Integrais de linha
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Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=(y,3x)$ e $C$ é a elipse $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$, percorrida no sentido anti-horário.
$-2\pi ab.$
Seja ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e seja $C$ a curva dada por $x=t$ e $y=1-t^{4}$, $-1\leq t\leq 1.$
Que valor é razoável esperar para $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$? Por quê? (O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$)
Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}.$
$0.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(y+2)\,{\bf j}$ sobre um objeto que se move sobre um arco de cicloide ${\bf r}(t)=(t-\sin t)\,{\bf i}+(1-\cos t)\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$2\pi^{2}.$
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por ${\bf F}(x,y,z)=-y\,{\bf i}+x\,{\bf j}+z\,{\bf k}.$ Calcule o trabalho realizado por ${\bf F}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(a)$ até ${\bf r}(b)$, sendo dados:
${\bf r}(t)=(\cos t, \sin t,t)$, $a=0$ e $b=2\pi.$
${\bf r}(t)=(2t+1,t-1,t)$, $a=1$ e $b=2.$
${\bf r}(t)=(\cos t,0, \sin t)$, $a=0$ e $b=2\pi.$
$2\pi(1 + \pi).$
$\dfrac{9}{2}.$
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+dy+2\,dz$, $C$ é a interseção do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ com o plano $z=2x+2y-1$; caminhe no sentido anti-horário.
$0.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$2\pi^{2}.$
Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x\,{\bf i}+(x^{3}+3xy^{2})\,{\bf j}$ em uma partícula que inicialmente está no ponto $(-2,0)$, se move ao longo do eixo $x$ para $(2,0)$ e ao longo da semicircunferência $y=\sqrt{4-x^{2}}$ até o ponto inicial.
Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo. Além disso, $9$ lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?
$16245$ ft-lb.
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}dx+xy\,dy+z\,dz$, $C$ é a interseção de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$, $x\geq 0$, $y\geq 0$ e $z\geq 0$, com o plano $y=x$; o sentido de percurso é do ponto $(0,0,\sqrt{2})$ para $(1,1,0).$
$\displaystyle \frac{1}{3}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=\sin{x}\,{\bf i}+\cos{y}\,{\bf j}+xz\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=t^{3}\,{\bf i}-t^{2}\,{\bf j}+t\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1).$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy$, $C:\,x=t^{2},\,y=\sin t$, $0\leq t\leq \pi/2.$
$\displaystyle \frac{\pi^{4}}{32} + \frac{1}{2}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=(e^{-y}-2x,-xe^{-y}-\sin y)$, ${\bf r}(t)=(t,\tan t)$, $0\leq t\leq \pi/4.$
$\displaystyle \cos(1) - \frac{\pi}{4}e^{-1} - \frac{\pi^{2}}{16} - 1.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(x^{2}y^{3}-\sqrt{x})\,dy$, $C$ é o arco da curva $y=\sqrt{x}$ de $(1,1)$ a $(4,2).$
$\dfrac{243}{8}.$
Experiências mostram que uma corrente contínua $I$ em um fio comprido produz um campo magnético ${\bf B}$ que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio (como na figura). A Lei de Ampère relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que
$$\int_{C}{\bf B}\cdot d{\bf r}=\mu_{0}I,$$
onde $I$ é a corrente total que passa por qualquer superfície limitada por uma curva fechada $C$ e $\mu_{0}$ é uma constante, chamada permeabilidade no vácuo. Tomando $C$ como um círculo de raio $r$, mostre que o módulo $B=|{\bf B}|$ do campo magnético a uma distância $r$ do centro do fio é dado por
$$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.$$
Note que $\textbf{B}$ é tangente a qualquer círculo que está no plano perpendicular ao fio. Logo, $\textbf{B} = |\textbf{B}| \textbf{T},$ onde $\textbf{T}$ é a tangente unitária ao círculo $\textbf{C}$ parametrizado por $x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta).$ Daí,
$\textbf{B} = |\textbf{B}| \left(-\sin(\theta),\cos(\theta) \right)$ e
$$\int_{C} \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = \int_{0}^{2\pi} |\textbf{B}| \left( -\sin(\theta), \cos(\theta)\right)\cdot (\left(-r \sin(\theta), r\cos(\theta) \right) d\theta = 2\pi r |\textbf{B}|.$$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(2x+9z)\,ds$, $C:\,x=t,\, y=t^{2},\, z=t^{3},\, 0\leq t\leq 1.$
$\displaystyle \frac{1}{6}\left(14^{3/2} - 1\right).$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xyz\,ds$, onde $C$ é a hélice ${\bf r}(t)=(\cos t,\sin t,3t)$, $0\leq t\leq 4\pi.$
$-3\sqrt{10}\pi.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}x^{2}\,dx+y^{2}\,dy+z^{2}\,dz$, onde $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$.
$\displaystyle \frac{2}{3}.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}y^{2}\,dx+x\,dy -\,dz$, onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0,0)$, $A_{1}=(1,1,1)$, $A_{2}=(1,1,0)$, orientada de $A_{0}$ para $A_{2}.$
$\displaystyle \frac{5}{6}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=e^{x-1}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ e $C$ é dada por ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}, 0\leq t\leq 1.$
$\displaystyle \frac{11}{8} - \frac{1}{e}.$
Sejam $A=(3,0)$, $B=(1,1)$ e $C=(0,3)$ pontos de $\mathbb{R}^{2}$ e $C$ a trajetória que vai em linha reta de $A$ até $B$ e em seguida de $B$ até $C$. Determine o trabalho ao longo de $C$ do campo de forças ${\bf F}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$, sendo
$${\bf F}(x,y)=\bigg(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigg).$$
$\displaystyle 2\arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{2} \right) - \arctan\left(\frac{1}{3} \right).$
A força em um ponto $(x,y,z)$ em três dimensões é dada por ${\bf F}(x,y,z)=y\,{\bf i}+z\,{\bf j}+x\,{\bf k}$. Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y,z)$ ao longo da cúbica reversa $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ de $(0,0,0)$ a $(2,4,8).$
$\dfrac{412}{15}.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,xz,xy+2y)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$
$-6.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=(t,\sin t)$, $0\leq t\leq \pi.$
$\displaystyle \frac{\pi^{3}}{3} - 2.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=(x+y)\,{\bf i}+(y-z)\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}+t^{2}\,{\bf k}$, $0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{17}{15}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}(x+yz)\,dx+2x\,dy+xyz\,dz$, $C$ consiste nos segmentos de reta de $(1,0,1)$ a $(2,3,1)$ e de $(2,3,1)$ a $(2,5,2).$
$\dfrac{97}{3}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx+y\,dy+z\,dz$, $C$ é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$, percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0).$
$-3.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\,dx+\,dy$, onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0)$, $A_{1}=(1,2)$, $A_{2}=(-1,3)$, $A_{3}=(-2,1)$ e $A_{4}=(-1,-1)$, sendo $C$ orientada de $A_{0}$ para $A_{4}.$
$\displaystyle -2.$
Calcule o trabalho realizado por uma partícula andando sobre a espiral dada por $C:\,x=t\,\cos t$, $y=t\,\sin t$, com $0\leq t\leq 2\pi$, sob a ação do campo ${\bf F}(x,y)=(x,y)$, ou seja, calcule a integral $\int_{C}x\,dx+y\,dy.$
$2\pi^{2}.$
Calcule $\displaystyle \int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C: {\bf r}(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1.$ ( O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$)
$0.$
Determine o trabalho $W=\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$ realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}(x-y)\,{\bf i}+xy^{2}\,{\bf j}$ em uma partícula que se move da origem ao longo do eixo $x$ para $(1,0)$, em seguida ao longo de um segmento de arco de circunferência $x^{2}+y^{2}=1$ até $(0,1)$ e então volta à origem ao longo do eixo $y.$
$\dfrac{\pi}{8}.$
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência $x^{2}+y^{2}=4$, $x\geq 0$. Se a densidade linear for uma constante $k$, determine a massa e o centro de massa do arame.
Massa: $k2\pi;$ centro de massa: $\displaystyle \left( \frac{4}{\pi},0 \right).$
Se um arame com densidade linear $\rho(x,y)$ está sobre uma curva plana $C$, seus momentos de inércia em relação aos eixos $x$ e $y$ são definidos por
$$I_{x}=\int_{C}y^{2}\rho(x,y)\,ds I_{y}=\int_{C}x^{2}\rho(x,y)\,ds.$$
Determine os momentos de inércia de um arame com o formato de um semicírculo $x^{2}+y^{2}=1$, $y\geq 0$, que é mais grosso perto da base do que perto do topo, se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta $y=1.$
$I_{x} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{3} \right)$ e $I_{y} = k\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3} \right).$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=(x+y^{2})\,{\bf j}$ e $C$ é a curva da figura abaixo.
$4.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{4}\,ds$, $C$ é a metade direita do círculo $x^{2}+y^{2}=16.$
$\dfrac{2^{13}}{5}.$
Calcule $\int_{C}(x+y+z)\,dx+(x-2y+3z)\,dy+(2x+y-z)\,dz$, onde $C$ é a curva de $(0,0,0)$ a $(2,3,4)$ se
$C$ consiste em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $x$, o segundo paralelo ao eixo $y$ e o terceiro paralelo ao eixo $z$.
$C$ consite em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo $z$, o segundo ao eixo $x$ e o terceiro paralelo ao eixo $y.$
$C$ é um segmento retilíneo.
$19.$
$35.$
$27.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+3y^{2}\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=11t^{4}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j}$, $0\leq t\leq 1.$
$45.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xe^{yz}\,ds$, $C$ é o segmento de reta de $(0,0,0)$ a $(1,2,3).$
$\dfrac{\sqrt{14}}{12}\left(e^{6} - 1 \right).$
Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C$ é a curva dada por $x=2\,\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}.$
$-\dfrac{1}{2}.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}(x-y)\,dx+e^{x+y}\, dy$, onde $C$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.
$\displaystyle \frac{e^{3}}{6} - \frac{e}{2} + \frac{5}{6}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$
As equações paramétricas de $C$ são
$$x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$$
Logo,
$$dx=3t^{2}\,dt,\, dy=dt,\, dz=2t\,dt.$$
Assim,
$$\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz=\int_{0}^{1}((t^{3})^{2}\cdot t \cdot \sqrt{t^{2}})(2t\,dt)=2\int_{0}^{1}t^{9}\,dt$$
$$=2\cdot\frac{t^{10}}{10}\bigg|_{0}^{1}=2\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{5}.$$
$$\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy,$$
onde $B$ é o triângulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ e $(1,1)$, $C$ é a fronteira de $B$ orientada no sentido anti-horário, $P(x,y)=x^{2}-y$ e $Q(x,y)=x^{2}+y.$
$\displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy = \dfrac{7}{6} = \iint\limits_{B}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dxdy.$
Seja ${\bf F}:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, ${\bf F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\,{\bf i}+y\,{\bf j}$. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf r}:[a,b]\to \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x^{2}y\sqrt{z}\,dz$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, z=t^{2},\, 0\leq t\leq 1.$
$\dfrac{1}{5}.$
Um homem pesando $160$ lb carrega uma lata de tinta de $25$ lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de $20$ pés. Se o silo tem $90$ pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?
$16650$ ft-lb.
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=x^{2}\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(2\cos t,3\sin t,t)$, $0\leq t\leq 2\pi.$
$\dfrac{8\pi^{3}}{3}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}y^{3}\,ds$, $C:\,x=t^{3},\, y=t,\, 0\leq t\leq 2.$
$\displaystyle \frac{1}{54}\left(145^{3/2} - 1 \right).$
A força em um ponto $(x,y)$ de um plano coordenado é ${\bf F}(x,y)=(x^{2}+y^{2})\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$. Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y)$ ao longo do gráfico de $y=x^{3}$ de $(0,0)$ a $(2,8).$
$\dfrac{1592}{21}.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ sobre uma partícula que dá uma volta no círculo $x^{2}+y^{2}=4$ no sentido anti-horário.
$0.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,\sin{y}\,ds$, $C$ é o segmento de reta que liga $(0,3)$ a $(4,6).$
$\displaystyle \frac{20}{6} \left(\sin(6) - 3\cos(6) - \sin(3) \right).$
Uma partícula move-se no plano de modo que no instante $t$ sua posição é dada por ${\bf r}(t)=(t,t^{2})$. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ${\bf F}(x,y)=(x+y)\,{\bf i}+(x-y)\,{\bf j}$ no deslocamento da partícula de ${\bf r}(0)$ até ${\bf r}(1).$
$1.$
Seja $C: {\bf r}(t)=(R\,\cos t, R\,\sin t)$, $0\leq t \leq 2\pi$\,$(R>0).$ Mostre que
$$\int_{C}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$$
não depende de $R.$
Note que o valor da integral é $2\pi,$ independente de $R.$
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ${\bf F}(x,y,z)=(y+z)\,{\bf i}+(x+z)\,{\bf j}+(x+y)\,{\bf k}$ sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta $(1,0,0)$ a $(3,4,2).$
$26.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y)=x^{2}\,{\bf j}$, ${\bf r}(t)=(t^{2},3)$, $-1\leq t\leq 1.$
$0.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\sqrt[3]{x}\,dx+\dfrac{dy}{1+y^{2}}$, onde $C$ é a curva na figura abaixo.
$0.$
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre um partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência $x^{2}+y^{2}=1.$
Isso também é verdadeiro para um campo de força ${\bf F}({\bf x})=k{\bf x}$, onde $k$ é uma constante e $\textbf{x}=x{\bf i}+y{\bf j}$?
Dica: tome a parametrização do círculo $C$ dada por $x = cos(t)$ e $y = \sin(t),$ com $t \in [0,2\pi]$ e considere um campo constante arbitrário ${\bf F} = (a,b).$ Segue que $W = \int_{C} F\cdot d\textbf{r} = 0.$
Sim. Realize o mesmo cálculo com ${\bf F}(x,y) = (k x, ky).$
Calcule o trabalho realizado pela força ${\bf F}(x,y)=xy\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}$ ao mover uma partícula da origem ao longo da reta $y=x$ até $(1,1)$ e então de volta à origem ao longo da curva $y=x^{2}.$
$\dfrac{1}{12}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy\,dx+(x-y)\,dy$, $C$ consiste nos segmentos de reta de $(0,0)$ a $(2,0)$ e de $(2,0)$ a $(3,2).$
$\displaystyle \frac{17}{3}.$
Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde $C$ é dada pela função vetorial ${\bf r}(t).$
${\bf F}(x,y,z)=(x+y+z)\,{\bf k}$, ${\bf r}(t)=(t,t,-t^{2})$, $0\leq t\leq 1.$
$-\dfrac{11}{6}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$, $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$
Uma representação paramétrica para o segmento de reta $C$ é
$$\begin{array}{lr}x=1+t \\y=1+2t\\\end{array}\;\;\;\; 0\leq t \leq 1.$$
Logo,
$$\begin{array}{lr}dx=dt \\dy=2\,dt\\\end{array}$$
Assim,
$$\int_{C}x\,dx-y\,dy=\int_{0}^{1}(1+t)\cdot (dt)+(1+2t)\cdot(2\,dt)=\int_{0}^{1}(1+t+2+4t)\,dt$$
$$=\int_{0}^{1}(3+5t)\,dt=\bigg(3t+\frac{5}{2}t^{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.$$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{4x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{4x^{2}+y^{2}}\,dy$, $C$ tem por imagem a elipse $4x^{2}+y^{2}=9$ e o sentido de percurso é o anti-horário.
$\displaystyle \pi.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$, $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$
$\displaystyle -\frac{5}{2}.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{3}\,ds$, $C:\,x=4\,\sin t,\, y=4\,\cos t,\, z=3t,\, 0\leq t\leq \pi/2.$
$320.$
Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}2\,dx-dy$, $C$ tem por imagem $x^{2}+y^{2}=4$, $x\geq 0$ e $y\geq 0$; sentido de percurso é de $(2,0)$ para $(0,2).$
$\displaystyle -6.$
Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,2xz,xy+2z)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$
$-7.$