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Sobre retângulo

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2073   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{ R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a

  1.  $1$

  2.  $x\cos(xy)$


  1. $1.$

  2. $\cos(1) - \cos(2).$


2023   

Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

  1.   $\displaystyle\iint\limits_{R} 3 \, dA, \quad R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: -2 \leq x \leq 2, \ 1 \leq y \leq 6\}.$

  2.   $\displaystyle\iint\limits_{R} (4 - 2y) \, dA, \quad R = [0,1] \times [0,1].$


  1.  $60.$

  2.  $3.$


2072   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a

  1. $\sqrt{x+y}$

  2. $\dfrac{1}{x+y}$



  1. $\dfrac{4(9\sqrt{3} - 8\sqrt{2} + 1)}{15}.$

  2. $\ln\left( \dfrac{27}{16}\right).$



3093   

Use um software de apoio computacional para mostrar que o volume \(V\) sob a superfície \(z=xy^3\sin(xy)\) e acima do retângulo \([0,\pi]\times[0,1]\) no plano \(xy\)  é dado por \(V=3/\pi\).


2071   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{ R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a

  1.  $x+2y$

  2.  $x-y$



  1.  $\dfrac{5}{2}.$

  2.  $1.$



2019   

Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água. A profundidade é medida em intervalos de 2 metros, começando em um canto da piscina, e os valores foram registrados na tabela. Estime o volume de água na piscina.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline  & 0 & 2   & 4   & 6   & 8   & 10  & 12  \\ \hline  0      & 1 & 1,5  & 2   & 2,4 & 2,8 & 3   & 3   \\ 2       & 1 & 1,5 & 2   & 2,8 & 3   & 3,6 & 3   \\ 4        & 1 & 1,8 & 2,7 & 3   & 3,6 & 4   & 3,2 \\ 6        & 1 & 1,5 & 2   & 2,3 & 2,7 & 3   & 2,5 \\   8     & 1 & 1   & 1   & 1   & 1,5 & 2   & 2   \\ \hline\end{array}$$


$\approx 227.$


2413   

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico $x^{2}/4+y^{2}/9+z=1$ e acima do retângulo $R=[-1,1]\times [-2,2].$


$\dfrac{166}{27}.$


3002   

A integral $\int \!\!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!R} \! \sqrt{9 - y^2} \, dA$, em que $R = [0,4] \times [0,2]$, representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.


ma211-list6-ex9_sol.png

2109   

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais

  1.  $\displaystyle\iint\limits_{R} x\ln(y)\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $0\leq x\leq 2,\;1\leq y\leq 2.$

  2.  $\displaystyle\iint\limits_{R} xye^{x^{2}-y^{2}}\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $-1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 3.$


  1.  $2(2\ln(2) - 1).$

  2.  $0.$


3001   

A figura mostra o mapa de contorno de $f$ no quadrado $R = [0,4] \times [0,4]$.

  1. Use a Regra do Ponto Médio com $m = n = 2$ para estimar o valor de $\int\!\!\!\int \limits_{\!\!\!\!\!R} \! f(x,y) \, dA$.

  2. Estime o valor médio de $f$.

ma211-list6-ex7_b.png


2075   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a

  1.  $ye^{xy}$

  2.  $xy^{2}$


  1.  $\dfrac{(e - 1)^{2}}{2}.$

  2.  $\dfrac{1}{2}.$


2412   

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano $3x+2y+z=12$ e acima do retângulo $R=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|\;0\leq x\leq 1,\;-2\leq y\leq 3\}.$


$\dfrac{95}{2}.$


2110   

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais

  1. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{\sin^{2}{x}}{1+4y^{2}}\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2},\;0\leq y\leq \dfrac{1}{2}.$

  2. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{xy\sin{x}}{1+4y^{2}}\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2},\;0\leq y\leq 1.$


  1.  $\dfrac{\pi^{2}}{32}.$

  2.  $\dfrac{\ln(5)}{8}.$


2018   


  1.  Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície $z = x + 2y^2$ e acima do retângulo $R = [0,2] \times [0,4]$. Use a soma de Riemann com $m = n = 2$ e escolha os pontos amostrais como os cantos inferiores direitos.

  2.  Use a Regra do Ponto Médio para dar uma estimativa da integral do item anterior.


  1.  $\approx 44.$

  2.  $\approx 88.$


2078   

Calcule a integral dupla.

  1. $\displaystyle\iint\limits_{R} x\sin(x+y)\,dA, \quad R=[0,\pi/6]\times [0,\pi/3].$

  2.  $\displaystyle\iint\limits_{R} xye^{x^{2}y}\,dA, \quad R=[0,1]\times [0,2].$


  1. $\dfrac{\pi}{12}.$

  2. $\dfrac{(e^{2} - 3)}{2}.$


2108   

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais

  1.  $\displaystyle\int\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\! R} xy^{2}\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $1\leq x\leq 2,\;2\leq y\leq 3.$

  2.  $\displaystyle\int\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\! R} x\cos(2y)\,dx dy$, onde $R$ é o retângulo $0\leq x\leq 1,\;-\dfrac{\pi}{4}\leq y\leq \dfrac{\pi}{4}.$


  1.  $\dfrac{19}{2}.$

  2.  $\dfrac{1}{2}.$


2079   

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Prove que $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d.$


Note que $$ \int_{c}^{d} \left[\int_{a}^{b}f(x)g(y)\,dx\right] \;dy = \int_{c}^{d} \left[\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right]g(y)  \;dy = \left(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right) \int_{c}^{d} g(y)  \;dy.$$


2111   

Utilize simetria para calcular $\iint\limits_{D}(2-3x+4y)\,dA$, onde $D$ é a região limitada pelo quadrado com vértices $(\pm 5,0)$ e $(0,\pm 5).$


$100.$


2077   

Calcule a integral dupla.

  1. $\displaystyle\iint\limits_{R} (6x^{2}y^{3}-5y^{4})\,dA, \quad R=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:0\leq x\leq 3,\;0\leq y\leq 1\}.$

  2. $\displaystyle\iint\limits_{R} \dfrac{xy^{2}}{x^{2}+1}\,dA, \quad R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\leq x\leq 1,\;-3\leq y\leq 3\}.$


  1. $\dfrac{21}{2}.$

  2. $9 \ln(2).$


2024   

Se $f$ é uma função constante, $f(x,y) = k$, e $R = [a,b] \times [c,d],$ mostre que $\iint \limits_{R} k \, dA = k(b-a)(d-c).$


Note que se $R$ for dividida em $mn$ subretângulos, vale $$ \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A = k \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} \Delta A = k (b - a) (d - c), $$ independentemente dos pontos amostrais $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ escolhidos.


2076   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a

  1. $\dfrac{1}{(x+y)^{2}}$

  2. $\dfrac{1}{1+x^{2}+2xy+y^{2}}$


  1.  $\dfrac{3}{\pi}.$

  2.  $3\arctan(3) - 4\arctan(2) - \ln(2) + \dfrac{\ln(5)}{2} + \dfrac{\pi}{4}.$


2074   

Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ dada por

  1. $y\cos(xy)$

  2. $x\sin(\pi y)$


  1.  $\cos(1) - \dfrac{(1 + \cos(2))}{2}$

  2.  $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right).$


3092   

  1.  Seja \(f(x,y)=x-2y\) e considere uma subdivisão uniforme do retângulo \(R=[0,2]\times[0,2]\) em \(16\) retângulos menores. Tome \((x_k^\ast,y_k^\ast)\) como sendo o centro do \(k\)-ésimo  retângulo e aproxime a integral dupla de \(f\) sobre \(R\) pela soma de Riemann resultante.

  2.  Compare o resultado obtido no item anterior com o valor exato da integral.