \frac{t^{2}}{4}}.$

2130

$f(t)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que $g(t,f(t))=0$ para todo $t$. Suponha $f(0)=1$,
$\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,1)=2$ e $\dfrac{\partial g}{\partial y}(0,1)=4$. Determine a equação da reta tangente a $\gamma(t)=(t,f(t))$,
no ponto $\gamma(0).$

$\displaystyle (x,y) = (0,1) + \lambda \left(1, - \frac{1}{2}\right),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

2127

Seja $z=f(u+2v,u^{2}-v)$. Expresse $\partial z/\partial u$ e $\partial z/\partial v$ em termos das

derivadas parciais de $f$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) + 2u \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v)$ e\\ $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) - \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v).$

2185

No item abaixo:

expresse $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ como funções de $u$ e $v$, usando a Regra da Cadeia e também expressando $w$ diretamente em termos e $u$ e $v$ antes de diferenciar;
calcule $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ no ponto dado $(u,v)$.

$w=\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$, $x=ue^{v}\sin{u}$, $y=ue^{v}\cos{u}$, $z=ue^{v}$; $(u,v)=(-2,0).$

$\displaystyle w(u,v) = \ln(2) + 2\ln(u) + 2v,$$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(u,v) = \frac{2}{u}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(u,v) = 2.$
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(-2,0) = -1$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(-2,0) = 2.$