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2759   

Verifique que a função $f(x,y) = x \cos{(x^2 + y^2)}$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2764   

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}e^{\dfrac{1}{x^2 + y^2 - 1}}, & \quad \text{se } x^2 + y^2 < 1,\\0, & \quad \text{se } x^2 + y^2 \geq 1\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.


$\mathbb{R}^{2}$.


2746   

Considere a função

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}$$

  1. A função $f$ é contínua em $(0,0)$? Justifique sua resposta.

  2. Calcule as derivadas parciais $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).$

  3. Determine $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ para $(x,y)\neq (0,0).$

  4. $f$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique sua resposta.


  1. Não, pois $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ não existe.

  2. $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$.

  3. $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^{3} - x^{2}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{3} - xy^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$.

  4. Não, pois $f$ não é contínua em $(0,0)$ (ou: pois suas derivadas parciais não são contínuas em $(0,0)$).


2756   

Verifique que a função $f(x,y) = x^4 + y^3$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2758   

Verifique que a função $f(x,y) = \ln{(1 + x^2 + y^2)}$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2761   

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.


$\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$.


2755   

Verifique que a função $f(x,y) = e^{x - y^2}$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2751   

Considere a função

$$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0).\\\end{cases}$$

Mostre que $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$ existem, mas $f$ não é diferenciável em $(0,0)$.


$f_{x}(0,0) = f_{y}(0,0) = 0,$ mas $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ não existe, logo $f$ é discontínua em $(0,0)$ e portanto não é diferenciável neste ponto.


2748   

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = \dfrac{x}{x+y}, \quad (2,1)$.


As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.


2763   

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy^3}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = 0\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.


$\mathbb{R}^{2}$.


2749   

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = e^{-xy} \cos{y}, \quad (\pi,0)$.


As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.


3083   

A resistência total \(R\) de três resistores \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) ligados em paralelo é dada por \[ \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}. \] Suponha que \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\) tenham sido medidos como \(100\ \Omega\), \(200\  \Omega\) e \(300\  \Omega\), respectivamente, com um erro máximo de \(10\%\) em cada um e sendo \(\Omega\)(Ohm) a unidade de medida no sistema internacional de unidades. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de \(R\).


3081   

Verifique que a função \(\displaystyle u(x,t)=\sin(x-ct)\) é uma solução da equação da onda unidimensional \[ \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}, \] onde \(c\) é uma constante que depende das características da onda.



Calculando diretamente as derivadas parciais da função dada, temos

\[\begin{array}{ll} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \cos(x-ct),   & \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}= -\sin(x-ct) \\ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -c\cos(x-ct), & \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}= -c^2\sin(x-ct). \end{array}\] Assim, podemos ver que \(u(x,t)\) satisfaz a equação dada.


2747   

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = x\sqrt{y}, \quad (1,4)$.


As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.


2757   

Verifique que a função $f(x,y) = x^2y$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2753   

A função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\\\end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique.


Não.


2752   

A função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\\\end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique.


Não.


2760   

Verifique que a função $f(x,y) = \arctan{xy}$ é diferenciável.


As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.


2750   

Mostre que a função $f(x,y) = xy - 5y^2$ é diferenciável achando os valores $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ que satisfaçam a Definição $7$ da Seção $14.4$ do Stewart.


$\epsilon_{1} = \Delta y$ e $\epsilon_{2} = -5\Delta y$.


3082   

De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás confinado estão relacionados por \( P=kT/V\), onde \(k\) é uma constante. Use diferenciais para aproximar a variação percentual na pressão se a temperatura de um gás tiver crescido em \(3\%\) e o volume tiver crescido em \(5\%\).


3084   

Suponha que \(f(x,y)\) seja uma função diferenciável no ponto \((x_0,y_0)\) e seja \(z_0=f(x_0,y_0)\). Mostre que a função \(\displaystyle g(x,y,z)=z-f(x,y)\) é diferenciável em \((x_0,y_0,z_0)\).


2754   

A função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^4}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\\\end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique.


Sim.



2762   

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = 0\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.


$\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$.