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882   

Mostre que se

$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$

$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$

$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$

então

$$(u\cdot v\times w)(a\cdot b\times c) = \det\left(\begin{array}{ccc}  u\cdot a & u\cdot b & u\cdot c\\  v\cdot a & v\cdot b & v\cdot c\\  w\cdot a & w\cdot b & w\cdot c\\\end{array}\right).$$

Esta fórmula reduz o cálculo de dois determinantes (pois cada produto misto envolve o cálculo de um determinante) ao cálculo de um único.


Sugestão: Use a seguinte relação:

$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc}  u_a & u_b & u_c \\  v_a & v_b & v_c \\  w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$


998   

Sejam $u = (2,-1,3)$, $v = (0,1,7)$ e $w = (1,4,5)$.

  1. Mostre que existem dois números $\alpha$ e $\beta$ tais que $u\times(v\times w) = \alpha\,v + \beta\,w$.

  2. Mostre que existem dois números $a$ e $b$ tais que $(u\times v)\times w = a\,u + b\,v$.


867   

Determinar $u\cdot v$, sabendo que $\|u\times v\|=12$, $\|u\|=13$ e $v$ é unitário.



Usando que $\| u\times v\|=|u||v|\sin\theta$, obtemos que $\sin\theta=\dfrac{12}{13}$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $u,v\in\mathbb{R}^3$. Por conseguinte, temos que $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}=\dfrac{5}{13}$. Logo, $u\cdot v=|u||v|\cos\theta=13\cdot 1\dfrac{5}{13}=5$.


1402   

O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (0,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.


1404   

O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,1)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.


874   

Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores

$$a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]}$$

são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.

Uma das utilidades dos vetores recíprocos consiste em encontrar as coordenadas de um vetor $v$ qualquer em termos dos vetores $a,b,c$. Isto é, queremos encontrar escalares $x,y,z$ tais que

$$ v=xa+yb+zc. $$

  1. Mostre que, $$v = (v\cdot a')a \; + \; (v\cdot b')b \;+\; (v\cdot c')c.$$ Ou seja,

    $$ x=v\cdot a', \; y=v\cdot b', \; z=v\cdot c'. $$

  2. Mostre que se $a,b,c$ são três vetores unitários, dois a dois ortogonais e que satisfazem a regra da mão direita, então $a'=a$, $b'=b$ e $c'=c$ (ou seja, neste caso os vetores recíprocos de $a,b,c$ são eles próprios). Em particular, segue que $$v = (v\cdot a) a \; + \; (v\cdot b) b \;+\; (v\cdot c) c.$$

  3. Verifique que se

    $$ v=xa'+yb'+zc', $$

    então $$v = (v\cdot a)a' \; + \; (v\cdot b)b' \;+\; (v\cdot c)c'.$$

  4. Mostre que valem as relações

    $$ a'\cdot a = b'\cdot b = c'\cdot c =1,$$

    $$a'\cdot b =a'\cdot c = b'\cdot a = b'\cdot c = c'\cdot a = c'\cdot b = 0. $$

    Em outras palavras, o produto escalar de vetores correspondentes é $1$, enquanto que o produto escalar de vetores não-correspondentes é $0$.

  5. Reciprocamente, mostre que se

    $$ A\cdot a = B\cdot b = C\cdot c =1,$$

    $$A\cdot b = A\cdot c = B\cdot a = B\cdot c = C\cdot a = C\cdot b = 0, $$

    então

    $$ A=a', \; B=b', \; C=c'.$$

  6. Conclua que os vetores recíprocos de $a',b',c'$ são exatamente $a,b,c$.


875   

Sejam $a,b,c$ três vetores não coplanares e denotemos por $[a,b,c]$ o produto misto $a\cdot(b\times c)$. Os vetores

$$ a'=\frac{b\times c}{[a,b,c]},\; b'=-\frac{a\times c}{[a,b,c]},\; c'=\frac{a\times b}{[a,b,c]} $$ são chamados os vetores recíprocos aos vetores $a,b,c$.

Mostre que

$$ [a',b',c']=\frac{1}{[a,b,c]}. $$


996   

Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: mostre que $\langle u,v\times w\rangle = \langle v, w\times u\rangle = \langle w , v\times u\rangle$.


1000   

Determine, se existir, os valores de $x$ para que o vetor $\textbf{v}=x\vec{i}+6\vec{k}$ seja paralelo ao produto vetorial de $\textbf{w}=\vec{i}+x\vec{j}+2\vec{k}$ por $\textbf{u}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$.


872   

Mostre que os vetores $a, b, c$, que satisfazem a relação $$a\times b \;+\; b\times c \;+\; c\times a\; = \;0$$ são coplanares.


997   

Sejam os vetores $\vec{u}=(2,1,3)$, $\vec{v}=(0,1,-1)$, $\vec{w}=(4,5,3)$. Mostre que $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.


De fato, basta verificar que $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0$.


866   

Justificar as afirmações abaixo:

  1. $\vec{u} \cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0,$ para quaisquer dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}.$

  2. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então este paralelogramo  é um losango.


870   

Para quais valores de $m$ os pontos $A=(m,1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1)$ e $D=(3,-2,-2)$ são coplanares?


$m=\pm 4$


1001   

Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:

  1. Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, com $v$ não nulo e $v\times u=v\times w$, então $u=w$.

  2. Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço então: $\mid u\cdot(v\times w) \mid=\mid v\cdot(u\times w) \mid=\mid w\cdot(v\times u) \mid=\mid v\cdot(w\times u) \mid$.

  3. Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, então $u\times (v\times w)= (u\times v)\times w$.

  4. Se $u$, $v$ e $w$ são vetores no espaço, $u$ é não nulo e $u\times v=u\times w=\vec{0}$, então $v\times w=\vec{0}$.


1002   

Sejam $u$ e $v$ vetores no espaço. Mostre que

  1. $(u+v)\times (u-v)=2v\times u$.

  2. Se $u\times v$ é não nulo e $w$ é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais $a, b$ e $c$ tais que $w=a(u\times v)+bu+cv$.

  3. Se $u\times v$ é não nulo e $u$ é ortogonal a $v$, então $u\times (u\times v)$ é paralelo a $v$.


871   

Sendo $\|u\|=3, \|v\|=4$ e $120^{\circ}$ o ângulo entre os vetores $u$ e $v$, calcule:

  1. $\|u+v\|,$

  2. $\|u\times(v-u)\|.$


883   

Usando a propriedade de que podemos trocar os sinais $\times$ e $\cdot$ em um produto misto, mais a fórmula do produto vetorial triplo: $$A\times(B\times C) = (A\cdot C)B - (A\cdot B)C,$$ mostre que $$(A\times B)\cdot (C\times D) = \det\left(\begin{array}{cc}A\cdot C & A\cdot D \\B\cdot C & B\cdot D \\\end{array}\right).$$


999   

Dados três pontos $A = (2,1,3)$, $B = (5,-1,2)$ e $C = (1,2,-3)$, encontre um quarto ponto $D$ de forma que os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ sejam os vértices de um paralelogramo (Dica: Queremos $D$ de forma que $\overrightarrow{CD}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$ e tenha mesmo comprimento.).


$D=(4,4,-2)$


1403   

O momento escalar ou torque sobre o ponto $P$ de uma força $\vec{F}$ aplicada a um ponto $Q$ é dado por $\|\vec{PQ} \times \vec{F}\|$. Uma força $\vec{F}$ com magnitude de $10 N$ é aplicada na direção $y$ positiva sobre o ponto $Q=(1,1,1)$ em um cubo com lados de tamanho $1m$. Determine o momento escalar de $\vec{F}$ sobre o ponto $P = (1,0,0)$. Faça um esboço do gráfico, indicando a força e o momento escalar.


868   

Verifique se os pontos $A=(1,2,4), B=(-1,0,2), C=(0,2,2) \;\mbox{e}\; D=(-2,1,3)$ estão no mesmo plano ou não.


Não estão pois $\displaystyle \vec{AB}\cdot(\vec{BC}\times\vec{AD})=-8$.


869   

Sabendo que $u\cdot(v\times w)=2$, calcular:

  1. $u\cdot(w\times v)$.

  2. $v\cdot(w\times u)$.

  3. $(v\times w)\cdot u$.

  4. $(u\times w)\cdot 3v$.

  5. $u\cdot(2w\times v)$.

  6. $(u+v)\cdot(u\times w)$.


873   

Mostre que quaisquer vetores $a, b, c$ satisfazem a relação $$(a\times b)\cdot(c\times d)\;+\;(a\times c)\cdot(d\times b)\;+\;(a\times d)\cdot(b\times c)=0.$$


865   

Determine um vetor $\vec{a}=(x,y,z)$ que satisfaça as seguintes equações:

$$\vec{a} \times \vec{j}=\vec{k}$$

$$\vec{a} {\cdot}(\vec{i}+2\vec{j})=0,$$

onde $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são os vetores da base canônica de $\mathbb{R}^3$.


881   

Mostre que se

$$u= u_a a + u_b b + u_c c,$$

$$v = v_a a + v_b b + v_c c,$$

$$w= w_a a + w_b b + w_c c,$$

então

$$u\cdot(v\times w)=\det\left(\begin{array}{ccc}  u_a & u_b & u_c \\  v_a & v_b & v_c \\  w_a & w_b & w_c \\\end{array}\right)[a\cdot(b\times c)].$$

Se $a=i$, $b=j$ e $c=k$, como fica esta fórmula?