Derivada direcional
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável de uma variável. Defina
$$g(x,y) = f(r), r = \sqrt{x^2 + y^2}.$$
Calcule a derivada direcional da função $g$ no ponto $(x,y) \neq (0,0)$ e na direção do vetor $(x,y)$.
$(f'(r))^{2}.$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = x^2y^3 - y^4, (2,1),$ $\theta = \pi/4.$
$6\sqrt{2}.$
Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
x + y, & \quad \text{se } xy = 0,\\
1, & \quad \text{caso contrário}.
\end{cases}$$
Mostre que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de um vetor $\bf{v} = (a,b)$ com $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Seja $\bf{v} = (a,b)$ um vetor unitário (isto é, $a^2+b^2 = 1$), em que $ab \neq 0$. A derivada direcional em $(0,0)$ na direção do vetor unitário $\bf{v}$ existe se o limite
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+ah,0+bh)-f(0,0)}{h}$$
existir. Para $h \neq 0$, temos $(ah)(bh) \neq 0$. Logo $f(ah,bh) = 1$. Assim, o limite em questão se reduz a
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h},$$
e esse limite não existe. Como o vetor $\bf{v}$ satisfazendo as hipóteses foi tomado arbitrariamente, concluímos que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de nenhum vetor $\bf{v} = (a,b)$ que satisfaça $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = \sqrt{xyz}, (3,2,6), \bf{v} = \left(-1,-2,2\right).$
$-1.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = xy$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $\bf{i} + \bf{j}$.
$\displaystyle D_{\bf{(1,1)}}f(1,1) = \sqrt{2}.$
Determine as direções em que a derivada direcional da função \linebreak $f(x,y) = x^2 + \sin{xy}$ no ponto $(1,0)$ tem valor 1.
As direções são dadas pelos vetores $(1,0)$ e $\displaystyle \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right).$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = e^{x^2-y^2}$, $(x_0,y_0) = (1,1)$ e $\bf{u}$ o versor de $(3,4)$.
$\displaystyle D_{\bf{(3,4)}}f(1,1) = -\frac{2}{5}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y,z) = xe^y + ye^z + ze^x, (0,0,0), \bf{v} = \left(5,1,-2\right).$
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}.$
Encontre a derivada direcional de $f(x,y) = x^2 + y^2$ na direção do versor tangente da curva
$$\bf{r}(t) = (\cos{t} + t\sin{t})\bf{i} + (\sin{t} - t\cos{t})\bf{j}, t > 0.$$
Versor tangente a $\mathbf{r}(t):$ $\mathbf{u} = \cos(t)\mathbf{i} + (\sin(t))\mathbf{j};$ $D_{\mathbf{u}} f = 2.$
Determine a derivada direcional de $f(x,y,z) = xy + yz + zx$ em $P = (1,-1,3)$ na direção de $Q = (2,4,5)$.
$\displaystyle \frac{22}{\sqrt{30}}.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$g(p,q) = p^4 - p^2q^3, (2,1), \bf{v}= \left(-1,2\right).$
$\displaystyle -\frac{4\sqrt{10}}{5}.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = x^2 - 3y^2$, $(x_0,y_0) = (1,2)$ e $\bf{u}$ o versor de $2\bf{i} + \bf{j}.$
$\displaystyle D_{\bf{(2,1)}}f(1,2) = -\frac{8}{5}.$
Seja $f$ uma função de três variáveis independentes $x,y$ e $z$. Mostre que $D_{\bf{i}}f = f_x$, $D_{\bf{j}}f = f_y$ e $D_{\bf{k}}f = f_z$.
Lembre que $\bf{i} = (1,0,0),$ $\bf{j} = (0,1,0),$ $\bf{k} = (0,0,1)$ e $D_{\bf{u}}f = \nabla f \cdot \bf{u}.$
Existe uma direção $\bf{u}$ na qual a taxa de variação de $f(x,y) = x^2 - 3xy + 4y^2$ em $P = (1,2)$ é igual a 14? Justifique sua resposta.
Não, já que $|\nabla f(1,2)| = \sqrt{185} < 14.$
Calcule $D_{\bf{u}}f(x_0,y_0)$, sendo dados
$f(x,y) = \arctan{\dfrac{x}{y}}$, $(x_0,y_0) = (3,3)$ e $\bf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\displaystyle D_{\bf{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}f(3,3) = 0.$
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor $\bf{v}$.
$f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y}, (3,4), \bf{v} = \left(4, -3\right).$
$\displaystyle \frac{23}{10}.$
Determine a derivada direcional de $f$ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo $\theta$.
$f(x,y) = ye^{-x}, (0,4),$ $\theta = 2\pi/3$.
$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$