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| MA141 - Geometria Analítica | Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas

Coordenadas polares

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490   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.

Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$

494   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.

489   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.

505   

Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:

  1. $r = 1$,
  2. $r = 9$,
  3. $\theta = \frac{\pi}{2}$,
  4. $\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.

1466   

Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.

1467   

Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)

491   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.

Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle  2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $

493   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.

1470   

  1. Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância  $d$ entre  os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
    $$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$
  2. Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
    $$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$
  3. Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
  4. Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.

488   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.

Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.

492   

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.

Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$

487   

Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.

Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.

1469   

Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar

$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$

descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.

504   

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:

  1. $(7,7)$,
  2. $(1,-\sqrt{3})$,
  3. $(-3,-3\sqrt{3})$,
  4. $(0,7)$,
  5. $(0,-2)$.

506   

Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.

503   

Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:

  1. $ (3,\frac{\pi}{4})$,
  2. $ (6,\frac{2\pi}{3})$,
  3. $ (-2,\frac{\pi}{6})$,
  4. $ (4,-36^{o})$,
  5. $ (-3,150^{o})$,
  6. $ (1,\frac{187\pi}{6})$,
  7. $ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.

1468   

Mostre que, ao variar $a$, a equação polar

$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$

descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.