Coordenadas polares
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- Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância $d$ entre os pontos $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}. $$ - Mostre que, se $0\leq \theta_1 < \theta_2 \leq \pi$ e se $r_1$ e $r_2$ forem positivos, então a área $A$ do triângulo com vértices $(0,0)$, $(r_1,\theta_1)$ e $(r_2,\theta_2)$ é dada por
$$ A= \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1). $$ - Encontre a distância entre os focos cujas coordenadas polares são $(3,\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
- Encontre a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são $(0,0)$, $(1,5\pi/6)$ e $(2,\pi/3)$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^2-y^2=16$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r\sqrt{\cos(2\theta)}=4$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$.
Apenas usando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=2\sqrt{\cos(2\theta)}$, com $\theta\in[0,2\pi]$.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $x^3+y^3-6xy=0$.
Pela definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $$r=\frac{6\cos(\theta)\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)} \quad \theta\in[0,2\pi].$$
Mostre que, quando $b$ varia, a equação polar
$$ r=b\mathrm{\,cosec\,}\theta \quad(0 < \theta < \pi ) $$
descreve uma família de retas paralelas ao eixo polar.
Mostre que se o gráfico polar de $r=f(\theta)$ for girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo $\alpha$, então $r=f(\theta-\alpha)$ é uma equação para a curva girada. (Sugestão: se $(r_0,\theta_0)$ for um ponto qualquer do gráfico original, então $(r_0,\theta_0+\alpha)$ é um ponto no gráfico girado.)
Use um recurso computacional para investigar como a família de curvas polares $r=1+a\cos(n\theta)$ é afetada pela mudança nos valores de $a$ e $n$, sendo $a$ um número real positivo e $n$ um inteiro positivo.
Esboce a figura correspondente às seguintes equações polares:
- $r = 1$,
- $r = 9$,
- $\theta = \frac{\pi}{2}$,
- $\theta^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}$.
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas:
- $ (3,\frac{\pi}{4})$,
- $ (6,\frac{2\pi}{3})$,
- $ (-2,\frac{\pi}{6})$,
- $ (4,-36^{o})$,
- $ (-3,150^{o})$,
- $ (1,\frac{187\pi}{6})$,
- $ (-2,-\frac{16\pi}{3})$.
Mostre que, ao variar $a$, a equação polar
$$ r=a\sec\theta \quad(-\pi/2 < \theta < \pi/2 ) $$
descreve uma família de retas perpendiculares ao eixo polar.
Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por $2xy=25$.
Apenas utilizando a definição de coordenadas polares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle r=\dfrac{5}{\sqrt{\sin(2\theta)}}$, com $\displaystyle \theta\in(0,\pi)\cup (\pi,2\pi)$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{6}{2-3sen\theta}$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
Usando a definição de coordenadas cartesianas, obtemos: $\displaystyle 2+\frac{5}{x-\sqrt{x^2+y^2}}=0. $
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=2sen2\theta$.
Usando a relação entre coordenadas polares e rectangulares, obtemos a seguinte equação: $\displaystyle x^2+y^2=2\sin(2\arctan\dfrac{y}{x}), \quad x\neq 0.$
Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de cartesianas para polares:
- $(7,7)$,
- $(1,-\sqrt{3})$,
- $(-3,-3\sqrt{3})$,
- $(0,7)$,
- $(0,-2)$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por $r^2=cos\theta$.
Mostre que os pontos em coordenadas polares $ \left(1,\frac{\pi}{3}\right)$, $ \left(\sqrt{3},\frac{\pi}{6}\right)$, e $\left(1,0\right)$ são vértices de um triângulo equilátero.