LISTA DE DISCIPLINAS

Derivada direcional

Selecione os exercícios por

Dificuldade

Categoria

Outros

Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.


2363   

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável. Defina

$$g(x,y) = f(r),  r = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Calcule a derivada direcional da função $g$ no ponto $(x,y) \neq (0,0)$ e na direção do vetor $(x,y)$.


$(f'(r))^{2}.$


2313   

Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.

$f(x,y,z) = xe^y + ye^z + ze^x,  (0,0,0),  \bf{v} = \left(5,1,-2\right).$


$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}.$


2307   

Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados

$f(x,y) = x^2 - 3y^2$, $(x_0,y_0) = (1,2)$ e $\bf{u}$ o versor de $2\bf{i} + \bf{j}.$



$\displaystyle D_{\bf{(2,1)}}f(1,2) = -\frac{8}{5}.$ 


2308   

 Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados

$f(x,y) = e^{x^2-y^2}$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $(3,4)$.


 $\displaystyle D_{\bf{(3,4)}}f(1,1) = -\frac{2}{5}.$ 


2223   


Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.

$f(x,y) = x^2y^3 - y^4,  (2,1),$  $\theta = \pi/4.$


 $6\sqrt{2}.$


2306   

Seja $f$ uma função de três variáveis independentes $x,y$ e $z$. Mostre que $D_{\bf{i}}f = f_x$, $D_{\bf{j}}f = f_y$ e $D_{\bf{k}}f = f_z$.


Lembre que $\bf{i} = (1,0,0),$ $\bf{j} = (0,1,0),$ $\bf{k} = (0,0,1)$ e $D_{\bf{u}}f = \nabla f \cdot \bf{u}.$


2365   

Existe uma direção $\bf{u}$ na qual a taxa de variação de $f(x,y) = x^2 - 3xy + 4y^2$ em $P = (1,2)$ é igual a 14? Justifique sua resposta.


 Não, já que $|\nabla f(1,2)| = \sqrt{185} < 14.$


2362   

Encontre a derivada direcional de $f(x,y) = x^2 + y^2$ na direção do versor tangente da curva

$$\bf{r}(t) = (\cos{t} + t\sin{t})\bf{i} + (\sin{t} - t\cos{t})\bf{j},  t > 0.$$


Versor tangente a $\mathbf{r}(t):$ $\mathbf{u} = \cos(t)\mathbf{i} + (\sin(t))\mathbf{j};$ $D_{\mathbf{u}} f = 2.$


2315   

Determine a derivada direcional de $f(x,y,z) = xy + yz + zx$ em $P = (1,-1,3)$ na direção de $Q = (2,4,5)$.


$\displaystyle \frac{22}{\sqrt{30}}.$


2022   

Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
x + y, & \quad \text{se } xy = 0,\\
1, & \quad \text{caso contrário}.
\end{cases}$$
Mostre que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de um vetor $\bf{v} = (a,b)$ com $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.



Seja $\bf{v} = (a,b)$ um vetor unitário (isto é, $a^2+b^2 = 1$), em que $ab \neq 0$. A derivada direcional em $(0,0)$ na direção do vetor unitário $\bf{v}$ existe se o limite

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+ah,0+bh)-f(0,0)}{h}$$

existir. Para $h \neq 0$, temos $(ah)(bh) \neq 0$. Logo $f(ah,bh) = 1$. Assim, o limite em questão se reduz a

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h},$$

e esse limite não existe. Como o vetor $\bf{v}$ satisfazendo as hipóteses foi tomado arbitrariamente, concluímos que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de nenhum vetor $\bf{v} = (a,b)$ que satisfaça $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.


2364   

Determine as direções em que a derivada direcional da função \linebreak $f(x,y) = x^2 + \sin{xy}$ no ponto $(1,0)$ tem valor 1.


As direções são dadas pelos vetores $(1,0)$ e $\displaystyle \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right).$


2310   

 Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados

$f(x,y) = xy$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $\bf{i} + \bf{j}$.


 $\displaystyle D_{\bf{(1,1)}}f(1,1) = \sqrt{2}.$ 


2314   

Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.

$f(x,y,z) = \sqrt{xyz},  (3,2,6),  \bf{v} = \left(-1,-2,2\right).$


$-1.$


2311   

Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.

$f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y},  (3,4),  \bf{v} = \left(4, -3\right).$


$\displaystyle \frac{23}{10}.$


2312   

Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.

$g(p,q) = p^4 - p^2q^3,  (2,1),  \bf{v}= \left(-1,2\right).$


 $\displaystyle -\frac{4\sqrt{10}}{5}.$


2224   

Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.

$f(x,y) = ye^{-x},  (0,4),$ $\theta = 2\pi/3$.


$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$


2309   

 Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados

$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$, $(x_0,y_0) = (3,3)$ e $\bf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.


 $\displaystyle D_{\bf{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}f(3,3) = 0.$