| MA141 - Geometria Analítica | Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas

Coordenadas polares

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1466

Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$ , sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.

1468

Mostre que, ao variar $a$ , a equação polar

$r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 )$

descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.

493

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$ .

491

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$ .

Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0.$

492

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$ .

Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$

489

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$ .

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$ , com $\theta\in[0,2\pi]$ .

488

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$ .

Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$ , com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$ .

1467

Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$ , então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)

504

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:

$(7,7)$ ,
$(1,-\sqrt{3})$ ,
$(-3,-3\sqrt{3})$ ,
$(0,7)$ ,
$(0,-2)$ .

1469

Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar

$r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi )$

descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.

487

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$ .

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$ .

503

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:

$(3,\frac{\pi}{4})$ ,
$(6,\frac{2\pi}{3})$ ,
$(-2,\frac{\pi}{6})$ ,
$(4,-36^{o})$ ,
$(-3,150^{o})$ ,
$(1,\frac{187\pi}{6})$ ,
$(-2,-\frac{16\pi}{3})$ .

505

Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:

$r = 1$ ,
$r = 9$ ,
$\theta = \frac{\pi}{2}$ ,
$\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$ .

494

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$ .

490

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$ .

Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$

506

Mostre que os pontos em coordenadas polares $\left(1,\frac{\pi}{3}\right)$ , $\left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$ , e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.

1470

Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}.$
Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$ , $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1).$
Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$ .
Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$ , $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$ .