Gradiente: Interpretação geométrica

O aplicativo abaixo mostra um mapa de contorno da função $z=f(x,y)=xy$ e o gradiente de $f$ em um ponto $P$.

Mova o ponto P e repare que o $\nabla f(P)$ permanece sempre perpendicular à curva de nível que passa por $P$.

Propriedades do Gradiente

Observe o gráfico de $x^2+0.44y^2=4$.

O vetor azul é $-\nabla f(a,b)$ e aponta na direção da taxa máxima de descida. A taxa de variação nessa direção é $-\left|\left|\nabla f(a,b)\right|\right|$.

O vetor vermelho é $\nabla f(a,b)$ e aponta na direção da taxa máxima de subida. A taxa de variação nessa direção é $\left|\left|\nabla f(a,b)\right|\right|$.

Gradiente - Curvas de Nível 

Varie os parâmetros $a$, $b$ e $c$ para modificar a superfície.

Escolha o valor mínimo e máximo para de $z$, nas caixas zmin e zmax. 
Atribua na caixa n o número de curvas de nível que deseja visualizar.
Você pode mover o ponto $P$, arrastando-o, para visualizar o gradiente em diversos pontos do domínio.
Por fim, ao selecionar a caixa Path of steepest ascent, você pode visualizar qual o trajeto de máxima subida ao longo das curvas de nível.

Aplicativo em inglês.

Derivada direcional e o Gradiente (I)

Este aplicativo mostra a interpretação geométrica do gradiente de uma função de duas variáveis em um ponto P, em relação à sua derivada direcional na direção do vetor unitário $u$.

Movimente o vetor $u$ arrastando o ponto $A$. Para que valores do ângulo $\alpha$ a derivada direcional atinge os seus valores: máximo, mínimo e zero?

Derivada direcional e o Gradiente (II)

Este aplicativo mostra a propriedade do valor máximo e mínimo do gradiente.

Varie os parâmetros $a$, $b$ e $c$ para modificar a superfície.

Deslize os botões $x_0$ e $y_0$ para selecionar o ponto em que você deseja avaliar o gradiente.

Movimente o ponto em vermelho para variar a direção da Derivada direcional. Observe qual direção resulta nos valores máximo e mínimo da Derivada direcional.