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Suponha que a equação \(z=f(x,y)\) seja expressa na forma polar \(z=g(r,\theta)\) através da substituição \(x=r\cos\theta\) e \(y=r\sin\theta\).
Considere \(r\) e \(\theta\) como funções de \(x\) e \(y\) e use derivação implícita para mostrar que \[ \frac{\partial r}{\partial x} = \cos\theta \quad \text{e}\quad\frac{\partial\theta}{\partial x} =-\frac{\sin\theta}{r}.\]
Considere \(r\) e \(\theta\) como funções de \(x\) e \(y\) e use derivação implícita para mostrar que \[\dfrac{\partial r}{\partial y}=\sin\theta \quad \text{e}\quad \dfrac{\partial\theta}{\partial y}=\dfrac{\cos\theta}{r}.\]
Use os resultados anteriores para mostrar que \begin{align*} \dfrac{\partial z}{\partial x} & = \dfrac{\partial z}{\partial r}\cos\theta - \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial z}{\partial\theta}\sin\theta \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} & = \dfrac{\partial z}{\partial r}\sin\theta + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial z}{\partial\theta}\cos\theta\end{align*}
Use o resultado do item anterior para mostrar que \[ \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = \left(\dfrac{\partial z}{\partial r}\right)^2 +\dfrac{1}{r^2}\left(\dfrac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2. \]
Ainda usando o resultado do terceiro item, mostre que \(z=f(x,y)\) satisfaz a equação de Laplace \[ \dfrac{\partial^2z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}= 0, \] se, e somente se, \(z=g(r,\theta)\) satisfaz a equação \[ \dfrac{\partial^2z}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2z}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial z}{\partial r} = 0. \] A última equação acima é chamada de forma polar da equação de Laplace.
Encontre o valor de $\partial z/\partial x$ no ponto $(1,1,1)$ sabendo que a equação
$$xy+z^{3}x-2yz=0$$
define $z$ como uma função de duas variáveis independentes $x$ e $y$ e que a derivada parcial existe.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} (1,1,1) = -2$.
Use a derivação implicíta para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$ na expressão $x-z=\arctan(yz)$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 + y^{2}z^{2}}{1 + y + y^{2}z^{2}}$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z}{1 + y + y^{2}z^{2}}$.
Utilize as Equações
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$
para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$.
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$
$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{3yz - 2x}{2z - 3xy}$ e $\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{3xz - 2y}{2z - 3xy} .$
De acordo com o triângulo abaixo:
Expresse $A$ implicitamente como uma função de $a$, $b$ e $c$ e calcule $\partial A/\partial a$ e $\partial A/ \partial b.$
Expresse $a$ implicitamente como uma função de $A$, $b$ e $B$ e calcule $\partial a/ \partial A$ e $\partial a/ \partial B.$
$\displaystyle a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc\cos(A),\;\;\;\;\frac{\partial A}{\partial a} = \frac{a}{bc \sin (A)}\;\;\;\text{e}\;\;\;\frac{\partial A}{\partial b} = \frac{c \cos(A) - b}{bc \sin(A)}.$
$\displaystyle \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)},\;\;\;\;\frac{\partial a}{\partial A} = \frac{a\cos(A)}{\sin(A)}\;\;\;\text{e}\;\;\;\frac{\partial a}{\partial B} = - b\csc(B) \cot(B)\sin(A).$
A função diferenciável $z = f(x,y)$ é dada implicitamente pela equação $x^3 + y^3 + z^3 = 10$. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(1,1,f(1,1))$.
$x + y + 4z = 10.$
Utilize as Equações
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$
para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$.
$xyz=\cos(x+y+z)$
$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{yz + \sin(x + y + z)}{xy + \sin(x + y + z)}$ e $\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{xz + \sin(x + y + z)}{xy + \sin(x + y + z)}.$
Utilize a Equação
$$ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}=-\dfrac{F_x}{F_y}$$
para determinar $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$.
$\sqrt{xy}=1+x^{2}y$
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4(xy)^{3/2} - y}{x - 2x^{2}\sqrt{xy}} .$
Suponha que a equação $F(x,y,z)=0$ defina implicitamente cada uma das três variáveis $x$,$y$ e $z$ como função das outras duas:
$z=f(x,y)$, $y=g(x,y)$ e $x=h(y,z).$ Se $F$ for diferenciável e $F_{x}$,$F_{y}$ e $F_{z}$ forem todas não nulas, mostre que
$$\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=-1.$$
Note que$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_{x}}{F_{z}},$$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y} = -\frac{F_{y}}{F_{x}}$e$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial z} = -\frac{F_{z}}{F_{y}}.$
Dado que \(\displaystyle x^3+y^2x-3=0\), determine \(\dfrac{dy}{dx}\) usando derivação implícita.
Derivando implicitamente a equação dada, temos que \(3x^2+y^2+x(2yy')-0=0\). Ou seja,
\[ \frac{dy}{dx}= -\frac{3x^2+y^2}{2xy}.\]
Utilize as Equações
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}$
para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$.
$yz=\ln(x+z)$
$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{1}{y(x+z)-1}$ e $\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{z(x+z)}{y(x+z)-1}.$
Encontre os valores de $\partial z/ \partial x$ e $\partial z/\partial y$ no ponto indicado.
$z^{3}-xy+yz+y^{3}-2=0$, $(1,1,1).$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(1,1,1) = \frac{1}{4}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(1,1,1) = -\frac{3}{4}.$
Encontre os valores de $\partial z/ \partial x$ e $\partial z/\partial y$ no ponto indicado.
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1=0$, $(2,3,6).$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(2,3,6) = -9$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(2,3,6) = -4.$
A função diferenciável $z=z(x,y)$ é dada implicitamente pela equação $f\bigg(\dfrac{x}{y},\dfrac{z}{x^{\lambda}}\bigg)=0$ ($\lambda\neq 0$ um número real fixo), onde
$f(u,v)$ é suposta diferenciável e $\dfrac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0$. Verifique que
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=\lambda z.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\lambda z}{x} -\frac{x^{\lambda}}{y} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\right)^{-1} $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^{\lambda + 1}}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\right)^{-1}$.
Utilize a Equação
$$ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}=-\dfrac{F_x}{F_y}$$
para determinar $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$.
$\cos(x-y)=xe^{y}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x - y) + e^{y} }{\sin(x - y) -x e^{y}} .$
Use a derivação implicíta para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$ na expressão $\sin(xyz)=x+2y+3z$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 - yz \cos(xyz)}{xy\cos(xyz) - 3}$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 - xz \cos(xyz)}{xy\cos(xyz) - 3} $.
Considere a superfície dada implicitamente por
$$x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=-4xyz.$$
Calcule as derivadas $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ em um ponto genérico.
Quais os pontos nos quais as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x + 2yz}{2(z + xy)} \;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y + xz}{z + xy}.$
$\left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3};\; z = -xy \right\rbrace$.