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Círculo e esfera

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704   

Ache a equação do círculo com centro $C=(3,-2)$ tangente a $2x-y=0$.



Visto que seu centro é dado, nos basta então encontrar seu raio. Para isso, vamos determinar o ponto de tangencia, digamos, $P=(x_1,y_1)$. Você pode notar, inicialmente, que a reta dada passa pela origem e tem diretor $\vec{v}=(1,2)$. Assim, devemos ter que $\displaystyle (P-C)\cdot\vec{v}=0$, ou seja, $(x_1-3,y_1+2)\cdot (1,2)=0\Longrightarrow x_1+2y_1=-1$. Por outro lado, como $P$ é um ponto da reta
dada, deve cumprir sua equação. Enfim, $P$ pode ser obtido pelo sisteminha $$\begin{cases} x_1+2y_1=-1,
\\ 2x_1-y_1=0, \end{cases}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1&2 & \vdots & -1 \\ 2 & -1 & \vdots & 0 \end{array}\right)
\begin{array}{c} {}\\ \sim \\ {}\end{array} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \vdots & -1  \\ 0& -5 & \vdots & 2\end{array}\right). $$ Donde obtemos a solução $$ x_1=\frac{1}{5} \quad\text{e}\quad y_1=-\frac{2}{5}. $$ Segue que o raio é dado então por $r=\|P-c\|=2\sqrt{\dfrac{13}{5}}$. Portanto, a equação procurada do círculo é dada por $$ (x-3)^2+(y+2)^2=\frac{52}{5}.$$


486   

Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto no exterior da circunferência. Sejam também $P_2=(x_2,y_2)$, $P_3=(x_3,y_3)$ os pontos de $\mathcal{C}$ tais que as retas $l_2$ que passa por $P$ e $P_2$, e $l_3$ que passa por $P$ e $P_3$ são tangentes à circunferência. Então mostre que a reta (secante) que passa por $P_2$ e $P_3$ tem equação $x_1x+y_1y=r^2$. (Sugestão: encontre as equações das retas $l_2$ e $l_3$ e use o fato de que $P$ está em ambas.)


703   

Ache a equação do círculo tangente ao eixo $y$ na origem e com raio $r = a$.


$(x-a)^2+y^2=a^2$


702   

Ache a equação do círculo com centro $(5,2)$ e passando pelo ponto $(2,3)$.


A equação do círculo é dada por $(x-5)^2+(y-2)^2=d^2$, onde $d$ é o seu raio. Como é dado um ponto sobre o mesmo, obtemos então que $d=\sqrt{(2-5)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$.


720   

Ache a esfera que tem centro na reta $r: \left\{ \begin{array}{c} x=2z-3 \\ y = z-1 \end{array} \right.$ e passa pelos pontos $(6,-1,3)$ e $(0,7,5)$.


711   

Ache a equação da reta tangente a $x^2+y^2=25$ no ponto $(-3,4)$.


715   

Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos $(1,2)$, $(3,4)$ e que tem centro sobre o eixo $y$?


718   

Mostre que o plano tangente à esfera $x^2+y^2+z^2=r^2$ no ponto $(a,b,c)$ tem equação $ax+by+cz=r^2$.


716   

Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(3,4)$, $(-1,2)$ e $(-2,4)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.


483   

Dada a esfera $S: x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y -11 = 0$.
  1. Encontre o seu centro e seu raio.
  2. Encontre a equação do plano tangente à esfera e que passa pelo ponto $P=(2,1,4)\in S$.

  1. Completando quadrados, temos que $(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=16$. Ou seja, a esfera tem centro $C=(2,1,0)$ e raio 4.

  2. O plano tangente terá normal $n=P-C=(0,0,4)$ e passa por $P$ (enunciado). Logo, ele é dado por $\displaystyle z=4$.


485   

Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$. Se $r=1$ e $l$ é a reta de equação $3x+4y=5$ então mostre que $l$ é tangente a $\mathcal{C}$. Encontre o ponto de tangência.



Basta dividir ambos os lados da equação equação da reta dada e confrontar com a afirmação vista no exercício anterior. Ou seja, a reta $l$  tem equação $\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y=1$. Assim, pelo visto no exercício anterior, vemos que $l$ é a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo ponto $(3/5,4/5)$.


1420   

Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância $r$ do local de instalação $(a,b)$ (desconsiderando eventuais efeitos que possam diminuir a intensidade do sinal). Determine a equação do lugar geométrico no plano cartesiano tal que a internet possa ser utilizada sem problemas.


717   

Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(a,0)$, $(b,0)$ e $(0,c)$. Ache também seu centro, raio, e faça um esboço de seu gráfico.


482   

Dados: a esfera $\mathcal{S}$ de centro $C=(h,k,p)$ e raio $r$ e $P=(x_1,y_1,z_1)$ um ponto da esfera, mostre que: $\pi\cap \mathcal{S}=\{P\}$, onde $\pi$ é o plano que é normal ao vetor $\vec{CP}$ e passa por $P$. Tal plano é chamado de plano tangente à esfera por $P$.


707   

Identifique o círculo $x^2+y^2-2x-4y+5=0$, dando o seu centro e raio.


Ao completarmos quadrados, ficamos com $(x-1)^2+(y-2)^2=0$. Trata-se de um único ponto (círculo degenerado), a saber, o ponto $(1,2)$.


721   

Encontre a equação dos planos que contém a reta $r$ e são tangentes à esfera $S$, dados por:

$r:\dfrac{x+6}{2}=y+3=z+1$ e $S:x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0$.


714   

As equações dos lados de um triângulo são $9x+2y+13=0$, $3x+8y-47=0$ e $x-y-1=0$. Encontrar a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo.


1421   

Um roteador de internet sem fio é instalado de forma que o sinal chegue com mesma intensidade em qualquer ponto $(x,y)$ a uma distância de $10$m do local de instalação $(0,0)$ (desconsiderando eventuais efeitos que possam diminuir a intensidade do sinal). Um outro roteador (nas mesmas condições), é instalado na posição $(20,0)$. Um terceiro roteador deve ser colocado de forma que o sinal chegue a uma maior área possível, ao mesmo tempo que fique próximo dos outros dois roteadores. Determine os dois pontos no plano cartesiano tais que este novo roteador possa ser instalado.


706   

Identifique o círculo $x^2+y^2-4x+6y=12$, dando o seu centro e raio.


Centro igual $(2,-3)$ e com raio $5$.


712   

Ache as retas tangentes ao círculo $x^2+y^2=4x$ que passam pelo ponto $(3,2)$.


484   

Sejam $\mathcal{C}$ a circunferência de equação $x^2+y^2=r^2$ e $P=(x_1,y_1)$ um ponto em $\mathcal{C}$. Mostre que a equação da reta tangente à circunferência por $P$ é $x_1x+y_1y=r^2$. (Lembre que a reta tangente em $P$ sempre é perpendicular ao vetor $\vec{OP}$, com $O$ sendo o centro de $\mathcal{C}$.)



Um ponto $x=(x,y)$ qualquer sobre a reta tangente a $\mathcal{C}$ pelo ponto $P$ deverá satisfazer $(x-P)\cdot\overrightarrow{OP}=0$. Ou seja, $\vec{x}$ deverá cumprir $(x-x_1)x_1+(y-y_1)y_1=0$ pela condição de perpendicularidade. Como $P\in\mathcal{C}$, então $x_1^2+y_1^2=r^2$ e a condição anterior fica $\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$.


710   

Verifique se a equação $x^2-6x+y^2-4y+z^2+14z+58=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.


Completamos quadrados para reescrevê-la como $\displaystyle (x-3)^2+(y-2)^2+(z+7)^2=4$. Ou seja, neste caso, a equação descreve uma esfera de raio $2$ e centro em $(3,2,-7)$.


719   

Ache a equação da esfera que passa pelos pontos $(0,0,1)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e cujo centro está no plano $x+y-z=0$.


701   

Ache a equação do círculo com centro $(-2,5)$ e raio $r = 3$.


$(x+2)^2+(y-5)^2=9$, ou seja, $x^2+y^2+4x-10y+20=0$.


709   

Verifique se a equação $x^2+y^2+z^2-2x-4y+10=0$ descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.


Completando quadrados, vemos que não descreve uma esfera.


708   

Ache a equação do círculo que passa pelos pontos $(4,0)$, $(0,3)$ e a origem.


713   

Uma corda da circunferência $x^2+y^2=25$ se encontra sobre a reta cuja equação é $x-7y+25=$. Qual o comprimento dessa corda?


705   

Ache as equações dos dois círculos tangentes a $2x-5y+1=0$ no ponto $(2,1)$ e com raio $r = 3$.