Superfícies Cilíndricas, Cônicas e de Revolução
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Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ e curva diretriz situada no plano $z=c$ com equação $f(x,y)=0$ é $$f(x_0+\dfrac{c-z_0}{z-z_0}(x-x_0), y_0+\dfrac{c-z_0)}{z-z_0}(y-y_0))=0. $$
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície de rotação?
$ 3x^2+y^2-2z^2=1$,
$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$,
$x^2+ y^2-z^2=0$.
Mostre que o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma $f(x,y)=0$ ou $f(x,z)=0$ ou $f(y,z)=0$ representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente às variáveis que aparecem na equação.
Dadas a equação da curva diretriz $4x^2+z^2+4z=0$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Mostre que a equação $17x^2+2y^2+z^2-8xy-6xz-2=0$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
Diga qual é a cônica obtida pela intersecção do cone
$$x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$$
com o plano
$$x - y + z\;\sqrt{2/3} = 5 \sqrt{2/3} .$$
Explique seu raciocínio.
Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície obtida pela rotação de uma parábola em torno do eixo z?
$ 6x^2+3y^2-z^2=-2$,
$z=4x^2+4y^2$,
$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{5}=1$,
$-x^2+ y^2+z^2=0$.
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $9x^2+4y^2=36$ e $z=0$ em torno do eixo $y$.
Mostre que a projeção no plano $yz$ da curva correspondente à intersecção das superfícies $x = 1 - y^{2}$ e $x = y^{2} + z^{2}$ é uma elipse. Explique bem seu raciocínio.
Mostre que a equação $x^2+y^2+2z^2+2xz-2yz=1$ representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.
Um silo com formato cônico de raio $r=1$ m e altura $h=2$ m é preenchido com trigo em $70\%$ de sua capacidade.
Quanto mais de trigo podemos colocar a fim de preenchê-lo completamente?
Dadas a equação da curva diretriz $y^2=4x$, $z=0$ e um vetor $V=(1,-1,1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Dadas a equação da curva diretriz $x^2-y^2=1$, $z=0$ e um vetor $V=(0,2,-1)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.
Mostre que a equação $y^6-x^2-z^2=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
Um homem deseja construir uma ampulheta dispondo de $v$ m$^3$ de uma certa areia. Considerando que a ampulheta possa ser "modelada" como uma porção simétrica de uma superfície cônica, encontre a equação do cone, com abertura no eixo $z$, que contém essa ampulheta.
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada por $yz=1$ e $x=0$ em torno do eixo $z$.
Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação da curva geratriz.
Dadas a equação da curva diretriz $x^2+z^2=1$, $y=0$ e um vetor $V=(4,1,0)$ paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica.