Diferenciabilidade

Diferenciabilidade e Plano Tangente

Este aplicativo mostra a função $f$ e seu plano tangente no ponto $P=(x_0,y_0)$, bem como a aproximação linear de $f$, pelo plano tangente no ponto $Q=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$, próximo ao ponto de tangência..

Considere a equação do plano tangente neste ponto: $T(x,y)=f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$.

O erro cometido nesta aproximação é visto pelo traço vermelho mais forte. $\text{Erro }=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-T(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$.

Se f for diferenciável, como é o caso do exemplo, vê-se que o limite do erro sobre a distância de $Q$ a $P$, tende a zero quando o ponto Q tende ao ponto P. Para ver isto, arraste o ponto $Q$ para o ponto $P$, com o mouse.

Exemplo de uma função não-diferenciável na origem

O aplicativo mostra o gráfico de
$$f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, \text{se } (x,y)\neq (0,0) \\ 0,\text{se }  (x,y)= (0,0) \end{cases}.$$

Esta função não tem limite na origem. Certifique-se de que você consegue perceber isso visualmente aumentando o zoom do gráfico próximo à origem.

Verifique, também, o que acontece com o limite quando $Q$ tende a $P=(0,0)$ sobre a parábola $y=x^2$. 

Observe que o gráfico contém os eixos $x$ e $y$. Logo, os eixos são tangentes à superfície e as derivadas parciais são zero. Porém, não existe plano tangente à superfície na origem.