Exercícios
Integrais triplas
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Calcule as seguintes integrais triplas.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} x^2 \, dV$, em que $E$ é o sólido que está dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 1$, acima do plano $z = 0$ e abaixo do cone $z^2 = 4x^2 + 4y^2$.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} xyz \, dV,$ em que $E$ é o sólido limitado pelos paraboloides $z = x^2 + y^2$, $z = 8 - x^2 - y^2$.
$\displaystyle\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4 - y^2}}^{\sqrt{4 - y^2}}\int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^2 xz \, dz dx dy$
$\dfrac{2\pi}{5}$.
$0.$
$0.$
Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.
$\displaystyle \int_0^4 \int_0^{2\pi}\int_r^4 r \, dz d\theta dr$
Ache o centro de massa de $E$, em que:
A densidade de um ponto $P$ de um sólido cúbico $E$ de aresta $a$ é diretamente proporcional ao quadrado da distância de $P$ a um vértice fixo do cubo.
$E$ é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano $2x+5y+z=10$ e a densidade em $P(x,y,z)$ é diretamente proporcional $\grave{a}$ distância do plano $xz$ a $P.$
$\displaystyle \left( \dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12} \right).$
$\displaystyle \left( 1,\dfrac{4}{5},2 \right).$
Seja $E$ o sólido limitado pelos dois planos $z=1$ e $z=2$ e lateralmente pelo cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Expresse o volume de $E$ como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral).
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{\sec(\phi)}^{2\sec(\phi)} \rho^{2}\sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada abaixo pelo plano $z=0$, lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e acima pelo paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$.
$\dfrac{\pi}{2}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}x\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $x\geq 0$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4.$
$4\pi$.
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{H}(9-x^{2}-y^{2})\,dV$, onde $H$ é o hemisfério sólido $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9$ e $z\geq 0.$
$\dfrac{486\pi}{5}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV$, onde $B$ é a bola com centro na origem e raio $5.$
$\dfrac{312500\pi}{7}.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}z\,dV$, onde $E$ é limitado pelo cilindro $y^{2}+z^{2}=9$ e pelos planos $x=0$, $y=3x$ e $z=0$ no primeiro octante.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}xyz\;dx dy dz$, onde $E$ é o paralelepípedo $0\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$, e $1\leq z\leq 2.$
$\dfrac{27}{8}.$
$\dfrac{3}{2}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da porção da esfera sólida $\rho \leq a$ que está entre os cones $\phi=\pi/3$ e $\phi=2\pi/3.$
$\dfrac{2\pi a^{3}}{3}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}z\,dV$, onde $E$ está entre as esferas $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, no primeiro octante.
$\dfrac{15\pi}{16}.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume e o centroide do sólido $E$ que está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Volume: $\dfrac{\pi(2 - \sqrt{2})}{3};$ centróide: $\left(0,0, \dfrac{3}{8(2 - \sqrt{2})} \right).$
Um sólido está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z.$ Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.
A mudança de coordenadas retangulares para coordenadas cartesianas é dada por
$$\begin{cases}x = \rho \cos{\theta} \sin{\phi} \\y = \rho \sin{\theta} \sin{\phi}\\z = \rho \cos{\phi},\end{cases}$$
em que $\rho \geq 0$, $\theta \in [0,2\pi]$ e $\phi \in [0,\pi]$. Observe que $\sin{\phi} \geq 0$ quando $\phi \in [0,\pi]$. Logo, a equação do cone em coordenadas esféricas pode ser escrita como $\rho \cos{\phi} = \sqrt{\rho^2 \sin^2{\phi}} = \rho\sin{\phi}$. A origem $(0,0,0)$ pertence ao cone e é dada por $\rho = 0$. Nos demais pontos, $\rho \neq 0$, donde $\phi = \pi/4$.
A equação da esfera em coordenadas esféricas pode ser escrita como $\rho^2=\rho\cos{\phi}$. A origem $(0,0,0)$ pertence à esfera e é dada por $\rho=0$. Nos demais pontos, $\rho \neq 0$, donde $\rho = \cos{\phi}$.
Portanto, o sólido pode ser descrito em coordenadas esféricas por
$$E = \left\{(\rho, \theta, \phi): 0 \leq \rho \leq \cos{\phi}, 0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}\right\}.$$
Uma casca cilíndrica tem $20$ cm de comprimento, com raio interno de 6 cm e raio externo de $7$ cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca.
$6 \leq r \leq 7,$ $0 \leq \theta \leq 2\pi,$ $0 \leq z \leq 20.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}y\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+4y^{2}\leq 1$ e $0\leq z \leq 1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq 4$, $x\geq 0$ e \\ $x+y\leq z \leq x+y+1.$
$0.$
$\dfrac{16}{3}.$
Calcule as seguintes integrais triplas.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} \sqrt{x^2 + y^2} \, dV$, em que $E$ é a região que está dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 16$ e entre os planos $z = -5$ e $z = 4$.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} y \, dV$, em que $E$ é o sólido que está entre os cilindros $x^2 + y^2 = 1$ e $x^2 + y^2 = 4$, acima do plano $xy$ e abaixo do plano $z = x + 2$.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} x \, dV$, em que $E$ está delimitidado pelos planos $z = 0$ e $z = x + y + 5$ e pelos cilindros $x^2 + y^2 = 4$ e $x^2 + y^2 = 9$.
$384\pi$.
$0$.
$\dfrac{65\pi}{4}$.
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}(x^{2}+z^{2})\;dx dy dz$, onde $E$ é o cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 1$ e $0\leq z \leq 1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 2x+2y-1.$
$\dfrac{7\pi}{12}.$
$\dfrac{\pi}{2}.$
Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro $x^2 + y^2 = 4$ e pelos planos $z = 0$ e $y + z = 3$.
$12\pi.$
Suponha que o sólido tenha densidade constante $k$. Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado $L$ se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados.
$\displaystyle I_{x} = I_{y} = I_{z} = \dfrac{2kL^5}{3}.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada acima pelo paraboloide $z=5-x^{2}-y^{2}$ e abaixo pelo paraboloide $z=4x^{2}+4y^{2}.$
$\dfrac{5\pi}{2}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}\sqrt{x+y}\sqrt[3]{x+2y-z}\,dxdydz$, onde $B$ é a região $1\leq x+y\leq 2$, $0\leq x+2y-z\leq 1$ e $0\leq z\leq 1.$
$\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}\sqrt{1-z^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o cubo $0\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 1$ e $0\leq z\leq 1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 2x.$
$\dfrac{\pi}{4}.$
$\dfrac{\pi}{2}.$
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: contido no interior do cone \(\phi=\pi/4\), entre as esferas \(\rho=1\) e \(\rho=2\).
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da parte da bola $\rho\leq a$ que está entre os cones $\phi=\pi/6$ e $\phi=\pi/3.$
$\displaystyle \left( \sqrt{3} - 1 \right) \dfrac{\pi a^3}{3}.$
Seja \(G\) a caixa retangular definida pelas desigualdades \(a\leq x\leq b\), \(c\leq y\leq d\) e \(k\leq z\leq l\). Mostre que \[\iiint\limits_G f(x)g(y)h(z)\,dV = \left[\int_a^bf(x)\,dx\right]\left[\int_c^dg(y)\,dy\right]\left[\int_k^lh(z)\,dz\right].\]
Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano $z = 0$, lateralmente pelo cilindro $x^2 + y^2 = 1$ e acima pelo paraboloide $z = x^2 + y^2$.
Temos que a região sólida $E$ está acima do plano $z=0$, abaixo do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ e limitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$. Notemos que podemos dividir a região sólida em quatro porções simétricas. Assim, levando em consideração a porção da região sólida $E$ que está no primeiro octante, temos em coordenadas cilíndricas $$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\, 0\leq r \leq 1\,\, \mbox{e}\,\, 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}=r^{2}.$$ Assim, o volume da região sólida $E$ é: $$V=\iiint\limits_{ E}1\,dV=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}zr\,\bigg|_{0}^{r^{2}}\,dr\,d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta\cdot \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=4\cdot \theta\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}$$ $$=4\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.$$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq 1$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}-y^{2}\leq z \leq 1-2y^{2}.$
$\dfrac{7\pi}{2}.$
$0.$
Usando coordenadas esféricas, calcule a massa da esfera sólida de raio \(a\) com densidade proporcional à distância ao centro (tomando \(k\) como a constante de proporcionalidade).
\(k\pi a^4\)
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}xyz\,dV$, onde $E$ está entre as esferas $\rho=2$ e $\rho=4$ e acima do cone $\phi=\pi/3.$
$0.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq 1$ e \\ $x+y\leq z \leq x+y+1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}\sqrt{1-z^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0 \leq x \leq 1$, $0\leq z\leq 1$ e $0\leq y \leq z.$
$\dfrac{1}{2}.$
$\dfrac{1}{3}.$
O centróide de uma região $E$ é dado por
$$\overline{x}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}x\,dV,\;\;\;\; \overline{y}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}y\,dV\;\; \text{e}\;\; \overline{z}=\frac{1}{vol(E)}\int_{E}z\,dV.$$
Calcule o centróide da região dada em coordenadas esféricas por $0\leq \rho \leq 1$, $0\leq\phi \leq \pi/3$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$ (observe que, devido à simetria da região, $\overline{x}$ e $\overline{y}$ se anulam, bastando calcular a terceira coordenada).
$\overline{z} = \dfrac{9}{16}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$
Volume: $10\pi;$ centróide: $(0,0,2,1).$
Esboce a região limitada pelos gráficos das equações e use uma integral tripla para calcular seu volume.
$z+x^{2}=4$, $y+z=4$, $y=0$ e $z=0.$
$y=2-z^{2}$, $y=z^{2}$, $x+z=4$ e $x=0.$
$y^{2}+z^{2}=1$, $x+y+z=2$ e $x=0.$
$\dfrac{128}{5}.$
$\dfrac{32}{3}.$
$2\pi.$
Seja $D$ a região limitada abaixo pelo plano $z=0$, acima pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ e dos lados pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de $D$ usando as ordens de integração a seguir.
$d\rho\,d\phi\,d\theta$;
$d\phi\,d\rho\,d\theta$.
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{2} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\rho d\phi d\theta + \int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{0}^{\csc(\phi)} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\rho d\phi d\theta.$
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{\pi/6}^{\arcsin(1/\rho)} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\phi d\rho d\theta + \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/6} \rho^{2}\sin(\phi)\; d\phi d\rho d\theta.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dxdydz$, onde $B$ é a interseção da semi-esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$, $z\geq 0$, com o cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 1.$
$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\left( 32- 14\sqrt{3} + \ln(2 + \sqrt{3})\right).$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$
$10\pi.$
Encontre o centróide e os momentos de inércia $I_{x}$, $I_{y}$ e $I_{z}$ do tetraedro cujos vértices são os pontos $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1).$
Centróide: $\displaystyle \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right),$ $I_{x} = I_{y} = I_{z} = \dfrac{1}{30}.$
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é $(1,0,0)$ e encontre as coordenadas retangulares do ponto.
$(0,0,1).$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E} x^2 e^y\,dV$, onde $E$ é delimitado pelo cilindro parabólico $z=1-y^{2}$ e pelos planos $z=0$, $x=1$ e $x=-1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}x\,dV$, onde $E$ é limitado pelo paraboloide $x=4y^{2}+4z^{2}$ e pelo plano $x=4.$
$\dfrac{8}{3e}.$
$\dfrac{16\pi}{3}.$
Para qual valor de $c$ o volume do elipsóide $x^{2}+(y/2)^{2}+(z/c)^{2}=1$ é igual a $8\pi$?
$3.$
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral abaixo e calcule-a.
$$\int_{0}^{\pi/6}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin{\phi}\;d\rho d\theta d\phi$$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{3\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}5\rho^{3}\sin^{3}{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\dfrac{5\pi}{2}.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\,\sin{\phi}}\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\pi^2.$
Mostre que o determinante Jacobiano da mudança de coordenadas cartesianas para esféricas é $-\rho^2 \sin \varphi$.
Calcule a massa do sólido $x+y+z\leq 1$, $x\geq 0$, $y\geq 0$ e $z\geq 0$, sendo a densidade dada por $\rho(x,y,z)=x+y.$
$\dfrac{1}{12}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do plano $z=2\sqrt{3}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.$
$\dfrac{88\pi}{3}.$
Calcule a massa do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $0\leq z \leq 2$, sabendo que a densidade no ponto $(x,y,z)$ é o dobro da distância do ponto ao plano $z=0.$
$16\pi.$
Seja $D$ a região limitada abaixo pelo plano $z=0$, acima pela esfera $x^2+y^2+z^2=4$ e dos lados pelo cilindo $x^2+y^2=1$. Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de $D$ usando as ordens de integração a seguir.
$dzdrd\theta$
$drdzd\theta$
$d\theta dzdr$
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} r dz dr d\theta.$
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} r drdzd\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{\sqrt{3}}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - z^2}} r drdzd\theta.$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} \int_{0}^{2\pi} r d\theta dzdr.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}x\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}+z^{2}\leq 1$ e $x\geq 0.$
$3\pi.$
Seja \(G\) a região sólida dentro da esfera de raio \(2\) centrada na origem e acima do plano \(z=1\). Mostre (ou verifique) os seguintes resultados:
O volume de \(G\) é dado por \[\iiint\limits_G\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\dfrac{\pi}{3}}\int_{\sec\phi}^{2}\rho^2\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta \]
\[\iiint\limits_G\dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/3}\int_{\sec\phi}^{2}\rho\cos\phi\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta \]
Mude as coordenadas de $(1,-1,4)$ de retangulares para cilíndricas.
$\displaystyle (\sqrt{2}, \dfrac{7\pi}{4}, 4).$
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a-x^{2}-y^{2}}}(x^{2}z+y^{2}z+z^{3})\,dzdxdy$.
$0.$
Determine a massa e o centro de massa do cubo dado por $0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$ e com função densidade:
$\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$
$\rho(x,y,z)=x+y+z.$
Massa: $a^5;$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{7a}{12},\frac{7a}{12},\frac{7a}{12} \right).$
Massa: $\dfrac{3a^4}{2};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{5a}{9},\frac{5a}{9},\frac{5a}{9} \right).$
Calcule a integral tripla $\displaystyle\iiint\limits_{B}xyz^{2}\,dV$, onde $B$ é a caixa retangular dada por $B=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\;0\leq x\leq 1,\;-1\leq y\leq 2,\;0\leq z\leq 3\}$, integrando primeiro em relação a $y$, depois a $z$ e então a $x$.
$\dfrac{27}{4}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está dentro da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, acima do plano $xy$ e abaixo do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$
$\dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3}.$
A figura mostra a região da integral
$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}}\int_{0}^{1-x}f(x,y,z)\;dy dz dx.$$
Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.
$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dx dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - z}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dy dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - y}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dz dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - \sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dz dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1 - z)^2}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dx dz.$
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são $(2, \pi/4,1)$ e $(4, -\pi/3,5)$. Em seguida, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Para $(2, \pi/4,1):$ $(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$ e para $(4, -\pi/3,5):$ $(2, -2\sqrt{3},5)$.
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}2x\,dV$, onde $E=\{(x,y,z)|\;0\leq y\leq 2,\,0\leq x\leq \sqrt{4-y^{2}},\;\\ 0\leq z\leq y\}.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}6xy\,dV$, onde $E$ está abaixo do plano $z=1+x+y$ e acima da região do plano $xy$ limitada pelas curvas $y=\sqrt{x}$, $y=0$ e $x=1.$
$4.$
$\dfrac{65}{28}.$
Escreva a equação $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas esféricas.
$\cos^2 \phi = \sin^2 \phi.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da menor região cortada da esfera sólida $\rho \leq 2$ pelo plano $z=1.$
$\dfrac{5\pi}{3}.$
Determine o sólido $E$ para o qual a integral $$ \iiint\limits_{ E}(1-x^{2}-2y^{2}-3z^{2})\,dV$$ é máxima.
$E = \left\{ (x,y,z); x^2 + 2y^2 + 3z^2 \leq 1 \right\}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}z\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $z\geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.$
$\dfrac{\pi}{8}.$
Seja $E$ a região limitada pelos paraboloides $z = x^2 + y^2$ e $z = 36 - 3x^2 - 3y^2$.
Ache o volume da região $E$.
Encontre o centroide de $E$ (centro de massa no caso em que a densidade é constante).
$162\pi.$
$(0,0,15)$.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dzdxdy$.
$\pi.$
Usando coordenadas esféricas, determine o volume da região cortada do cilindro sólido $x^{2}+y^{2}\leq 1$ pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.$
$\dfrac{4\pi(8 - 3\sqrt{3})}{3}.$
Usando coordenadas esféricas, calcule a massa do sólido compreendido entre as esferas \(x^2+y^2+z^2=1\) e \(x^2+y^2+z^2=4\), com densidade \(\delta(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.\)
Seja \(G\) a região sólida dentro da esfera de raio \(2\) centrada na origem e acima do plano \(z=1\). Mostre (ou verifique) os seguintes resultados:
O volume de \(G\) é dado por \[\iiint\limits_G\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_1^{\sqrt{4-r^2}}r\,dzdrd\theta \]
\[\iiint\limits_G\dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_1^{\sqrt{4-r^2}}\dfrac{rz}{r^2+z^2}\,dzdrd\theta \]
Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.
$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\!\!\int_0^{9 - r^2} r dz dr d\theta$
A figura mostra a região de integração da integral
$$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx.$$
Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.
$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dx dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - z}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dy dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - y}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dz dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - \sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dz dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1 - z)^2}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dx dz.$
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio $a$ por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de $\pi/6.$
$\dfrac{\pi a^3}{9}.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{(1-\cos{\phi})/2}\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$\dfrac{\pi}{3}.$
Identifique a superfície cuja equação é $\rho=\sin{\theta}\sin{\phi}.$
Esfera de raio $\dfrac{1}{2}$ centrada no ponto $\left(0,\dfrac{1}{2},0\right).$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
$0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq 1$ e $0\leq z \leq 5-x^{2}-3y^{2}.$
$0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq x^{2}$ e $0\leq z \leq x+y^{2}.$
$x^{2}+y^{2}\leq z \leq 4.$
$x^{2}+4y^{2}\leq z \leq 1.$
$\dfrac{11}{3}.$
$\dfrac{25}{84}.$
$8\pi.$
$\dfrac{\pi}{4}.$
Identifique a superfície cuja equação é dada por $z = 4 - r^2$.
$z = 4 - x^2 - y^2,$ o parabolóide circular com vértice $(0,0,4)$.
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades $0 \leq r \leq 2$, $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$ e $0 \leq z \leq 1$.
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}e^{x^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq x$ e $0\leq z \leq 1.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}\leq y\leq x$, $0\leq z\leq x+y.$
$\dfrac{e - 1}{2}.$
$\dfrac{11}{120}.$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
$x^{2}+y^{2}\leq 1$ e $x^{2}+z^{2}\leq 1.$
$(x-a)^{2}+y^{2}\leq a^{2}$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4a^{2}$, $z\geq 0$ $(a>0).$
$x^{2}+y^{2}\leq a^{2}$ e $x^{2}+z^{2}\leq a^{2}$ $(a>0).$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}$ e $z\geq \dfrac{a}{2}$ $(a>0).$
$\dfrac{16}{3}.$
$\dfrac{16a^3}{3} \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3}\right).$
$\dfrac{16a^3}{3}.$
$\dfrac{5\pi a^3}{24}.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}\cos{z} \; dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$, $0\leq y \leq \dfrac{\pi}{2}$ e $x-y\leq z \leq x+y.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}(y-x)\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $4\leq x+y\leq 8$, $\dfrac{1}{x}\leq y\leq \dfrac{2}{x}$, $y> x$ e $0\leq z \leq \dfrac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt{x+y}}.$
$2.$
$3 - 6\sqrt[3]{2} - 2\sqrt{2} + 6 \sqrt[6]{2^5}.$
Usando coordenadas esféricas, determine o centroide e o momento de inércia em relação a um diâmetro de sua base do hemisfério sólido homogêneo de raio $a.$
Centróide: $\left(0,0,\dfrac{3a}{8} \right);$ momento de inércia: $\dfrac{4 K a^5 \pi}{15},$ onde $K$ é a densidade constante.
Seja $C$ o cilindro de base circular e eixo $(Oz)$, com raio $2$ e altura $3$, com base na origem e densidade inversamente proporcional $\grave{a}$ distância ao eixo.
Determine o momento de inércia de $C$ com relação ao eixo $(Oz)$.
Se $C$ gira em torno do eixo $(Oz)$ com energia cinética $K$, qual a velocidade instantânea nos pontos de sua superfície lateral? (Fórmulas: $\bullet$ Momento de inércia: $I=\iiint\limits_{C}\rho\cdot l^{2}\,dV$, onde $\rho$ é a densidade e $l$ é a distância ao eixo; $\bullet$ Energia cinética de rotação: $K=\dfrac{1}{2}I\omega^{2}.$)
$6\pi.$
$\displaystyle \sqrt{\frac{K}{3\pi}}.$
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
$\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}}\;dx dz dy$
Mostre que
$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dxdydz=2\pi.$$
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.)
Note que $$\begin{split}&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dxdydz \\&= \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \rho e^{-\rho^2}\rho^2 \sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta.\end{split}$$
Esboce o sólido descrito por $\rho \leq 2$, $0\leq \phi \leq \pi/2$ e $0\leq \theta \leq \pi/2.$
Determine o volume do sólido que está acima do plano $xy$, abaixo do paraboloide $z = x^2 + y^2$ e que se encontra dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 2x$ e fora do cilindro $x^2 + y^2 = 1.$
Temos que $0\leq z\leq x^{2}+y^{2}$. Como o sólido se encontra dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}=2x$ e fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=1$, devemos fazer a interseção desses dois cilindros, isto é, $$\left\{\begin{array}{cc} x^{2}+y^{2}=2x\\ x^{2}+y^{2}=1\\ \end{array} \right.\Rightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$ Em coordenadas cilíndricas temos que \begin{eqnarray*} x&=&r\cos \theta\\ y&=&r\sin \theta\\ z&=&z\\ dz\,dy\,dx&=&r\,dz\,dr\,d\theta \end{eqnarray*} Da equação $x^{2}+y^{2}=1$ temos que $$r^{2}=1\Longrightarrow r=\pm 1,$$ como devemos ter $r\geq 0$, então nesse caso $r=1.$ Da equação $x^{2}+y^{2}=2x$ temos que $$r^{2}=2r\,\cos \theta \Rightarrow r=2\cos \theta.$$ Agora, sendo $x=\frac{1}{2}$ e $r=1$ temos que $$\cos \theta=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=\pm \frac{\pi}{3}.$$ Assim, em coordenadas cilíndricas temos que o sólido $E$ é dado por $$E=\{(\theta,\,r,\,z)|\, -\frac{\pi}{3}\leq \theta \leq \frac{\pi}{3},\, 1\leq r\leq 2 \cos \theta,\,0\leq z\leq r^{2}\}.$$ Então, $$V=\iiint\limits_{ E}1\,dV= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}zr\bigg|_{0}^{r}\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}r^{3}\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{1}^{2\cos \theta}\,d\theta =\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\bigg(4\cos^{4}\theta-\frac{1}{4}\bigg)\,d\theta$$ $$=4\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\cos^{4}\theta}_{\mbox{função par}}\,d\theta-\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\frac{1}{4}}_{\mbox{função par}}\,d\theta =8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^{4}\theta\,d\theta-2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{4}\,d\theta$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+\frac{1}{32}\sin(4\theta)\bigg]\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} -\bigg(\frac{1}{2}\theta\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{3}+\frac{1}{4}\sin\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg)+\frac{1}{32}\sin\bigg(\frac{4\pi}{3}\bigg)\bigg]-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{3}$$ $$=\pi+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+\frac{7\sqrt{3}}{8}.$$
Calcule as integrais mudando a ordem de integração de maneira apropriada.
$\displaystyle\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\dfrac{4\;\cos(x^{2})}{2\sqrt{z}}\;dx dy dz$
$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}12xze^{zy^{2}}\;dy dx dz$
$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{\sqrt[3]{z}}^{1}\int_{0}^{\ln 3}\dfrac{\pi e^{2x}\;\sin(\pi y^{2})}{y^{2}}\;dx dy dz$
$2 \sin(4).$
$3e - 6.$
$4.$
Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura $h$ e raio da base $R$.
Representando o cone com vértice na origem e base no plano $z = h$, expresse $V$ por meio de uma integral dupla.
Calculando a integral, verifique que $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$.
$V = 2 \displaystyle \int_{0}^{h} \int_{-\frac{R}{h}z}^{\frac{R}{h}z} \sqrt{\dfrac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} - x^{2}} dx dz.$
Note que $\displaystyle \int_{0}^{h} \int_{-\frac{R}{h}z}^{\frac{R}{h}z} \sqrt{\dfrac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} - x^{2}} dx dz = \dfrac{\pi R^{2}h}{6}$ é o volume da parte superior (ou inferior) do cone.
Encontre a constante $a$ tal que $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{4-a-x^{2}}\int_{a}^{4-x^{2}-y}\;dz dy dx=\frac{4}{15}.$$
$\dfrac{13}{3}$ ou $3.$
Calcule a integral iterada.
$\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{z}\!\!\int_{0}^{x+z}6xz\;dy dx dz$
$\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}ze^{y}\;dx dz dy$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x}\cos(x+y+z)\;dz dx dy$
$1.$
$\displaystyle \frac{e^3 - 1}{3}.$
$-\dfrac{1}{3}.$
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}}xy\,dzdydx$.
$\dfrac{(4\sqrt{2} - 5)}{15}.$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
$x^{2}\leq z \leq 1-y$ e $y\geq 0.$
$x^{2}+2y^{2}\leq z\leq 2a^{2}-x^{2}$ $(a>0).$
$x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1$ e $z\geq x^{2}+y^{2}.$
$4x^{2}+9y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $4x^{2}+9y^{2}\leq 1.$
$\dfrac{4}{15}.$
$\pi a^4.$
$\dfrac{71\pi}{54}.$
$\dfrac{7\pi}{12}.$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}xyz\,dV$, onde $E$ é o sólido limitado pelos paraboloides $z=x^{2}+y^{2}$ e $z=8-x^{2}-y^{2}.$
$0.$
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{2-2z}\;dy dz dx$
$\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}}\;dx dz dy$
$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-z}}^{\sqrt{4-z}}\int_{2}^{3}\;dx dy dz$
$\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2x}\int_{0}^{x+y}\;dz dy dx$
(... fig)
(... fig.)
$\displaystyle \left\lbrace (x,y,z); 2 \leq x \leq 3, \sqrt{1 - z} \leq y \leq \sqrt{4 - z} , 0 \leq z \leq 1\right\rbrace.$
$\displaystyle \left\lbrace (x,y,z); 0 \leq x \leq 2, x^{2} \leq y \leq 2x , 0 \leq z \leq x + y\right\rbrace.$
Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do sólido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos $x=1$, $y=2$ e $z=3$. Calcule uma das integrais.
$$\begin{split} 6 &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} dz dy dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dz dx dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} dx dy dz\\ &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} dx dz dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} dy dx dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{0}^{2} dy dx dx. \end{split} $$
Considere a integral tripla iterada $$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}\int_{x^2 + y^2}^{4-x^2-y^2} dz dy dx.$$
Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Calcule a integral.
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{ r^2}^{4-r^{2}} r dz dr d\theta.$
$4\pi.$
Região entre os parabolóides $z = x^2 + y^2$ e $z = 4 - x^2 - y^2$.
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: limitado acima pela esfera \(\rho=4\) e abaixo pelo cone \(\phi=\pi/3\).
\(\dfrac{64\pi}{3}\)
Calcule a integral tripla $\int\int\int\limits_{T}x^{2}dV$,
onde $T$ é o tetraedro sólido com vértices $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1).$
Para resolvermos a integral tripla, vamos desenhar dois diagramas: um da região sólida $T$ (Figura 1) e o outro a sua projeção $D$ no plano $xy$ (Figura 2).
A fronteira inferior do tetraedro $T$ é o plano $z=0$ e a superior é o plano $x+y+z=1$ (ou $z=1-x-y$).
Notemos que os planos $x+y+z=1$ e $z=0$ se interceptam na reta $x+y=1$ (ou $y=1-x$) no plano $xy.$
Logo a projeção de $T$ é a região triangular da Figura 2 e temos
$$T=\{(x,y,z)|\,0\leq x \leq 1,\, 0\leq y \leq 1-x,\, 0\leq z \leq 1-x-y\}.$$
Assim,
$$\int\int\int\limits_{T}x^{2}\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-z}x^{2}\,dz\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}z\bigg|_{0}^{1-x-y}\,dy\,dx$$
$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}(1-x-y)\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x^{2}-x^{3}-x^{2}y)\,dy\,dx$$
$$=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}y-x^{3}y-x^{2}\frac{y^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1-x}\,dx=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}(1-x)-x^{3}(1-x)-\frac{x^{2}}{2}(1-x)^{2}\bigg)dx$$
$$=\int_{0}^{1}\bigg(\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{x^{4}}{2}\bigg)\,dx =\bigg[\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}\bigg]\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{60}.$$
Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B} z \,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $1\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$
Usando coordenadas esféricas, o sólido pode ser descrito por
$$B = \left\{(\rho, \theta, \phi): 1 \leq \rho \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}.$$
Lembre que o Jacobiano dessa transformação é $\rho^2 \sin{\phi}$. Assim, obtemos
\begin{array}{rcl}\displaystyle\iiint\limits_{B} z \,dxdydz & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2}(\rho \cos{\phi})(\rho^2 \sin{\phi})\,d\rho d\phi d\theta \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left.\left(\frac{\rho^4}{4} \frac{\sin{2\phi}}{2}\right|_{\rho=1}^{\rho=2}\right)\, d\phi d\theta \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left.\left(\frac{(16-1)}{8} \frac{(-\cos{2\phi)}}{2}\right|_{\phi=0}^{\rho=\frac{\pi}{2}}\right)\, d\theta \\ & = & \left.-\frac{15}{16}(-1-1) \theta \right|_{\theta=0}^{\theta=2\pi} = \frac{15\pi}{4}. \end{array}
Usando coordenadas esféricas, determine o volume do elipsoide $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\leq 1.$
$\dfrac{4 \pi abc}{3}.$
Mude o ponto $(1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$ dado em coordenadas retangulares para esféricas.
$\displaystyle \left( 4, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6} \right).$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado por $x^{2}+y^{2}\leq z\leq \sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}.$
Primeiramente, vamos determinar a projeção no plano $xy$ da interseção de \begin{eqnarray*} z&=&\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\\ z&=&x^{2}+y^{2}. \end{eqnarray*} Da primeira equação temos que \begin{eqnarray*} \label{1}z=\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\Leftrightarrow z^{2}=4-3x^{2}-3y^{2}\Leftrightarrow z^{2}=4-3(x^{2}+y^{2}). \end{eqnarray*} Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos que $$z^{2}=4-z\Leftrightarrow z^{2}+3z-4=0\Leftrightarrow (z-1)(z-4)=0.$$ Logo, $z=-4$ e $z=1.$ Notemos que $z=-4$ não satisfaz as duas primeiras equações acima, então a projeção $D$ no plano $xy$ é o círculo de raio 1, isto é, $D=\{(x,y)\in \mathbb{R};\;\, x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$ Assim, o volume, $V$, do sólido é: $$V=\iint\limits_{D}\bigg[\int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}}1\, dz\bigg]\,dA = \iint\limits_{ D}\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\,dA.$$ Passando para coordenadas polares temos que \begin{eqnarray*} x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta\\ dA=r\,dr\,d\theta\\ 0\leq r\leq 1\\ 0\leq \theta \leq 2\pi.\\ \end{eqnarray*} Então, $$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(\sqrt{4-3r^{2}}-r^{2})r\,dr\,d \theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r\sqrt{4-3r^{2}}-r^{3})\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\,d\theta\cdot \bigg[\bigg(\underbrace{\int_{0}^{1}r\sqrt{4-3r^{2}}\,dr}_{\substack{ u=4-3r^{2}\\ du=-6r\,dr}}\bigg)-\bigg(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\bigg)\bigg]$$ $$=\theta\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot \bigg[\bigg(\int_{4}^{1}r\cdot u^{1/2}\frac{du}{-6r}\bigg)-\bigg(\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}\bigg)\bigg]$$ $$=2\pi\cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\int_{4}^{1}u^{1/2}\,du\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\bigg|_{4}^{1}\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]$$ $$=2\pi \cdot \bigg[-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot 8-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \frac{19}{36}=\frac{19\pi}{18}.$$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
$x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9.$
$x^{2}+4y^{2}+9z^{2}\leq 1.$
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$, $(a>0,\;b>0\;e\;c>0).$
$x^{2}+y^{2}\leq z \leq 4x+2y.$
$\left(36 - \dfrac{20\sqrt{5}}{3} \right)\pi.$
$\dfrac{2\pi}{9}.$
$\dfrac{4\pi abc}{3}.$
$\dfrac{25\pi}{4}$
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano $2x+y+z=4.$
O sólido limitado pelo paraboloide $x=y^{2}+z^{2}$ e pelo plano $x=16.$
O sólido delimitado pelo cilindro $x=y^{2}$ e pelos planos $z=0$ e $x+z=1$.
$\dfrac{16}{3}.$
$128\pi.$
$\dfrac{8}{15}.$
Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2}(\rho\cos{\phi})\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.
$2\pi.$
Calcule, usando integração, o volume do sólido limitados pelas superfícies $z = 1$, $z = 2$ e $z = \sqrt{x^2 + y^2}.$
$\dfrac{7\pi}{6}.$
Calcule a integral tripla.
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$
$\displaystyle\iiint\limits_{ E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $4x^{2}+9y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$
$8\pi.$
$0.$
Um cubo sólido de $2$ unidades de lado é limitado pelos planos $x=\pm 1$, $z=\pm 1$, $y=3$ e $y=5.$ Encontre o centro de massa e os momentos de inércia desse cubo.
Centro de massa: $\displaystyle \left(0,4,0 \right),$ $I_{x} = \dfrac{400}{3},$ $I_{y} = \dfrac{16}{3},$ $I_{z} = \dfrac{400}{3}.$
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{2-2z}\;dy dz dx$