Coordenadas polares
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Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares r=1+acos(nθ) é afetada pela mudança nos valores de a e n, sendo a um número real positivo e n um inteiro positivo.
Mostre que, ao variar a, a equação polar
r=asecθ(−π/2<θ<π/2)
descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r=62−3senθ.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r=52−2cosθ.
Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: 2+5x−√x2+y2=0.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r2=2sen2θ.
Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: x2+y2=2sin(2arctanyx),x≠0.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por (x2+y2)2=4(x2−y2).
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=2√cos(2θ), com θ∈[0,2π].
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por 2xy=25.
Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=5√sin(2θ), com θ∈(0,π)∪(π,2π).
Mostre que se o gráfico polar de r=f(θ) for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo α, então r=f(θ−α) é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se (r0,θ0) for um ponto qualquer do gráfico original, então (r0,θ0+α) é um ponto no gráfico girado.)
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:
- (7,7),
- (1,−√3),
- (−3,−3√3),
- (0,7),
- (0,−2).
Mostre que, quando b varia, a equação polar
r=bcosecθ(0<θ<π)
descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por x2−y2=16.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r√cos(2θ)=4.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:
- (3,π4),
- (6,2π3),
- (−2,π6),
- (4,−36o),
- (−3,150o),
- (1,187π6),
- (−2,−16π3).
Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:
- r=1,
- r=9,
- θ=π2,
- θ2=π216.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por r2=cosθ.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por x3+y3−6xy=0.
Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: r=6cos(θ)sin(θ)cos3(θ)+sin3(θ)θ∈[0,2π].
Mostre que os pontos em coordenadas polares (1,π3), (√3,π6), e (1,0) são vértices de um triângulo equilátero.
- Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância d entre os pontos (r1,θ1) e (r2,θ2) é dada por
d=√r21+r22−2r1r2cos(θ1−θ2). - Mostre que, se 0≤θ1<θ2≤π e se r1 e r2 forem positivos, então a área A do triângulo com vértices (0,0), (r1,θ1) e (r2,θ2) é dada por
A=12r1r2sin(θ2−θ1). - Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são (3,π/6) e (2,π/3).
- Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são (0,0), (1,5π/6) e (2,π/3).