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Coordenadas polares

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1466   

Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares r=1+acos(nθ) é afetada pela mudança nos valores de a e n, sendo a um número real positivo e n um inteiro positivo.


1468   

Mostre que, ao variar a, a equação polar

r=asecθ(π/2<θ<π/2)

descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.


493   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r=623senθ.


491   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r=522cosθ.


Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: 2+5xx2+y2=0.


492   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r2=2sen2θ.


Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: x2+y2=2sin(2arctanyx),x0.


489   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por (x2+y2)2=4(x2y2).


Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=2cos(2θ), com θ[0,2π].


488   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por 2xy=25.


Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=5sin(2θ), com θ(0,π)(π,2π).


1467   

Mostre que se o gráfico polar de r=f(θ) for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo α, então r=f(θα) é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se (r0,θ0) for um ponto qualquer do gráfico original, então (r0,θ0+α) é um ponto no gráfico girado.)


504   

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:

  1. (7,7),
  2. (1,3),
  3. (3,33),
  4. (0,7),
  5. (0,2).

1469   

Mostre que, quando b varia, a equação polar

r=bcosecθ(0<θ<π)

descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.


487   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por x2y2=16.


Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: rcos(2θ)=4.


503   

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:

  1. (3,π4),
  2. (6,2π3),
  3. (2,π6),
  4. (4,36o),
  5. (3,150o),
  6. (1,187π6),
  7. (2,16π3).

505   

Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:

  1. r=1,
  2. r=9,
  3. θ=π2,
  4. θ2=π216.

494   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r2=cosθ.


490   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por x3+y36xy=0.


Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=6cos(θ)sin(θ)cos3(θ)+sin3(θ)θ[0,2π].


506   

Mostre que os pontos em coordenadas polares (1,π3), (3,π6), e (1,0) são vértices de um triângulo equilátero.


1470   

  1. Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância  d entre  os pontos (r1,θ1) e (r2,θ2) é dada por
    d=r21+r222r1r2cos(θ1θ2).
  2. Mostre que, se 0θ1<θ2π e se r1 e r2 forem positivos, então a área A do triângulo com vértices (0,0), (r1,θ1) e (r2,θ2) é dada por
    A=12r1r2sin(θ2θ1).
  3. Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são (3,π/6) e (2,π/3).
  4. Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são (0,0), (1,5π/6) e (2,π/3).