Derivada direcional
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Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = xy$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $\bf{i} + \bf{j}$.
$\displaystyle D_{\bf{(1,1)}}f(1,1) = \sqrt{2}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$g(p,q) = p^4 - p^2q^3, (2,1), \bf{v}= \left(-1,2\right).$
$\displaystyle -\frac{4\sqrt{10}}{5}.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = e^{x^2-y^2}$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $(3,4)$.
$\displaystyle D_{\bf{(3,4)}}f(1,1) = -\frac{2}{5}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y}, (3,4), \bf{v} = \left(4, -3\right).$
$\displaystyle \frac{23}{10}.$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = x^2y^3 - y^4, (2,1),$ $\theta = \pi/4.$
$6\sqrt{2}.$
Determine a derivada direcional de $f(x,y,z) = xy + yz + zx$ em $P = (1,-1,3)$ na direção de $Q = (2,4,5)$.
$\displaystyle \frac{22}{\sqrt{30}}.$
Existe uma direção $\bf{u}$ na qual a taxa de variação de $f(x,y) = x^2 - 3xy + 4y^2$ em $P = (1,2)$ é igual a 14? Justifique sua resposta.
Não, já que $|\nabla f(1,2)| = \sqrt{185} < 14.$
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável. Defina
$$g(x,y) = f(r), r = \sqrt{x^2 + y^2}.$$
Calcule a derivada direcional da função $g$ no ponto $(x,y) \neq (0,0)$ e na direção do vetor $(x,y)$.
$(f'(r))^{2}.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = x^2 - 3y^2$, $(x_0,y_0) = (1,2)$ e $\bf{u}$ o versor de $2\bf{i} + \bf{j}.$
$\displaystyle D_{\bf{(2,1)}}f(1,2) = -\frac{8}{5}.$
Determine as direções em que a derivada direcional da função \linebreak $f(x,y) = x^2 + \sin{xy}$ no ponto $(1,0)$ tem valor 1.
As direções são dadas pelos vetores $(1,0)$ e $\displaystyle \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right).$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = xe^y + ye^z + ze^x, (0,0,0), \bf{v} = \left(5,1,-2\right).$
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = \sqrt{xyz}, (3,2,6), \bf{v} = \left(-1,-2,2\right).$
$-1.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$, $(x_0,y_0) = (3,3)$ e $\bf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\displaystyle D_{\bf{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}f(3,3) = 0.$
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
x + y, & \quad \text{se } xy = 0,\\
1, & \quad \text{caso contrário}.
\end{cases}$$
Mostre que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de um vetor $\bf{v} = (a,b)$ com $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Seja $\bf{v} = (a,b)$ um vetor unitário (isto é, $a^2+b^2 = 1$), em que $ab \neq 0$. A derivada direcional em $(0,0)$ na direção do vetor unitário $\bf{v}$ existe se o limite
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+ah,0+bh)-f(0,0)}{h}$$
existir. Para $h \neq 0$, temos $(ah)(bh) \neq 0$. Logo $f(ah,bh) = 1$. Assim, o limite em questão se reduz a
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h},$$
e esse limite não existe. Como o vetor $\bf{v}$ satisfazendo as hipóteses foi tomado arbitrariamente, concluímos que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de nenhum vetor $\bf{v} = (a,b)$ que satisfaça $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Seja $f$ uma função de três variáveis independentes $x,y$ e $z$. Mostre que $D_{\bf{i}}f = f_x$, $D_{\bf{j}}f = f_y$ e $D_{\bf{k}}f = f_z$.
Lembre que $\bf{i} = (1,0,0),$ $\bf{j} = (0,1,0),$ $\bf{k} = (0,0,1)$ e $D_{\bf{u}}f = \nabla f \cdot \bf{u}.$
Encontre a derivada direcional de $f(x,y) = x^2 + y^2$ na direção do versor tangente da curva
$$\bf{r}(t) = (\cos{t} + t\sin{t})\bf{i} + (\sin{t} - t\cos{t})\bf{j}, t > 0.$$
Versor tangente a $\mathbf{r}(t):$ $\mathbf{u} = \cos(t)\mathbf{i} + (\sin(t))\mathbf{j};$ $D_{\mathbf{u}} f = 2.$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = ye^{-x}, (0,4),$ $\theta = 2\pi/3$.
$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$