Coordenadas polares
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.
Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar
$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$
descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:
- $ (3,\frac{\pi}{4})$,
- $ (6,\frac{2\pi}{3})$,
- $ (-2,\frac{\pi}{6})$,
- $ (4,-36^{o})$,
- $ (-3,150^{o})$,
- $ (1,\frac{187\pi}{6})$,
- $ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.
Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.
Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:
- $r = 1$,
- $r = 9$,
- $\theta = \frac{\pi}{2}$,
- $\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.
- Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$ - Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$ - Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
- Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.
Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.
Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.
Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$
Mostre que, ao variar $a$, a equação polar
$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$
descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:
- $(7,7)$,
- $(1,-\sqrt{3})$,
- $(-3,-3\sqrt{3})$,
- $(0,7)$,
- $(0,-2)$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.