Introdução à parametrização de curvas e superfícies
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Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin^2\theta$, $y=\sin\theta\cos\theta$ e $z=\cos\theta$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\sin^2t$, $y=\sin(2t)$ e $z=2\cos t$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=2\theta$.
Determine a curva definida pela intersecção das superfícies cilíndricas $x^2+z^2=1$ e $y^2=4x$.
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^2-x^4$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(t^2-1,t^2+1)$.
Suponha que uma partícula $p$ tenha trajetória descrita pela curva $C(t) = (\cos(t), \sin(t), 0).$ Ou seja, $p$ se move ao longo de um círculo no plano $xy$. Seja $\epsilon >0$ um número real (pequeno). Podemos perturbar o movimento de $p$, no instante $t$, empurrando-a um pouco em alguma outra direção. Dada a curva $D(t) = \left(\cos\left(\frac{3}{2}t\right)\cos\left(t\right), \cos\left(\frac{3}{2}t\right)\sin\left(t\right), \sin\left(\frac{3}{2}t\right)\right)$, considere a nova trajetória "perturbada" $E(t) = C(t) + \epsilon D(t)$. Esboce $E(t)$ com $\epsilon = 1/4$ e com $t$ em radianos. Como muda a imagem (traço) da curva se trocarmos o fator $\frac{3}{2}$ por outro número, digamos, $\frac{5}{3}$ ou $\frac{8}{5}$? E se o coeficiente for irracional?
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=t$ e $z=1-t^2$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=\cos^2\theta$ e $z=\sin\theta$.
Forneça equações paramétricas para o ramo positivo da curva $9x^2-4y^2+90x+32y+125=0$, indicando valores para o parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=(cos(t),tan(t))$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t+2$, $y=2t-4$ e $z=1-t$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=e^t$, $y=e^{-t}$ e $z=t$.
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas: $x=\dfrac{a(1+t^2)}{(1-t^2)}$ e $y=\dfrac{2bt}{(1-t^2)}$. Determine $\ell$.
Dê equações paramétricas para o círculo centrado na origem de raio 1, indicando os domínios onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Determine a superfície dada pela representação paramétrica $\sigma(u,v) = (u, u\cos v, u\sin v)$.
Vamos, primeiro, escrever as equações paramétricas $x=u$, $y = u\cos v$ e $z=u\sin v$. Somando os quadrado de $y$ e $z$, temos $$ y^2 + z^2 = u^2\cos^2v+u^2\sin^2v= u^2(\cos^2v+\sin^2v)=u^2=x^2.$$ Assim, somos capazes de eliminar os parâmetros e então a equação em $x$, $y$ e $z$ fica dada por $x^2= y^2+z^2$. O prévio conhecimento da forma reduzida das superfícies quádricas nos permite dizer que se trata de um cone abrindo-se ao longo do eixo $x$.
Forneça equações paramétricas para $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $x=t/2$, $y=t^2+1$ em $t=-1$ e $t=1$ sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
A cúbica retorcida $T(t) = (t, t^2, t^3)$ (e suas primas) aparece em geometria algébrica. Mostre que se $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais distintos, então os pontos $T(a)$, $T(b)$, $T(c)$ e $T(d)$ não pertencem a um único plano em $\mathbb{R}^3$. (Dica: primeiro resolva o problema correspondente para a parábola em $\mathbb{R}^2$.)
As funções trigonométricas seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por
$$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\quad\text{e}\quad \sinh t\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}, \quad t\in\mathbb{R},$$
e vale a relação $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$.
Mostre que as equações paramétricas da hipérbole de equação $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ são $$ x=\pm a\cosh t, \quad y=b\sinh t.$$
Mostre que não existem funções contínuas $f_1$ e $f_2$ tais que a hipérbole possa ser escrita como $x=f_1(t)$ e $y=f_2(t)$.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y) = (3t-1,4t+2)$.
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$, $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$, $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ e $z=3\theta$.
Forneça equações paramétricas para $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas equações paramétricas.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=t$, $y=2t^2$ e $z=3t^3$.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$, $F_2$ e vértices $A_1$, $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
O lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfaz a equação $\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}$ é denominado esfera astroidal. Mostre que essa superfície pode ser representada parametricamente como \begin{align*} x& = a(\sin u\cos v)^3 \\ y& = a(\sin u\sin v)^3 \\ z & = a (\cos u)^3, \quad (0\leq u\leq \pi, \ 0\leq v\leq 2\pi). \end{align*} Tente esboçar o seu gráfico.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica $(x(t),y(t))=(3\cos t,4\sin t)$, em $t=\pi/4$ e $7\pi/4$, sem eliminar o parâmetro.
Verifique suas respostas do item anterior eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de $x$.
Suponha que uma partícula se mova no espaço e tenha posição $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ no instante $t$ (hélice cilíndrica). Esboce a trajetória da partícula. Qual a sua direção no instante $t$?
Dê equações paramétricas para a curva $y=x^3-x^2$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Dê equações paramétricas para a curva $y^2-8x-8y+8=0$, indicando os valores para o seu parâmetro $t$. Esboce suas parametrizações.
Esboce o gráfico da equação paramétrica dada por $(x,y)=( t^2-2t,t)$.
Dê equações paramétricas para o círculo centrado em $(h,k)$ e de raio 1, indicando o domínio onde o parâmetro $t$ assume valores. Esboce suas parametrizações.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=-2t-3$, $y=t+5$ e $z=4t-7$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=4\sin^2\theta$, $y=2\cos\theta$ e $z=2\sin\theta$.
Considere a curva no espaço descrita pela espiral $S(t) = \left( \frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{\sin(t)}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$. Qual a relação entre esta curva e a hélice cilíndrica $H(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$? Esboce a imagem de $S$. Compare o movimento de uma partícula $p$ ao longo de $S$ com o movimento de uma outra partícula ao longo de $H$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=\sin\theta$, $y=\mathrm{cosec\,}\theta$ e $z=\cos\theta$.
Construa a curva cujas equações paramétricas são dadas por: $x=2t$, $y=4t^2$ e $z=t$.
Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$;
parte do parabolóide elíptico $x=5y^2+2z^2-10$ que está em frente ao plano $yz$.
a). Como a superfície está na forma $x=f(y,z)$, podemos tomar $y$ e $z$ como parâmetros, obtendo assim o seguinte conjunto de equações paramétricas $$x=5u^2+2v^2-10, \quad y = u \ \textrm{e}\ z=v.$$ Ou seja, temos a representação paramétrica $$ \sigma(u,v)= (5u^2+2v^2-10,u,v), \quad u,v\in\mathbb{R}. $$ b). Trata-se de uma restrição da representação paramétrica anterior. Entretanto, como queremos apenas a parte da superfície em frente ao plano $yz$, consideramos $x\geq 0$. Ou seja, devemos considerar $5u^2+2v^2-10 \geq 0$ ou $5u^2+2v^2 \geq 10$.