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| MA141 - Geometria Analítica | Sistemas lineares | Espaços de soluções

Espaços de soluções

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451   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&+&2x_4&+&x_5&=&10 \\2x_1&-&4x_2&+&8x_3&+&3x_4&+&10x_5&=& 7 \\3x_1&-&6x_2&+&10x_3&+&6x_4&+&5x_5&=&27\\\end{array}\right..\]

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

448   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.

\[\left\{\begin{array}{ccccl}x_1-&2x_2-&x_3+&x_4&=-2 \\2x_1+&7x_2+&3x_3+&x_4&=\ \, 6 \\11x_1+&11x_2+&4x_3+&8x_4&=\ \, 8\\10x_1+&2x_2+&&8x_4&=\ \, \lambda \\\end{array}\right. .\]

454   

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[ \left\{\begin{array}{rrrrl}x&+5y&+4z&-13z&=3\\3x&-y&+2z&+5t &=2\\2x&+2y&+3z&-4t&=1\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

1443   

Considere o sistema linear:

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}a x &+& b y & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b) y & = & d\end{array} \right. ,$$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $\alpha$ são números reais.

  1. Mostre que, se $d=\alpha c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um parâmetro $\lambda$ real, dadas por: $x=\dfrac{c-b\lambda}{a}$ e $y=\lambda$.

  2. Mostre que, se $d \neq \alpha c$, o sistema não admite solução.

1474   

Considere o sistema linear:

$$ \left\{ \begin{array}{rcrcrcc}a x &+& b y &+& cz & = & c\\(\alpha a) x &+& (\alpha b)y &+& (\alpha c) z & = & d \\(\beta a) x &+& (\beta b)y &+& (\beta c) z & = & e\end{array} \right. ,$$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $\alpha$ e $\beta$ são números reais.

  1. Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de um único parâmetro real.

  2. Mostre que, se $d=\alpha c$ e $e\neq\beta c$, ou, se $d\neq\alpha c$ e $e=\beta c$, o sistema tem infinitas soluções em função de dois parâmetros reais.

  3. Mostre que, se $d\neq\alpha c$ e $e\neq\beta c$, o sistema tem solução única.

446   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}2x_1+&1x_2+&4x_3+&x_4&=&-5 \\2x_1+&8x_2-&10x_3+&8x_4&=&2 \\&&-9x_3+&2x_4&=&2\\4x_1+&1x_2+&6x_3+&5x_4&=&-3\\4x_1+&5x_2-&8x_3+&8x_4&=&-3\\\end{array}\right . .\]

Esse sistema possui uma única solução.

443   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{cccccr}&x_1&-&7x_2&=&-11 \\-&x_1&+&11x_2&=&31 \\&2x_1&-&12x_2&=&-26 \\&3x_1&-&17x_2&=&-15 \\\end{array}\right. . \]

O sistema não possui solução.

449   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccr}3x& + &3y& - &2z& - &t&=& 2\\5x& + &2y& + &z& - &2t&=& 1\\2x& - &y& + &3z& - &t&=& -1\end{array}\right. .\]

Esse sistema possui infinitas soluções.

453   

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrrl}4x&+3y&-z&+t&=4\\x&-y&+2z&-t&=0\\5x&+2y&+z&&=4\end{array}\right. . \]


Esse sistema linear possui infinitas soluções.

1481   

Uma liga de metal $L_1$ contém $20\%$ de ouro e $80\%$ de prata, uma liga $L_2$ tem $65\%$ de ouro e $35\%$ de prata, e uma liga $L_3$ tem mesma quantidade de ouro e prata.

  1. Escreva um sistema linear cuja solução dê a quantidade de gramas de cada liga necessários para se formar $100$ gramas de uma liga com $60$ gramas de ouro e  $40$ gramas de prata.

  2. Este problema tem solução única? Justifique utilizando conceitos sobre sistemas lineares.

  3. Determine a(s) solução(ões) do sistema linear.

  1. Se $x$, $y$ e $z$ designam as quantidades, em gramas, das ligas $L_1$, $L_2$ e $L_3$, respectivamente, o sistema pode ser escrito como a seguir 
    $$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}0,2 x &+&0,65  y &+ &0,5 z & = &60\\0,8 x &+&0,35 y &+ &0,5 z & = &40\end{array} \right. $$
  2. Existem infinitas soluções para este problema. Por que?
  3. As soluções são dadas por $y=\dfrac{200}{3}+2x$, $z=\dfrac{100}{3}-3x$.
    Como $x$, $y$ e $z$ representam pesos, a solução só fará sentido para $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Logo, é preciso que $x\leq\dfrac{100}{9}$ gramas.

450   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccr}2x_1&+&5x_2&+&12x_3&=& 6 \\3x_1&+&x_2&+&5x_3&=& 12 \\5x_1&+&8x_2&+&21x_3&=& 17\\\end{array}\right. .\]

Esse sistema linear não possui solução.

457   

Sabendo que o sistema

$ \left\{\begin{array}{rrrl}x&+y&+z&=1\\mx&+2y&+3z&=0\\m^2x&+4y&+9z&=1\end{array}\right.$

admite uma única solução, podemos concluir que $m$ pode assumir todos os valores no intervalo real: 

  1. $[0,1]$ 
  2. $[1,2]$
  3. $[3,4)$
  4. $[0,4]$.


445   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrrrcr}1x_1+&3x_2-&7x_3+&5x_4+&2x_5&=&0 \\2x_1+&3x_2-&20x_3+&7x_4+&8x_5&=&0 \\10x_1+&22x_2-&46x_3+&34x_4+&12x_5&=&0 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

444   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{rrrcr}2x_1+&3x_2-&5x_3&=& 2 \\2x_1+&3x_2-&x_3&=& 8 \\6x_1+ &9x_2-&7x_3&=& 18 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

442   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left\{\begin{array}{ccccccccccr}&&x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6 \\&-&x_1&+&x_2&+&4x_3&-&3x_4&=&-2 \\&&&&x_2&+&3x_3&+&x_4&=& 5 \\&&&&x_1&+&5x_2&+&5x_3& =&14 \\\end{array}\right. . \]

Esse sistema possui infinitas soluções.

455   

Examine o sitema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz.

\[\left \{\begin{array}{rrrrl}x&-y&+2z&-t&=0\\3x&+y&+3z&+t&=0\\x&-y&-z&-5t&=0\end{array}\right..\]

Esse sistema linear possui infinitas soluções.

456   

Seja $M= \left( \begin{array}{cccc}a & 0 & b & 2\\a & a & 4 & 4\\0 & a & 2 & b\end{array}\right) $ a matriz ampliada (ou aumentad de um sistema linear. Para que valores de $a$ e $b$ o sistema admite: 

  1. Solução única;
  2. Solução com uma variável livre;
  3. Solução com duas variáveis livres;
  4. Nenhuma solução. 

447   

Examine o sistema linear a seguir, verificando se tem solução ou não, ou quantas são as possíveis soluções, utilizando resultados sobre posto de matriz, em função do parâmetro $\lambda$.

\[\left\{\begin{array}{cccl}2x_1+&3x_2+&x_3&=1 \\x_1+&6x_2+&x_3&=3 \\2x_1-&3x_2+&2x_3&=\lambda\\x_1+&3x_2+&2x_3&=1 \\\end{array}\right.. \]

452   

Seja o sistema linear $AX = B$, onde

\[A=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}2&-3\\3&-1&\phantom{-}5\\1&\phantom{-}1&a^{2}-16\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4\\2\\a+14\end{pmatrix}.\]

  1. Determine o valor (ou valores) de $a$ para que o sistema tenha solução única.

  2. Exitem valores de $a$ para os quais o sistema tem infinitas soluções?

  3. Exitem valores de $a$ para os quais o sistema não tem solução?

1480   

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$.

  1. Escreva um sistema linear que relacione as quantidades de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$ que podem ser produzidas com $200$ unidades de $m_1$ e $300$ unidades de $m_2$.

  2. Utilizando conhecimentos sobre sistemas lineares, responda se há apenas uma configuração possível de produção dos produtos $p_1$, $p_2$ e $p_3$. Determine esta(s) configuração(ões) e interprete.

  1. $$ \left\{ \begin{array}{rcrcc}x &+& y &+ & z & = &200\\2x &+& y &+ &4 z & = &300\end{array} \right. $$
  2. Há infinitas configurações possíveis respeitando $y=\dfrac{500-2x}{3}$ e $z=\dfrac{100-x}{3}$ desde que $x,y,z \in\mathbb{I}^+$, logo $x\leq 100$.