Mudança de variáveis

Jacobiano

Experimente com transformações no plano. Insira a transformação que você deseja analisar nas caixas $x=$ e $y=$.

Use os botões deslizantes para ajustar as dimensões do retângulo no plano $uv$.

Pressione o botão Animation para observar como o percurso do ponto vermelho no plano $uv$ se traduz no percurso do ponto vermelho do plano $xy$. Ou pressione o botão Locus para ver toda a transformação de uma vez.

Use o botão azul para mover o retângulo no plano $uv$.

Aplicativo em inglês.

Parametrizações de superfícies e seus jacobianos.

Dada uma parametrização de superfície, um pequeno retângulo $du\times dv$ no domínio da parametrização $\phi$ é mapeado sobre uma porção da superfície. 

Aproxima-se a área $\Delta S$ da porção da superfície pela áres $dS$ de um paralelogramo gerado pelos vetores tangentes dados por $(\partial \phi/\partial u) du$ e $(\partial \phi/\partial v) dv$. A área do paralelogramo é igual a um fator $||\partial \phi/\partial u\times\partial \phi/\partial v||$ vezes a área $du dv$ do retângulo. O fator $||\partial \phi/\partial u\times\partial \phi/\partial v||$  é, às vezes, chamado Jacobiano da parametrização. 

Conforme a base $du$ e a altura $dv$ diminuem, refinando a malha, a razão entre a área do paralelogramo no contra-domínio e a área do retângulo correspondente no domínio se aproxima do valor do Jacobiano. Equivalentemente, a razão entre a área da porção de superfície e o paralelogramo se aproxima de 1.

Aplicativo em inglês.