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Identificação das cônicas

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1074   

Identificar a cônica $8y^2+6xy-12x-26y+11=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1082   

Identifique a cônica descrita pela equação $49x^2-42xy+9y^2+56x-24y+16=0$.


1055   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4y^2-4y-24x+9=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1054   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 4x^2-4x+9y^2-18y=26$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1087   

Considere a forma quadrática  $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escrevendo-a numa base conveniente, determine:

  1. qual o eixo que contém o(s) foco(s);

  2. qual é a translação e a rotação associadas.


1043   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $5x^2+6xy+5y^2-8 = 0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1066   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+(1/5)xy +y^2+2x+2y+2=0$.


1079   

Identifique a cônica $5 x^2+12 x y= 1$ e seu parâmetros associados.


1045   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $y^2+x^2+3xy-10x-10y+5=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1061   

Considere a equação

$$x^{2} - 14 x y + y^{2} = 1.$$

Efetue a troca de variáveis $x = u \cos \theta + v\,\textrm{sen} \theta$ e $y = - u\, \textrm{sen} \theta  + v \cos \theta$. Escolha, usando sua intuição ou fazendo as contas, $\theta$ de forma que a equação obtida em $u$ e $v$ seja a equação canônica de uma hipérbole. Explique o significado geométrico deste resultado e obtenha, nas coordenadas $x$ e $y$, as equações das retas que servem de assíntotas à tal hipérbole.



1081   

Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-4xy+y^2-2x+y+15=0$.


1065   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+y^2+(1/3)xy+6x+8y-5=0$.


1086   

Sejam $F_{1}$ e $F_{2}$ dois pontos fixos do plano que distam $8$ unidades um do outro. Ou seja, $\text{dist}(F_{1},F_{2}) = 8$.

ident_conicas_2.png

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos $P$ desse plano que satisfazem a condição:
\[ \text{dist}(P,F_{1}) + \text{dist}(P,F_{2}) = 10,\]
em cada um dos seguintes casos:

  1. $F_{1} = (-c,0)$ e $F_{2} = (c,0)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $xy$ da Figura 1 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.

  2. $F_{1} = (-5,2)$ e $F_{2} = (3,2)$, onde as coordenadas foram tomadas em relação ao sistema $XY$ da Figura 2 acima, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(X,Y)$ tomadas em relação a $\textbf{O}$.

  3.  $F_{1}$ e $F_{2}$ estão sobre o eixo $X$ do sistema $XY$ da Figura 2 acima, são simétricos em relação ao eixo $Y$, e cada ponto $P$ tem coordenadas $(x,y)$ tomadas em relação a $\textbf{o}$.


1568   

Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ simétrica e $k$ um escalar. Mostre que o gráfico da equação quadrática $\textbf{x}^tA\textbf{x}=k$ é:

  1. uma hipérbole se $k\neq 0$ e $\det A<0$;

  2. uma elipse, círculo ou cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det>0$;

  3. um par de retas ou uma cônica imaginária se $k\neq 0$ e $\det A=0$;

  4. um par de retas ou um único ponto se $k=0$ e $\det A \neq 0$;

  5. uma linha reta se $k=0$ e $\det A=0$.

[Dica: use o Teorema dos Eixos Principais.]


1046   

Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^2-16y^2 + 8x +128y -256 = 0$.

  1. Qual a natureza da cônica $C$?

  2. Escrever a forma canônica da equação de $C$.

  3. Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.


1069   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-2y^2+4xy-6=0$.


1042   

Seja $\mathcal{C}$ a cônica cuja equação em relação ao sistema $xy$ é dada por $29x^2 + 24xy + 36y^2 + 22x + 96y = 115$. A mudança de coordenadas entre os sistemas $xy$ e $x_{1}y_{1}$ é feita através de uma matriz ortogonal $U$, como segue
\[ \begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{\,4}{5}} \\{\frac{\,-4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\quad \text{ e }\quad
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}{\frac{\,3}{5}} & {\frac{-4}{5}} \\ {\frac{\,4}{5}} & {\frac{\,3}{5}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ y_{1}\end{pmatrix},\quad \text{ lembrar que } U^{-1} = U^{t}.\]

ident_conicas_1.png

Já a mudança entre os sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$ é dada por $X = x_{1}+1$, $Y = y_{1}+1$.

  1. Encontre a equação de $\mathcal{C}$ nos sistemas $x_{1}y_{1}$ e $XY$.

  2. Encontre as coordenadas dos vértices e dos focos de $\mathcal{C}$ nos três sistemas, $xy$,\,$x_{1}y_{1}$ e $XY$. Dica: Encontrar primeiro no sistema $XY$ e ir voltando.

  3. Faça um esboço do desenho da cônica.


1083   

Identifique a cônica descrita pela equação $16x^2+16y^2-16x+8y-59=0$.


1085   

Identifique a cônica descrita pela equação$7x^2+6xy-y^2-2x+10y-9=0$.  


1053   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $\displaystyle 9x^2-18x+9y^2-6y=10$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1063   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2x+y^2+2y+2=0$.


1044   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $x^2+3xy+y^2=2$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1638   

Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.

  1. $\displaystyle x^2+2xy+y^2=0$;

  2. $\displaystyle x^2-2xy+y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0$;

  3. $\displaystyle 2x^2+2xy+2y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+6=0$.


1075   

Identificar a cônica $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1071   

Identificar a cônica $x^2-3y^2-2xy -x-y=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1058   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $9y^2-9x^2+6x=1$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1471   

Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+3y^2-2xy=\gamma$ represente uma elipse.


1076   

Identificar a cônica $4x^2+4xy+y^2-6x+3y+2=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1078   

Identifique a cônica $3 x^2-12 x y+12 y^2+ 2 \sqrt{5} x+\sqrt{5} y=0$ e seu parâmetros associados.


1051   

Na equação $x^2-y^2+2\sqrt{3}xy+6x=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.


1057   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $4x^2-8x-9y^2+6y-68=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1052   

Na equação $18x^2+12xy+2y^2+94\frac{\sqrt{10}}{10}x-282\frac{\sqrt{10}}{10}y+94=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.


1072   

Identificar a cônica $x^2+4y^2+4xy-2x-4y-1=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1070   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+2y^2-4xy+y-1=0$.


1064   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2-y^2-4x+2y+2=0$.


1077   

Considere a forma quadrática  $2x^2+8xy+2y^2+x+y-9=0$. Escreva-a numa base conveniente e identifique qual é a cônica e seus paramêtros associados.


1080   

Identifique a cônica descrita pela equação $4x^2-12xy+9y^2-6x+9y-4=0$.


1060   

Considere a cônica definida pela equação $x^2+xy-1=0.$

  1. Determinar seu centro.

  2. Classificar a cônica.

  3. Esboçar seu gráfico.



1567   

Seja $A$ uma matriz $2\times 2$ real com autovalores complexos $\lambda=a\pm bi$ tais que $b\neq 0$ e $|\lambda|=1$. Mostre que toda trajetória do sistema dinâmico $\textbf{x}_{k+1}=A\textbf{x}_k$ está sobre uma elipse. [Dica: use que se $\textbf{v}$ é um autovetor associado a $\lambda=a-bi$, então a matriz $P=[ \textrm{Re}\,\textbf{v}\quad \textrm{Im}\,\textbf{v}]$ é invertível e temos que $\displaystyle A=P\left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right]P^{-1}$. Ponha $\displaystyle B=(PP^t)^{-1}$. Mostre que a equação quadrática $\textbf{x}^tB\textbf{x}=k$ define uma elipse para todo $k>0$, e prove que se $\textbf{x}$ está sobre esta elipse, então $A\textbf{x}$ também estará.]


1073   

Identificar a cônica $x^2+3y^2-2xy+3=0$ e calcular os focos, diretrizes, e assíntotas (quando couber).


1062   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $3x^2+5y^2+4x-2y-10=0$.


1598   

Às vezes o gráfico de uma equação quadrática é uma reta, um par de retas ou até mesmo um único ponto. Nos referimos a tais gráficos como cônicas degeneradas. É também possível que a equação não seja satisfeita para nenhum valor real das variáveis, caso este no qual não existe um gráfico e dizemos tratar-se de uma cônica imaginária. Nos itens abaixo, identifique a cônica com a equação dada, dizendo se é degenerada ou imaginária. Quando possível, esboce também o gráfico.

  1. $\displaystyle x^2-y^2=0$;

  2. $\displaystyle x^2+2y^2+2=0$;

  3. $\displaystyle 3x^2+y^2=0$.


1067   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+5x+y-9=0$.


1050   

Na equação $4x^2-20xy+25y^2-15x-6y=0$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.


1059   

Considere a cônica definida pela equação $2xy+x-2=0.$

  1. Determinar seu centro.

  2. Classificar a cônica.

  3. Esboçar seu gráfico.


1084   

Identifique a cônica descrita pela equação $x^2-6xy-7y^2+10x-30y+23=0$.


1472   

Encontre ou mostre a impossibilidade de encontrar $\gamma\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle x^2+\gamma y^2-4xy+ \gamma x = \gamma$ represente uma parábola.


1056   

Decida se a cônica $C$ determinada pela equação $36x^2-24x+36y^2-36y+14=0$ é degenerada ou não. Se não for degenerada, encontre  os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.


1047   

Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $9x^2-24xy+16y^2-34x-38y+51=0$.

  1. Qual a natureza da cônica $C$?

  2. Escrever a forma canônica da equação de $C$.

  3. Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original.


1049   

Na equação $9x^2-4xy+6y^2=30$, elimine, por meio de uma rotação, o termo $xy$. Identifique o conjunto solução e nos casos em que for uma cônica encontre as coordenadas, no sistema inicial, do(s) foco(s) e esboce o gráfico.


1048   

Seja $C$ o lugar geométrico dos pontos $P = (x,y)$ de um plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem a equação $3x^2+2xy+3y^2-6x-6y+1=0$.

  1. Qual a natureza da cônica $C$?

  2. Escrever a forma canônica da equação de $C$.

  3. Caso $C$ seja uma elipse ou uma hipérbole, encontre os focos e a excentricidade. Caso seja uma hipérbole, encontre também as equações das retas assíntotas no sistema $xy$ original. 


1068   

Identifique a curva $\ell$ consistindo de todos os pontos $P=(x,y)$ cujas coordenadas satisfazem a equação $x^2+3y^2+4xy+4y-4=0$.