LISTA DE DISCIPLINAS

Gradiente

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.


2374   

A temperatura $T$ em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto $(1,2,2)$ é de 120°.

  1.  Determine a taxa de variação de $T$ em $(1,2,2)$ em direção ao ponto $(2,1,3)$.
  2.  Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.


  1. $\displaystyle -\frac{40}{3\sqrt{3}}.$
  2.  Note que $\nabla T = -360 (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2} (x,y,z)$ sempre aponta para a origem. 


2375   

A temperatura em um ponto $(x,y,z)$ é dada por

$$T(x,y,z) = 200e^{-x^2 - 3y^2 - 9z^2},$$

em que $T$ é medido em °C  e $x,y$ e $z$ em metros.

  1.  Determine a taxa de variação da temperatura no ponto $P = (2,-1,2)$ em direção ao ponto $(3,-3,3)$.
  2.  Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em $P$?
  3.  Encontre a taxa máxima de crescimento em $P$.


  1.  $\displaystyle \frac{5200\sqrt{6}}{3e^{43}}$ ºC/m.
  2.  $400 e^{-43} (-2,3,-18).$
  3.  $400 e^{-43}\sqrt{337}$ ºC/m.


2280   

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.

$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$


 $\displaystyle \nabla f(x,y,z) = (2x,2y,2z).$


2274   

No item abaixo :

  1.  determine o gradiente de $f$; 
  2.  calcule o gradiente no ponto $P$; e 
  3.  determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.

$f(x,y,z) = \sqrt{x+yz},  P = (1,3,1),  \bf{u} = \left( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7} \right)$.


  1. $\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x + yz}}, \frac{z}{2\sqrt{x + yz}}, \frac{y}{2\sqrt{x + yz}} \right).$
  2. $\displaystyle \nabla f(1,3,1) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right).$
  3. $\displaystyle \frac{23}{28}.$


2275   

Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = x^2y$


$\displaystyle \nabla f(x,y) = (2xy,x^{2}).$


2279   

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.

$f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$


 $\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$


2400   

 Determine os pontos da superfície $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1$ nos quais o plano tangente é paralelo ao plano $3x - y + 3z = 1$.


$\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{2}}{5}, - \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{5} \right)$ e $\displaystyle \left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{1}{5\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{2}}{5} \right).$


2277   

Calcule $\nabla f(x,y)$.
$f(x,y) = e^{x^2 - y^2}$


$\displaystyle \nabla f(x,y) = e^{x^{2} - y^{2}}(2x,-2y).$


2398   

Determine uma reta que seja tangente à curva $x^2 + xy + y^2 = 7$ e paralela à reta $4x + 5y = 17$.


 $\displaystyle y - 2 = -\frac{4}{5} (x - 1)$ ou $\displaystyle y + 2 = -\frac{4}{5} (x + 1).$


2389   

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

$x^2 - 2y^2 + z^2 + yz = 2$ em $(2,1,-1).$

 


Plano tangente: $4x - 5y - z = 4$,
Reta normal: $(x,y,z) = (2,1,-1) + \lambda (4,-5,-1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2373   

Considere a função

$$f(x,y) = \ln{(x^2 + y^2)}.$$

  1. Determine a taxa de variação máxima de $f$ em $(1,1)$ e a direção em que isso ocorre.
  2.  Determine a derivada direcional de $f$ em $(1,1)$ na direção do vetor $\bf{v} = (3,4)$.


  1. Na direção do vetor $(1,1).$ O valor da taxa máxima é $\sqrt{2}.$ 
  2.  $ \displaystyle \frac{7}{5}.$


2376   

Seja $f$ uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos $A = (1,3)$, $B = (3,3)$, $C = (1,7)$ e $D = (6,15)$. A derivada direcional em $A$ na direção do vetor $\overrightarrow{AB}$ é 3, e a derivada direcional em $A$ na direção $\overrightarrow{AC}$ é 26. Determine a derivada direcional de $f$ em $A$ na direção do vetor $\overrightarrow{AD}$.


 $\displaystyle \frac{327}{13}.$


2080   

A temperatura em um ponto $(x,y)$ é $T(x,y)$, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de 

$t$ segundos seja dada por $x=\sqrt{1+t}$ e $y=2+\dfrac{1}{3}t$, onde $x$ e $y$ são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz 

$T_{x}(2,3)=4$ e $T_{y}(2,3)=3$. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?



A temperatura aumenta a uma taxa de $2º$C/s.


2399   

Existem pontos no hiperboloide $x^2 - y^2 - z^2 = 1$ nos quais o plano tangente é paralelo ao plano $z = x + y$?


Não.


2025   

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico $V$ seja dado por $V(x,y,z) = 5x^2 - 3xy + xyz.$

  1. Determine a taxa de variação do potencial em $P = (3,4,5)$ na direção do vetor $\bf{v} = \bf{i} + \bf{j} - \bf{k}$.
  2. Em que direção $V$ varia mais rapidamente em $P$?
  3. Qual a taxa máxima de variação em $P$?



  1. Queremos determinar o valor de $D_\bf{u}f(P)$, em que $\bf{u}$ é o vetor unitário que tem mesma direção de $\bf{v}$, isto é, $\bf{u} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$. Como $V$ é diferenciável, segue que  $D_\bf{u}f(P) = \nabla V(P) \cdot \mathbf{u}$. Observe que \linebreak $\nabla V(x,y,z) = (10x-3y+yz,-3x+xz,xy)$. Logo $\nabla V(P) = (38,6,12)$. Portanto, $$D_\bf{u}f(P) = \nabla V(P) \, \cdot \, \mathbf{u} = (38,6,12) \, \cdot \, \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1) = \dfrac{32\sqrt{3}}{3}.$$
  2. A direção em que $V$ varia mais rapidamente no ponto $P$ é a direção do gradiente de $V$ no ponto $P$, isto é, na direção de $\nabla V(P) = (38,6,12)$. Observe que aqui não é necessário normalizar o vetor, pois o exercício pede apenas a direção.
  3. A taxa de variação máxima é $|\nabla V(P)| = 2\sqrt{406}$.


2403   

  1.  Duas superfícies são ditas \textbf{ortogonais} em um ponto de intersecção se suas normais são perpendiculares nesse ponto. Mostre que superfícies com equação $F(x,y,z) = 0$ e $G(x,y,z) = 0$ são ortogonais em um ponto $P$, em que $\nabla F \neq 0$ e $\nabla G \neq 0$, se, e somente se, em $P$, $$F_xG_x + F_yG_y + F_zG_z = 0.$$
  2. Use a parte 1. para mostrar que as superfícies $z^2 = x^2 + y^2$ e $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ são ortogonais em todo ponto de intersecção. Você pode ver isso sem fazer os cálculos?



  1.  Note que a direção da normal de $F$ é dada por $\nabla F,$ a de $G$ por $\nabla G$  e que duas normais em $P$ são perpendiculares se $\nabla F \cdot \nabla G = 0.$
  2.  Tome $F = x^2 + y^2 - z^2,$ $G = x^2 + y^2 + z^2 - r^2$ e verifique $(a).$ Para "ver" isso sem calcular, note que $F = 0$ é a equação de um cone circular com vértice na origem e $G = 0$ é a equação de uma esfera centrada na origem.


2368   

Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

$f(x,y) = \sqrt{4 - x^2 - 2y^2}$ em $\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$.


 Cresce: $(-1,-1)$; descresce: $(1,1).$


2330   

Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
$f(x,y) = \dfrac{y^2}{x},  (2,4).$


$4\sqrt{2}.$


2282   

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.

$f(x,y,z) = z \arctan{\dfrac{x}{y}}$


$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{yz}{x^{2} + y^{2}},-\frac{xz}{x^{2} + y^{2}},\arctan\left(\frac{x}{y}\right) \right).$


2367   

Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

$f(x,y) = \ln{||(x,y)||}$ em $(1,-1)$.


 Cresce: $(1,-1)$; descresce: $(-1,1).$


2335   

Mostre que uma função diferenciável $f$ decresce mais rapidamente em $\bf{x}$ na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de $-\nabla f(\bf{x})$.


Se $\bf{u}$ é um versor e $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e $\bf{u},$ então
$$
D_{\bf{u} f} = \nabla f \cdot \bf{u} = |\nabla f||\bf u| \cos(\theta) = |\nabla f|\cos(\theta).
$$
O valor mínimo de $\cos(\theta)$ é $-1$ e isto ocorre quando $\theta = \pi.$ Portanto o valor mínimo de $D_{\bf{u}} f$ é $-|\nabla f|$ e ocorre quando $\theta = \pi,$ ou seja, quando $\bf{u}$ tem a direção oposta à de $\nabla f.$


2332   

Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

$f(x,y,z) = \dfrac{x + y}{z},  (1,1,-1).$


$\sqrt{6}.$


2276   

Calcule $\nabla f(x,y)$.

$f(x,y) = \dfrac{x}{y}$


 $\displaystyle \nabla f(x,y) = \left(\frac{1}{y}, -\frac{x}{y^{2}} \right).$


2377   

Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que $u$ e $v$ sejam funções de $x$ e $y$, diferenciáveis, e $a$ e $b$ sejam constantes.

$\nabla (au + bv) = a \nabla u + b \nabla v$

$\nabla\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{v \nabla u - u \nabla v}{v^2}$

$\nabla(uv) = u \nabla v + v \nabla u$

$\nabla u^n = nu^{n-1}\nabla u$


Pelas propriedades análogas para derivadas parciais e a linearidade de vetores, os quatro itens são válidos.


2392   

Se $g(x,y) = x^2 + y^2 - 4x$, encontre o vetor gradiente $\nabla g(1,2)$ e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível $g(x,y) = 1$ no ponto $(1,2)$. Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.



 $\nabla g(1,2) = (1,2) = (-2,4);$ reta tangente à curva de nível $g(x,y) = 1$ em $(1,2)$: $-x + 2y = 3.$

MA211-lista04-sol79.png


2278   

Calcule $\nabla f(x,y)$.

$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$


 $\displaystyle \nabla f(x,y) = \left(\frac{y }{x^{2} + y^{2}}, -\frac{x}{x^{2} + y^{2}} \right).$



2329   

Considere o vetor unitário $\bf{u} = (\sqrt{3}/2,1/2)$ e a função

$$f(x,y) = \begin{cases}
\dfrac{xy^2}{x^2 + y^4}, &  \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\ 0, &  \text{se } (x,y) = (0,0).\end{cases}$$

  1. Determine a derivada direcional $D_{\bf{u}}f(0,0)$.
  2.  Explique por que o produto escalar $\nabla f(0,0) \cdot \bf{u}$ não fornece a derivada direcional de $f$ em $(0,0)$ na direção de $\bf{u}$.


  1. $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}.$
  2.  Pois $f$ não é diferenciável em $(0,0),$ já que não é contínua nesse ponto.


2331   

Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

$f(x,y) = \sin{xy},  (1,0).$


$1.$


2271   

No item abaixo :

  1.  determine o gradiente de $f$; 
  2.  calcule o gradiente no ponto $P$; e 
  3.  determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.

$f(x,y) = 5xy^2 - 4x^3y,  P = (1,2),  \bf{u} = \left( \frac{5}{13},\frac{12}{13} \right)$.



  1. $\nabla f(x,y) = (5y^{2} - 12x^{2}y, 10xy - 4x^{3}).$
  2. $\nabla f(1,2) = (-4, 16).$
  3. $\displaystyle \frac{172}{13}.$


2388   

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

$ze^{x - y} + z^3 = 2$ em $(2,2,1)$.


 Plano tangente: $x - y + 4z = 4$,
Reta normal: $(x,y,z) = (2,2,1) + \lambda (1,-1,4),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2397   

Determine uma reta que seja tangente à elipse $2x^2 + y^2 = 3$ e paralela à reta $2x + y = 5$.


 $\displaystyle y = -2x + 3$ ou$\displaystyle y = -2x - 3.$


2396   

Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide $x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$ no ponto $(x_0,y_0,z_0)$ pode ser escrita como
$$\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} + \dfrac{zz_0}{c^2} = 1.$$



 Note que se $F(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1,$ então 
$$
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) = 2 \left(\frac{x_{0}}{a^{2}},\frac{y_{0}}{b^{2}},\frac{z_{0}}{c^{2}} \right)
$$
e a equação do plano tangente em $(x_{0},y_{0},z_{0})$ é 
$$
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot (x,y,z) = \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot (x_{0},y_{0},z_{0}) = 2.
$$


2371   

Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y$ é $\bf{i} + \bf{j}$.


 $\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2}; y =x + 1 \right\rbrace.$


2401   

 Determine um plano que seja tangente à superfície $x^2 + 3y^2 + 2z^2 = \dfrac{11}{6}$ e paralelo ao plano $x + y + z = 10$.


 $\displaystyle x + y + z = \frac{11}{6}$ ou $\displaystyle x + y + z = -\frac{11}{6}.$


2386   

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

$x^2 + 3y^2 + 4z^2 = 8$, em $(1,-1,1)$.


Plano tangente: $x - 3y + 4z = 8$
Reta normal: $(x,y,z) = (1,-1,1) + \lambda (2,-6,8),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2273   

No item abaixo :

  1.  determine o gradiente de $f$; 
  2.  calcule o gradiente no ponto $P$; e 
  3.  determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.

$f(x,y,z) = xe^{2yz},  P = (1,-3),  \bf{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$.


  1. $\nabla f(x,y,z) = (e^{yz}, 2xze^{2yz}, 2xye^{2yz}).$
  2. $\nabla f(3,0,2) = (1,12,0).$
  3. $\displaystyle -\frac{22}{3}.$


2334   

Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

$f(x,y,z) = \tan{(x + 2y + 3z)},  (-5,1,1).$


$\sqrt{14}.$


2370   

Seja $f(x,y) = x \arctan{\dfrac{x}{y}}$. Calcule $D_{\bf{u}}f(1,1)$, em que $\bf{u}$ aponta na direção e sentido de máximo crescimento de $f$, no ponto $(1,1)$.


$\displaystyle D_{\bf{u}}f(1,1) = \sqrt{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{4}}.$


2369   

A superfície de um lago é representada por uma região $D$ no plano $xy$, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a $(x,y)$ é dada por
$$f(x,y) = 300 - 2x^2 - 3y^2.$$
Se um nadador está no ponto $(4,9)$, em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?


 Na direção dada pelo vetor $(16,54).$


2372   

Seja
$$f(x,y) = x - y\sin{(\pi(x^2 + y^2))}.$$

  1. Calcule a derivada direcional de $f$ no ponto $(0,0)$ na direção de $\bf{v} = (1/2,\sqrt{3}/2)$.

  2. Em que direção a taxa de variação de $f$ no ponto $(0,0)$ é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?


  1. $ \displaystyle \frac{1}{2}.$
  2.  Na direção do vetor $(1,0).$ O valor da taxa máxima é $1.$


2333   

Determine a taxa de variação máxima de $f$ no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

$f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},  (3,6,-2).$


$1.$


2395   

Seja $g(x,y) = f(x^2 + y^2)$, em que $f$ é uma função diferenciável. Sabendo que $f'(2) = 1$, determine a equação da reta tangente à curva de nível de $g$ que passa pelo ponto $(1,1)$.


 $x + y = 2.$


2402   

 Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do paraboloide $z = x^2 + y^2$ com o elipsoide $4x^2 + y^2 + z^2 = 9$ no ponto $(-1,1,2)$.


 $(x,y,z) = (-1,1,2) + \lambda (-10, -16, -12),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2272   

No item abaixo :

  1.  determine o gradiente de $f$; 
  2.  calcule o gradiente no ponto $P$; e 
  3.  determine a taxa de variação de $f$ em $P$ na direção do vetor $\bf{u}$.

$f(x,y) = y \ln{x},  P = (1, -3),  \bf{u} = \left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$.


  1. $\nabla f(x,y) = (y/x,\ln(x)).$
  2. $\nabla f(1,-3) = (-3,0).$
  3. $\displaystyle \frac{12}{5}.$


2393   

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.

$x^2 + xy + y^2 - 3y = 1$, em $(1,2)$.


$y - 2 = -2(x - 1).$


2394   

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.

$e^{2x - y} + 2x + 2y = 4$, em $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$.


 $y = -4x + 3.$


2281   

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule $\nabla f(x,y,z)$.

$f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + 1)^{z^2}$


$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = (x^{2} + y^{2} + 1)^{z^{2}-1}\left(2xz^{2},2yz^{2},2z(x^{2} + y^{2} + 1)\ln(x^{2} + y^{2} + 1)\right).$


2387   

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.

$2xyz = 3$, em $\left(\dfrac{1}{2},1,3\right)$.

 


Plano tangente: $6x + 3y + z = 9$,
Reta normal: $(x,y,z) = \left(\frac{1}{2},1,3\right) + \lambda (6,3,1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$


2366   

Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$ em $(1,1)$.


Cresce: $(3,3)$; descresce: $(-3,-3).$