Teorema do Divergente
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Demonstre a identidade abaixo, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
- $V(E)=\dfrac{1}{3}\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot dS$, onde ${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$
Dica: Note que $\displaystyle\iiint\limits_{E}{\mbox{div} {\bf F}}\, dV = \iiint \limits_{E}{3}\,dV$.
Aplique o Teorema da Divergência para achar $\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS.$, sendo ${\bf F}(x,y,z)=y^{3}e^{z}\,{\bf i}-xy\,{\bf j}+x \cdot \arctan y\,{\bf k}$ e $S$ a superfície da região delimitada pelos planos coordenados e o plano $x+y+z=1.$
Pelo Teorema do Divergente, temos
$$\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS = \displaystyle\iiint\limits_{E}\text{div }{\bf F}\,dV,$$
em que $E$ é o sólido
que pode ser escrito como
$E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x \mbox{ e } 0 \leq z \leq 1-x-y\}.$
Observe que
\begin{array}{rcl}\text{div
}{\bf F} & = & \dfrac{\partial}{\partial x}(y^3e^z) +
\dfrac{\partial}{\partial y}(-xy) + \dfrac{\partial}{\partial
z}(x\arctan{y}) \\& = & 0 - x + 0 \\& = & -x.\end{array}
Assim,
\begin{array}{rcl}\iint\limits_{S}{\bf
F}\cdot {\bf n}\,dS & = &
\displaystyle\iiint\limits_{E}{\bf F}\,dV \\& = &
\iiint\limits_{E}-x\,dV \\& = &
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}-x\,dz dy dx \\& = &
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}-x(1-x-y)\,dy dx \\& = &
\int_{0}^{1}\left(-\frac{x}{2}+x^2-\frac{x^3}{3}\right)\,dx \\& =
& -\frac{1}{12}.\end{array}
Use o Teorema do Divergente para calcular $\displaystyle\iint \limits_{S}(2x+2y+z^{2})\,dS$ onde $S$ é a esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
A superfície $S$ em questão é a esfera unitária, que é a fronteira da bola unitária $B$ dada por $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ e tem vetor normal num ponto $(x,y,z)$ igual a $(x,y,z)$ (o qual aponta para ``fora").
Observe que podemos transformar o integrando $2x+2y+z^{2}$ em $(2,2,z) \cdot (x,y,z)$ e essa escrita é interessante, já que o segundo vetor é exatamente o vetor normal a $S$. Agora estamos em condições de aplicar o Teorema do Divergente quando tomamos o campo ${\bf F}(x,y,z) = (2,2,z)$. Assim,
\begin{array}{rcl}\displaystyle\iint\limits_{S}(2x+2y+z^{2})\,dS & = & \iint\limits_{ S}(2,2,z) \cdot (x,y,z)\,dS \\& = & \int\int\int \limits_{ S}{\bf F} \cdot {\bf n}\,dS \\& = & \iiint\limits_{ B}\text{div } F\,dV \\& = & \iiint\limits_{ B}(0+0+1)\,dV \\& = & V(B) = \frac{4\pi}{3}.\end{array}
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial ${\bf F}$ na região $E.$
${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$, $E$ é a bola unitária $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.$
$\displaystyle\iint_{S} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \iiint_{E} \mbox{div} {\bf F} dV = 4\pi.$
Seja ${\bf F}(x,y,z)=(x+y+z^{2})\,{\bf k}$ e seja $S$ a fronteira do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $0\leq z \leq 3.$ Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS$ onde ${\bf n}$ é a normal exterior, isto é, ${\bf n}$ é a normal que aponta para fora do cilindro.
Aplique o Teorema da Divergência para achar $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS,$ sendo ${\bf F}(x,y,z)=(x^{2}+\sin yz)\,{\bf i}+(y-xe^{-z})\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ e $S$ a superfície da região delimitada pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=4$ e os planos $x+z=2$ e $z=0.$
$20\pi.$
Suponha que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que $f$ seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que $\displaystyle\iint\limits_{S}f{\bf n}\,dS=\iiint\limits_{E}\nabla f\,dV.$ Estas integrais de superfície e triplas de funções vetoriais são vetores definidos integrando cada função componente. [Sugestão: comece aplicando o Teorema do Divergente a ${\bf F}=f{\bf c}$, onde ${\bf c}$ é um vetor constante arbitrário.]
Note que se ${\bf n} = n_{1} {\bf i} + n_{2} {\bf j} + n_{3} {\bf k},$ então
\begin{align*} &\iint_{S} f \cdot {\bf n}\,dS \\ &= \left( \iint_{S} f n_{1}\,dS \right) {\bf i} + \left( \iint_{S} fn_{2}\,dS\right) {\bf j} + \left( \iint_{S} fn_{3}\,dS\right) {\bf k}\\ &= \left( \iiint_{E} \dfrac{\partial f}{\partial x}\,dV \right) {\bf i}+ \left( \iiint_{E} \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dV\right) {\bf j} + \left( \iiint_{E} \dfrac{\partial f}{\partial z}\,dV \right) {\bf k}. \end{align*}
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=2xz\,{\bf i}+xyz\,{\bf j}+yz\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da região delimitada pelos planos coordenados e os planos $x+2z=4$ e $y=2.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=(x^{2}+z^{2})\,{\bf i}+(y^{2}-2xy)\,{\bf j}+(4z-2yz)\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da região delimitada pelo cone $x=\sqrt{y^{2}+z^{2}}$ e pelo plano $x=9.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=x^{4}\,{\bf i}-x^{3}z^{2}\,{\bf j}+4xy^{2}z\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido limitado pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e pelos planos $z=x+2$ e $z=0.$
Seja $S$ o gráfico de $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, $x^{2}+y^{2}\leq 1$ e seja ${\bf n}$ a normal a $S$ com componete $z\leq 0$. Seja ${\bf F}(x,y,z)=x^{2}y\,{\bf i}-xy^{2}\,{\bf j}+{\bf k}$. Calcule $\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\, dS.$
Observe que $S$ não é uma superfície fechada (isto é, $S$ não é a fronteira de um sólido $E$). Para que possamos utilizar o Teorema do Divergente, vamos considerar a superfície $S_2$ constituída pelo parabolóide $S$ e pelo círculo $S_1$ dado por $x^2+y^2 \leq 1$ em $z=1$. Como $S_2$ é uma superfície fechada, usamos a escolha da normal ${\bf n_2}$ em $S_2$ que está apontando ``para fora". Sejam ${\bf n_1}$ a normal a $S_1$ (apontando para cima) e ${\bf n}$ a normal a $S$ (apontando para fora).
Temos
$\displaystyle\iint\limits_{S_2}{\bf F}\cdot {\bf n_2}\,dS = \iint\limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS + \iint \limits_{S_1}{\bf F}\cdot {\bf n_1}\,dS,$
isto é,
$\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS = \iint\limits_{S_2}{\bf F}\cdot {\bf n_2}\,dS - \iint \limits_{ S_1}{\bf F}\cdot {\bf n_1}\,dS.$
Pelo Teorema do Divergente,
$$\iint\limits_{S_2}{\bf F}\cdot {\bf n_2}\,dS = \iiint\limits_{E}(2xy-2xy+0)\,dV = 0,$$
em que $E$ é o sólido que possui $S_2$ como fronteira.
Para determinar $\displaystyle\iint\limits_{S_1}{\bf F}\cdot {\bf n_1}\,dS$, devemos encontrar uma parametrização para $S_1$ e determinar o vetor normal ${\bf n_1}$. Considere a seguinte parametrização de $S_1$: $r(u,v) = (u,v,1)$, com $u^2+v^2 \leq 1$. Daí, $r_u(u,v) = (1,0,0)$ e $r_v(u,v) = (0,1,0)$. Logo, $r_u \times r_v = (0,0,1)$ é um vetor normal a $S_1$. Devemos tomar ${\bf n_1} = (0,0,1)$ para que aponte para cima. Então,
$\displaystyle\iint \limits_{S_1}{\bf F}\cdot {\bf n_1}\,dS = \iint\limits_{D}(u^2v,-uv^2,1)\cdot(0,0,1)\,dA,$
em que $D = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2; u^2+v^2 \leq 1\}$. Portanto,
$\displaystyle\iint \limits_{S_1}{\bf F}\cdot {\bf n_1}\,dS = \iint\limits_{D}1\,dA = A(D) = \pi,$
donde concluímos que
$\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS = 0 - \pi = -\pi.$
Demonstre a identidade abaixo, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
- $\displaystyle\iint\limits_{S}(f\nabla g-g\nabla f)\cdot {\bf n}\,dS=\displaystyle\iiint\limits_{E}(f\nabla^{2} g-g\nabla^{2} f)\,dV.$
Use o Teorema da Divergência e que $\nabla f \cdot \nabla g = \nabla g \cdot \nabla f.$
Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf u}\cdot {\bf n}\,dS$, sendo $B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\, x^{2}+y^{2}\leq 1,\,x^{2}+y^{2}\leq z \leq 5-x^{2}-y^{2}\}$ e ${\bf u}=3xy\,{\bf i}-\dfrac{3}{2}y^{2}\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$
$36\pi.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=3xy^{2}\,{\bf i}+xe^{z}\,{\bf j}+z^{3}\,{\bf k}$, $S$ é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro $y^{2}+z^{2}=1$ e pelos planos $x=-1$ e $x=2.$
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial ${\bf F}$ na região $E.$
${\bf F}(x,y,z)=x^{2}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}+z\,{\bf k}$, $E$ é o sólido delimitado pelo paraboloide $z=4-x^{2}-y^{2}$ e pelo plano $xy.$
$\displaystyle\iint_{S} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \iiint_{E} \mbox{div} {\bf F} dV = 8\pi.$
Verifique que $\mbox{div} {\bf E}=0$ para o campo elétrico ${\bf E}({\bf x})=\dfrac{\epsilon Q}{|{\bf x}|^{3}}{\bf x}.$
Seja ${\bf F}=(z tg^{-1}(y^{2}),z^{3}\ln(x^{2}+1),z).$ Determine o fluxo de ${\bf F}$ através da parte do parabolóide $x^{2}+y^{2}+z=2$ que está acima do plano $z=1$ e está orientada para cima. (Observe que a superfície acima não é fechada.)
Use o Teorema do Divergente para calcular $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot dS$, onde ${\bf F}(x,y,z)=z^{2}x\,{\bf i}+(\frac{1}{3}y^{3}+tg z)\,{\bf j}+(x^{2}z+y^{2})\,{\bf k}$ e $S$ é a metade de cima da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
[Sugestão: observe que $S$ não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre $S_{1}$ e $S_{2}$, onde $S_{1}$ é o círculo $x^{2}+y^{2}\leq 1$, orientado para baixo, e $S_{2}=S\cup S_{1}.$]
Note que $\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{x}{|{\bf x}|^3} \right) = \dfrac{|{\bf x}|^2 - 3x^2}{|{\bf x}|^5},$ $\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{y}{|{\bf x}|^3} \right) = \dfrac{|{\bf x}|^2 - 3y^2}{|{\bf x}|^5}$ e $\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{x}{|{\bf x}|^3} \right) = \dfrac{|{\bf x}|^2 - 3z^2}{|{\bf x}|^5}.$
Demonstre a identidade abaixo, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
- $\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf a}\cdot {\bf n}\,dS=0$, onde ${\bf a}$ é um vetor constante.
Dica: Note que $\mbox{div} {\bf a} = 0.$
Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf u}\cdot {\bf n}\,dS$, sendo $B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1$ e $z\geq x+y\}$ e ${\bf u}=-2xy\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}+3z\,{\bf k}.$
Use o Teorema da Divergência para encontrar todos os valores positivos \(k\) tais que \[ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^k} \] satisfaça a condição \(\mathrm{div\,}\mathbf{F}=0\) quando \(\mathbf{r}\neq \mathbf{0}\).
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=3xy^{2}\,{\bf i}+xe^{z}\,{\bf j}+z^{3}\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro $y^{2}+z^{2}=1$ e pelos planos $x=-1$ e $x=2.$
Demonstre a identidade $\displaystyle\iint\limits_{S}\mbox{rot}\, {\bf F}\cdot dS=0$, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Pelo Teorema do Divergente, temos
$\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot} {\bf F}\cdot dS = \iiint\limits_{ E}\mbox{div} (\mbox{rot} {\bf F})\,dV,$
em que $E$ é o sólido que tem $S$ como fronteira. Observe que
\begin{align*}
&\mbox{div} (\mbox{rot} {\bf F}) =\\ & \frac{\partial}{\partial x}(R_y - Q_z) + \frac{\partial}{\partial y}(P_z - R_x) + \frac{\partial}{\partial z}(Q_x - P_y) \\ & R_{xy} - Q_{xz} + P_{yz} - R_{yx} + Q_{zx} - P_{zy} = 0,
\end{align*}
pois, como as derivadas de segunda ordem são contínuas, temos, pelo Teorema de Clairaut, que $P_{yz} = P_{zy}$, $Q_{zx} = Q_{xz}$ e $R_{xy} = R_{yx}$. Portanto,
$\displaystyle\iint\limits_{S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot dS=0.$
${\bf F}(x,y,z)=3x\,{\bf i}+xy\,{\bf j}+2xz\,{\bf k}$, $E$ é o cubo limitado pelos planos $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$ e $z=1.$
Se ${\bf F}=(xz,yz,2)$ e $E$ é a região dada por $x^{2}+y^{2}\leq 1$ e $0\leq z \leq 1,$ mostre que o Teorema do Divergente é verdadeiro neste caso. Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema e mostre que elas têm o mesmo valor.
Demonstre a identidade abaixo, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
- $\displaystyle\iint\limits_{S}(f\nabla g)\cdot {\bf n}\,dS=\displaystyle\iiint\limits_{E}(f\nabla^{2}g+\nabla f+\nabla g)\,dV.$
Note que $\displaystyle\iint\limits_{S}(f\nabla g)\cdot {\bf n}\,dS=\displaystyle\iiint\limits_{E} \mbox{div} (f\nabla g)\,dV.$
Seja $S$ a parte do parabolóide $z=2-x^{2}-y^{2}$ que está acima do plano $z=1.$ Calcule o fluxo do campo vetorial ${\bf F}(x,y,z)=\frac{1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}(x,y,z)$ através de $S.$
Demonstre a identidade abaixo, supondo que $S$ e $E$ satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
- $\displaystyle\iint\limits_{S} D_{n}f\,dS=\displaystyle\iiint\limits_{E}\nabla^{2}f\,dV.$
Lembre que $D_{n} f = \nabla f \cdot {\bf b}$ e $\mbox{div} (\nabla f) = \nabla^{2} f.$
Um sólido ocupa a região $E$ com superfície $S$ e está imerso em um líquido com densidade constante $\rho$. Escolhemos um sistema de
coordenadas de modo que o plano $xy$ coincida com a superfície do líquido e valores positivos de $z$ sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade $z$ é $p=\rho g z$, onde $g$ é a aceleração da gravidade. A força de empuxo total sobre o sólido devida $\grave{a}$ distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
${\bf F}=-\displaystyle\iint\limits_{S} p{\bf n}\,dS$ onde ${\bf n}$ é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do exercício anterior para mostrar que ${\bf F}=-W{\bf k}$, onde $W$ é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que ${\bf F}$ é orientado para cima porque $z$ está orientado para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um objeto é igual ao
peso do líquido deslocado.
Note que $\displaystyle {\bf F}=-\int_{S} p {\bf n} \,dS = -\iiint_{E} \nabla p\,dV = -\iiint_{E} \nabla p\,dV = - \iiint_{E} \nabla (\rho g z)\,dV.$
Conclua usando que $W = \rho g V(E),$ onde $V(E)$ é o volume de $E.$
Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf u}\cdot {\bf n}\,dS$, sendo $S$ a fronteira de $B$ com normal exterior ${\bf n}$, sendo $B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\, 0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq x$ e $0\leq z\leq 4\}$ e ${\bf u}=xy\,{\bf i}+yz\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}.$
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial ${\bf F}$ na região $E.$
${\bf F}(x,y,z)=xy\,{\bf i}+yz\,{\bf j}+zx\,{\bf k}$, $E$ é o cilindro sólido $x^{2}+y^{2}\leq 1$, $0\leq z\leq 1.$
$\displaystyle\iint_{S} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \iiint_{E} \mbox{div} {\bf F} dV = \dfrac{\pi}{2}.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=(5x^{3}+12xy^{2})\,{\bf i}+(y^{3}+e^{y}\,\sin z)\,{\bf j}+(5z^{3}+e^{y}\,\cos z)\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido entre as esferas $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.$
Aplique o Teorema da Divergência para achar $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS,$ sendo ${\bf F}(x,y,z)=y\,\sin x\,{\bf i}+y^{2}z\,{\bf j}+(x+3z)\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da região delimitada pelos planos $x=\pm 1$, $y=\pm 1$ e $z=\pm 1.$
$24.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=e^{x}\,\sin y\,{\bf i}+e^{x}\,\cos y\,{\bf j}+yz^{2}\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da caixa delimitada pelos planos $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$ e $z=2.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=3x\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da região delimitada pelo parabolóide $z=4-x^{2}-y^{2}$ e o plano-$xy.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=x^{3}y\,{\bf i}-x^{2}y^{2}\,{\bf j}-x^{2}yz\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido delimitado pelo hiperbolóide $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ e pelos planos $z=-2$ e $z=2.$
Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf u}\cdot {\bf n}\,dS$, sendo $B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\, x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}$ e ${\bf u}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=yz\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+xy\,{\bf k}$ e $S$ é o gráfico de $x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=1.$
Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=(\cos z+xy^{2})\,{\bf i}+xe^{-z}\,{\bf j}+(\sin y+x^{2}z)\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido limitado pelo parabolóide $z=x^{2}+y^{2}$ e pelo plano $z=4.$