Derivadas parciais
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Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=(4xy-3y^{3})^{3}+5x^{2}y$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 12 y (4xy - 3y^{3})^{2} + 10xy\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 3(4xy - 3y^{2})^{2}(4x - 9y^{2}) + 5x^{2}.$
Verifique que a função $z=\ln(e^{x}+e^{y})$ é uma solução das equações diferenciais
$$\frac{\mathrm{\partial}z}{\mathrm{\partial}x} + \frac{\mathrm{\partial}z}{\mathrm{\partial}y}=1\;\;\;\;\;\;\; e\;\;\;\;\;\;\; \frac{\mathrm{\partial}^{2}z}{\mathrm{\partial}^{2}x}+\frac{\mathrm{\partial}^{2}z}{\mathrm{\partial}^{2}y}-\bigg(\frac{\mathrm{\partial}^{2}z}{\mathrm{\partial}x\mathrm{\partial}y}\bigg)^{2}=0.$$
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z }{\partial x} &= \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{y}},\;\;\; \frac{\partial z }{\partial y} = \frac{e^{y}}{e^{x} + e^{y}},\\\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{2}} &= \frac{\partial^{2} z }{\partial y^{2}} = \frac{e^{x + y}}{(e^{x} + e^{y})^{2}},\;\;\; \frac{\partial^{2} z }{\partial x \partial y} = -\frac{e^{x + y}}{(e^{x} + e^{y})^{2}}.\end{aligned}$
Seja $z=e^{y}\phi(x-y)$, onde $\phi$ é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que $$\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}=z.$$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = e^{y}\phi'(x-y) \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = e^{y} \phi(x-y) -e^{y}\phi' (x-y).$
Determine as derivadas parciais de $z=\arctan \dfrac{x}{y}$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-x}{x^{2} + y^{2}}.$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(r,s)=r\ln(r^{2}+s^{2})$.
Sendo $f(r,s)=r\cdot \ln(r^{2}+s^{2})$, temos que as derivadas parciais em relação a $r$ e $s$, respectivamente, são:
$\bullet f_{r}(r,s)=1\cdot \ln(r^{2}+s^{2})+r\cdot \dfrac{1}{r^{2}+s^{2}}\cdot 2r=\ln(r^{2}+s^{2})+\dfrac{2r^{2}}{r^{2}+s^{2}}.$
$\bullet f_{s}(r,s)=0\cdot \ln(r^{2}+s^{2})+r\cdot \dfrac{1}{r^{2}+s^{2}}\cdot 2s=\dfrac{2rs}{r^{2}+s^{2}}.$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2y}{(x + y)^{2}}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x}{(x + y)^{2}}$.
Determine as derivadas parciais de $z=x^{2}\ln(1+x^{2}+y^{2})$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2x\ln(1+ x^{2} + y^{2}) + \frac{2x^{3}}{1 + x^{2} + y^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2x^{2}y}{1 + x^{2} + y^{2}}.$
Determine as derivadas parciais de $z=\dfrac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x^{4} + 3x^{2}y^{2} - 2xy^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2x^{2}y(1 - x)}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.$
Calcule as derivadas parciais de $s = f(x,y,z,w)$ dada por $s = xw \ln{(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)}$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial s}{\partial x} &= w \left( \frac{2x^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}} + \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})\right),\\\frac{\partial s}{\partial y} &= \frac{2xyw}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}},\;\;\;\; \frac{\partial s}{\partial z} = w \frac{2xzw}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial s}{\partial w} &= x \left( \frac{2w^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}} + \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})\right).\end{aligned}$
A função $p=p(V,T)$ é dada implicitamente pela equação $pV=nRT$, onde $n$ e $R$ são constantes não-nulas (Lei dos Gases Ideais). Calcule $\dfrac{\partial p}{\partial V}$ e $\dfrac{\partial p}{\partial T}.$
$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial V} = -\frac{nRT}{V^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial p}{\partial T} = \frac{nR}{V}.$
Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $f(x,y)=x^{3}y^{2}$.
$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= 2xy^{2},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= 2x^{3}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}= 6x^{2}y.$
Seja $s = f(x,y,z,w)$ dada por $s = e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}$. Verifique que
$$x\dfrac{\partial s}{\partial x} + y \dfrac{\partial s}{\partial y} + z \dfrac{\partial s}{\partial z} + w \dfrac{\partial s}{\partial w} = 0.$$
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial s}{\partial x} &= \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}},\;\;\;\;\;\frac{\partial s}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}},\\\frac{\partial s}{\partial z} &= -\frac{1}{w} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial s}{\partial w} = \frac{z}{w^{2}} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}.\end{aligned}$
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=1+xy^{2}-2z^{2}$.
$\displaystyle f_{x} = 1+ y^{2} ,\;\;\;\; f_{y} = 2xy \;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = -4z$.
As seguintes superfícies, rotuladas $a$, $b$ e $c$ de cima para baixo, são gráficos de uma função $f$ e de suas derivadas parciais $f_{x}$ e $f_{y}$. Identifique cada superfície e dê razões para sua escolha.
a) $f_{y},$ b) $f_{x},$ c) $f$.
Calcule as derivadas parciais de $f(x,y,z) = \sin{(x^2 + y^2 + z^2)}$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x \cos (x^{2} + y^{2} + z^{2}),\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \cos (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial f}{\partial z} &= 2z \cos (x^{2} + y^{2} + z^{2}).\end{aligned}$
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=5x^{4}y^{2}+xy^{3}+4$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 20x^{3}y^{2} + y^{3}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 10x^{4}y + 3xy^{2}.$
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=x-\sqrt{y^{2}+z^{2}}$.
$\displaystyle f_{x} = 1,\;\;\;\; f_{y} = -\frac{y}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = -\frac{z}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}$.
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=(x^{2}-1)(y+2)$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x(y + 2) \;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 1$.
Determine as derivadas parciais indicadas. $w=\dfrac{x}{y+2z}$; \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial z\partial y \partial x}$, \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y}$.
$\displaystyle \frac{\partial^{3}w}{\partial z\partial y \partial x} = \frac{4}{(y + 2z)^{3}}\;\;\;\text{e} \;\;\;\; \frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y} = 0$.
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-x^{2} - y^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -2ye^{-x^{2} - y^{2}}.$
Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $g(x,y)=4x^{3}y^{4}+y^{3}$.
$\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}= 24xy^{2},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}= 48x^{3} y^{2} \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x}= 48x^{2}y^{3}.$
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=e^{-x}\;\sin(x+y)$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -e^{-x} \sin(x + y) + e^{-x}\cos(x + y) \;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-x}\cos(x + y)$.
Determine as derivadas parciais de $g(x,y)=x^{y}$.
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = yx^{y - 1}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial g}{\partial y} = x^{y} \ln x.$
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=\cos^{2}(3x-y^2)$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -6\cos (3x - y^{2}) \sin(3x - y^{2}) \;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 4y \cos (3x - y^{2}) \sin(3x - y^{2})$.
Determine $\dfrac{ \partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, sendo $f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}$
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial f}{\partial x} &= \begin{cases}\dfrac{y^{2} - x^{2} - 2xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\\text{não existe} & \quad \text{se } (x,y)=(0,0)\\\end{cases} \;\;\;\; \text{e}\\\frac{\partial f}{\partial y} &= \begin{cases}\dfrac{4x^{2}y^{3} + 2y^{5} - 2xy}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}\end{aligned}$
Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar $f_{x}(x,y)$ e $f_{y}(x,y)$, sendo $f(x,y)=x^{2}y-x^{3}y$.
$\displaystyle f_{x} = y^{2} - 3x^{2}y \;\;\;\text{e}\;\;\; f_{y} = 2xy - x^{3}$.
Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $z=\ln(1+x^{2}+y^{2})$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} &= \frac{2 + 2y^{2} - 2x^{2}}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}= \frac{2 + 2x^{2} - 2y^{2}}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}} \;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}= \frac{-4xy}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}}.C\end{aligned}$
Considere a função $z=\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$ Verifique que $x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z.$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^{4} - x^{2}y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.$
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=1/(x+y)$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$.
Determine as derivadas parciais de $z=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2x(1 + \ln(x^{2} + y^ {2}))\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = 2y(1 + \ln(x^{2} + y^ {2})).$
Verifique que $x\;\dfrac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}+y\;\dfrac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=0$, onde $z=(x+y)e^{x/y}.$
$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}= \frac{-3xy - x^{2}}{y^{3}}e^{\frac{x}{y}} \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}= \frac{3x^{2}y + x^{3}}{y^{4}}e^{\frac{x}{y}}.$
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=e^{xy}\ln{y}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy}\ln y\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} \ln y + \frac{e^{xy}}{y}$.
Calcule as derivadas parciais de $w = x^2 \arcsin{\dfrac{y}{z}}$.
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = 2x \arcsin \left( \frac{t}{z}\right),\;\;\;\; \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{x^{2}|z|}{z\sqrt{z^{2} - y^{2}}} \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial w}{\partial z} = - \frac{x^{2}y}{|z|\sqrt{z^{2} - y^{2}}}.$
Considere a função
$$f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}$$
A função é contínua em $(0,0)$? Justifique sua resposta.
Determine as derivadas parciais $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.
Não, pois $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ não existe.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$.
A temperatura $T$ de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude $x$, da latitude $y$ e do tempo $t$, de modo que podemos escrever $T=f(x,y,t)$. Vamos medir o tempo em horas a partir do início de Janeiro.
Qual é o significado das derivadas parciais $\partial T/\partial x$, $\partial T/\partial y$ e $\partial T/\partial t$?
Honolulu (você sabe onde fica?) tem longitude de $158^{\circ}W$ e latitude de $21^{\circ}N$. Suponha que às 9 horas em $1^{\circ}$ de Janeiro esteja ventando para nordeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja mais frio. Você esperaria que $f_{x}(158,21,9)$, $f_{y}(158,21,9)$ e $f_{t}(128,21,9)$ fossem positivas ou negativas? Explique.
- $\partial T/\partial x$ é a taxa de variação da temperatura quando a longitude muda, mas a latitude e o tempo são constantes;
$\partial T/\partial y$ é a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda, mas a longitude e o tempo são constantes;
$\partial T/\partial t$ é a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda, mas a longitude e a latitude são constantes. - $f_{x}(158,21,9) > 0,$ $f_{y}(158,21,9) < 0$ e $f_{t}(158,21,9) > 0.$
Seja $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}$. Verifique que
$x\;\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+y\;\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x,y)=-3\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$
$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=\dfrac{4}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial f}{\partial x} &= -\frac{2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{6 x^{2} - 2y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{3}},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{6 y^{2} - 2x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{3}} \;\;\;\;\;\text{e}\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} &= \frac{8xy}{(x^{2} + y^{2})^{3}}.\end{aligned}$
A lei dos gases para uma massa fixa $m$ de um gás ideal à temperatura absoluta $T$, pressão $P$ e o volume $V$ é $PV=mRT$, onde $R$ é a constante do gás. Mostre que
$$\frac{\mathrm{\partial}P}{\mathrm{\partial}V}\frac{\mathrm{\partial}V}{\mathrm{\partial}T}\frac{\mathrm{\partial}T}{\mathrm{\partial}P}=-1.$$
$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{mRT}{V^{2}},\;\;\;\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{mR}{P}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial T}{\partial P} = \frac{V}{mR}.$
O índice de sensação térmica $W$ é a temperatura sentida quando a temperatura real é $T$ e a velocidade do vento, $v$. Portanto, podemos escrever $W=f(T,v)$. Considerando a tabela abaixo:
Estime os valores de $f_{T}(-15,30)$ e $f_{v}(-15,30)$. Quais são as nterpretações práticas desses valores?
Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de $\partial W/\partial T$ e $\partial W/\partial v$?
Qual parece ser o valor do seguinte limite
$$\lim_{v\rightarrow \infty}\frac{\partial W}{\partial v}?$$
$f_{T}(-15,30) \approx 1.3$ Isto significa que quando a temperatura real é $-15º$C e a velocidade do vento é $30$km/h, a temperatura aparente aumenta cerca de $1.3º$C para cada $1º$C que a temperatura real aumenta;\\
$f_{v}(-15,30) \approx -0.15$ Isto significa que quando a temperatura real é $-15º$C e a velocidade do vento é $30$km/h, a temperatura aparente diminui cerca de $0.15º$C para cada $1$km/h que a velocidade do vento aumenta.
$\frac{\partial W}{\partial T} > 0$ e $\frac{\partial W}{\partial v} \leq 0.$
$\lim_{v \to \infty} \frac{\partial W}{\partial v} = 0.$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y)=x^{5}+3x^{3}y^{2}+3xy^{4}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 5x^{4} + 9x^{2}y^{2} + 3y^{4}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^{3}y + 12xy^{3}$.
Determine a derivada parcial $f_{x}(3,4)$, onde $f(x,y)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}).$
$f_{x}(3,4) = \frac{1}{5}$.
Determine as derivadas parciais de $z=\dfrac{x\sin{y}}{\cos(x^{2}+y^{2})}$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\sin y ( \cos(x^{2} + y^{2}) + 2x^{2} \sin(x^{2} + y^{2}))}{(\cos(x^{2} + y^{2}))^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{x \cos y \cos(x^{2} + y^{2}) + 2xy \sin y \sin(x^{2} + y^{2})}{(\cos(x^{2} + y^{2}))^{2}}.\end{aligned}$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=te^{w/t}$.
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = e^{w/t} \left( 1 - \frac{w}{t} \right)\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial u}{\partial w} = e^{w/t}$.
Considere a função
$$f(x,y)=\log(9-x^{2}-9y^{2}).$$
Esboce no plano $xy$ o domínio de $f.$
Calcule as derivadas parciais $f_{x}$ e $f_{y}.$
- $D_{f} = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2};\; x^{2} -9y^{2} < 9 \right\rbrace$.
- $\displaystyle f_{x} = \frac{-2x}{9 - x^{2} - 9y^{2}} \;\;\;\text{e}\;\;\;f_{y} = \frac{-18y}{9 - x^{2} - 9y^{2}}$.
Determine as derivadas parciais de $z=xye^{xy}$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy} (1 + xy) \;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy} (1 + xy).$
$$x\;\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\;\dfrac{\partial z}{\partial y}=z.$$
Primeiramente, vamos calcular $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial }.$ Assim,\\
$\bullet $ $\dfrac{\partial z}{\partial x}=$ $\dfrac{\partial}{\partial x}\bigg[x\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\bigg]=
1\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)+x\cdot \cos \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\cdot \dfrac{1}{y}$
$$=\sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)$$
$\bullet $ $\dfrac{\partial z}{\partial y}=$ $\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg[x\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\bigg]=
0\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)+x\cdot \cos \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\cdot \bigg(-\dfrac{x}{y^{2}}\bigg)$
$$=-\frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg).$$
Então,
$$x\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot \bigg[\sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg] +
y\cdot\bigg[ -\frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg]$$
$$=x\cdot \sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x^{2}}{y}\cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)-\frac{x^{2}}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)$$
$$x\cdot \sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=z.$$
Disseram-lhe que existe uma função $f$ cujas derivadas parciais são \[f_{x}(x,y)=x+4y \quad \mbox{e} \quad f_{y}(x,y)=3x-y,\] e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas. Você deve acreditar nisso?
Não, pois pelo Teorema de Clairaut deveria ser verdade que $f_{xy} = f_{yx},$ mas temos $f_{xy} = 4 \neq 3 = f_{yx}.$
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}$.
$\begin{aligned}[t]f_{x} &= -x(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2},\;\; f_{y} = -y(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2}\;\;\text{e}\\f_{z} &= -z(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2}.\end{aligned}$
Calcule as derivadas parciais de $w = \dfrac{xyz}{x + y + z}$.
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{yz(y+z)}{(x+y+z)^{2}},\;\;\;\; \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{xz(x+z)}{(x+y+z)^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{xy(x+y)}{(x+y+z)^{2}}.$
São mostradas as curvas de nível de uma função $f.$ Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto $P.$
$f_{x}$
$f_{xx}$
$f_{yy}$$f_{y}$
$f_{xy}$
Negativa
Positiva
Positiva
Negativa
Positiva
Seja $w=f(x,y,z)$ uma função de três variáveis independentes. Escreva a definição formal de derivada parcial $\partial f/\partial z$ em $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Use essa definição para encontrar $\partial f/\partial z$ em $(1,2,3)$ para $f(x,y,z)=x^{2}yz^{2}.$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1,2,3) = 12$.
Se $z=\sin(x+\sin{y})$, mostre que $\dfrac{\partial z}{\partial x} \;\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial y}\;\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z}{\partial x} &= \cos(x + \sin y),\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x + \sin y) \cos y,\\\frac{\partial z^{2}}{\partial x\partial y} &= -\sin (x + \sin y) \cos y\;\;\text{e}\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\sin (x + \sin y).\end{aligned}$
Determine $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$, sendo $z=f(x)+g(y)$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = f'(x)$
$\frac{\partial z}{\partial y} = g'(y)$.
Seja $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função de uma variável real, diferenciável e tal que $\phi '(1)=4.$ Seja $g(x,y)=\phi\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg).$ Calcule
$\dfrac{\partial g}{\partial x}(1,1)$.
$\dfrac{\partial g}{\partial y}(1,1)$.
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{1}{y} \phi'\left( \frac{x}{y} \right)$
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} \phi' \left( \frac{x}{y} \right).$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}^{2}}$.
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{i}}= \frac{x_{i}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}^{2}}}$ para todo $i = 1, \cdots, n$.
Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $z=e^{x^{2}-y^{2}}$.
$\begin{aligned}[t]\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} &= 2e^{x^{2} - y^{2}}(1 + 2x^{2}),\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}= 2e^{x^{2} - y^{2}}(2y^{2} - 1) \;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}= -4xye^{x^{2} - y^{2}}.\end{aligned}$
Determine as derivadas parciais de $z=\cos(xy)$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -y\sin(xy)\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = -x\sin(xy).$
Seja $f(x,y)=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$
Calcule as derivadas parciais $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$, num ponto $(x,y)\neq\;(0,0).$
Calcule o limite, se existir.
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2xy^{4}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2x^{4}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$.
$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0$.
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=\ln(x+2y+3z)$.
$\displaystyle f_{x} = \frac{1}{x + 2y + 3z},\;\;\;\; f_{y} = \frac{2}{x + 2y + 3z}\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = \frac{3}{x + 2y + 3z}$.
Verifique que $\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0$, onde $f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}).$
$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{2 y^{2} - 2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{2 x^{2} - 2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.$
Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=(xy-1)^{2}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2y(xy - 1)\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 2x (xy - 1)$.
Verifique que a função $u=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ é uma solução da equação de Laplace tridimensional $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0.$
$\displaystyle u_{xx} = \frac{2x^{2} - y^{2} - z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}},\;\;\; u_{yy} = \frac{2y^{2} - x^{2} - z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}}\;\;\;\text{e}\;\;\;u_{zz} = \frac{2z^{2} - x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}}$.
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$.
$\displaystyle f_{x} = -2xe^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})},\;\;\;\; f_{y} = -2ye^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})}\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = -2ze^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$.
Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=e^{-xyz}$.
$\displaystyle f_{x} = -yz e^{-xyz},\;\;\;\; f_{y} = -xz e^{-xyz}\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = -xy e^{-xyz}$.
Seja
$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}$$
Use um computador para traçar o gráfico de $f$.
Determine $f_{x}(x,y)$ e $f_{y}(x,y)$ quando $(x,y)\neq (0,0).$
Determine $f_{x}(0,0)$ e $f_{y}(0,0)$ use a definição das derivadas parciais como limite.
Mostre que $f_{xy}(0,0)=-1$ e $f_{yx}(0,0)=1$
O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use o gráfico de $f_{xy}$ e $f_{yx}$ para ilustrar sua resposta.
- Gráfico de $f$:
- $\displaystyle f_{x} = \frac{x^{4}y + 4x^{2}y^{3} - y^{5}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\text{e}\;\;f_{y} = \frac{x^{5} - 4x^{3}y^{2} - xy^{4} }{(x^{2} + y^{2})^{2}}$ quando $(x,y)\neq (0,0).$
- $f_{x}(0,0) = f_{y}(0,0) = 0$.
- Use $\displaystyle f_{xy}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f_{x}(0,h) - f_{x}(0,0)}{h}\;\;\text{e}\;\;f_{yx}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f_{y}(h,0) - f_{y}(0,0)}{h}$.
- Para $(x,y) \neq (0,0),$ $\displaystyle f_{xy} = {x^{6} + 9x^{4}y^{2} - 9x^{2}y^{4} - y^{6}}{(x^{2} + y^{2})^{3}}.$ Como $f_{xy}$ não é contínua na origem, não há uma contradição com o Teorema de Clairaut. Os gráficos de $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são idênticos, exceto na origem:
Calcule as derivadas parciais de $f(x,y,z) = xe^{x - y - z}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = (1 + x)e^{x - y - z},\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -x e^{x - y - z}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial z} = -x e^{x - y - z}.$
Considere a função
$$f(x,y)=\begin{cases}x+y, & \quad \text{se } xy=0,\\\kappa, & \quad \text{caso contrário},\\\end{cases}$$
em que $\kappa$ é um número real. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de $f$ em $(0,0).$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = 1$.
Seja $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função de uma variável real, diferenciável e tal que $\phi '(1)=4.$ Seja $g(x,y)=\phi\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg).$ Verifique que, para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, com $y\neq 0$, temos que
$$x\;\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)+y\;\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0.$$
Seja $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável real e seja $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\phi \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg).$
Mostre que
$$x\;\frac{\partial f}{\partial x}+y\;\frac{\partial f}{\partial y}=2f.$$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \phi \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{(x^{2} + y^{2})}{y} \phi'\left( \frac{x}{y} \right)\ \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \phi \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{x(x^{2} + y^{2})}{y^{2}} \phi'\left( \frac{x}{y} \right).$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=x^{y/z}$.
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{z} x^{(y/z) - 1},\;\;\; \frac{\partial u}{\partial y} = x^{y/z} \ln x \;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{yx^{y/z}}{z^{2}} \ln x$.
Determine a derivada parcial indicada. $u=e^{r\theta}\sin{\theta}$; $\dfrac{\partial ^{3}u}{\partial r^{2}\partial \theta}$.
$\dfrac{\partial ^{3}u}{\partial r^{2}\partial \theta} = \theta e^{r\theta} (2\sin \theta + \theta \cos \theta + r\theta \sin \theta)$.
Seja $f(x,y,z) = \dfrac{x}{x^2 + y^2 + z^2}$.
Verifique que
$$x\dfrac{\partial f}{\partial x} + y\dfrac{\partial f}{\partial y} + z\dfrac{\partial f}{\partial z} = -f.$$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}},\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}}.$
Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{2}+3}$.
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{(x^{3} + y^{3} + 3)^{2}}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{3 \sqrt[3]{(x^{3} + y^{3} + 3)^{2}}} .$
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y)=\displaystyle\int_{y}^{x}\cos^2t \ \mathrm{d}t$.
Sendo $f(x,y)=\displaystyle\int_{y}^{x}\cos (t^{2})\,dt$, temos que as derivadas parciais em relação a $x$ e $y$, respectivamente, são:
$\bullet \dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigg(\displaystyle\int_{y}^{x}\cos(t^{2})\bigg)=\cos(x^{2}).$
$\bullet \dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg(\displaystyle\int_{y}^{x}\cos(t^{2})\bigg)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg(-\displaystyle\int_{x}^{y}\cos(t^{2})\bigg)=-\cos(y^{2}).$
Notemos que nas soluções das derivadas parciais acima utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo.