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Seja $a$ o semi-eixo maior da órbita de um planeta em torno do Sol, e seja $T$ o seu período. Pelas Leis de Kepler, a órbita é elíptica com o Sol em um dos focos, e $T=a^{3/2}$. Mostre que se $T$ for medido em dias e $a$ em quilômetros, então $\displaystyle T=(365\times 10^{-9})\left(\dfrac{a}{150}\right)^{3/2}$.
Use o resultado do item anterior para encontrar o período do planeta Mercúrio, em dias, dado que o seu semi-eixo maior é $a=57,95\times 10^6$ km.
Escolha um sistema de coordenadas polares com o Sol no pólo e encontre uma equação para a órbita de Mercúrio naquele sistema de coordenadas, dado que a excentricidade da órbita é $e=0,206$.
Use um recurso gráfico computacional para gerar a órbita de Mercúrio a partir da equação obtida no item 3.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ln\dfrac{a+c}{b}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Dadas duas retas que se cortam, seja $L_2$ a reta de maior ângulo de inclinação $\phi_2$ e e $L_1$ a reta de menor ângulo de
inclinação $\phi_1$. Definimos o ângulo entre $L_1$ e $L_2$ por $\theta=\phi_2-\phi_1$. Prove os resultados abaixo.
Se $L_1$ e $L_2$ não são perpendiculares, então $$ \tan\theta = \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2},$$ onde $L_1$ e $L_2$ têm inclinações $m_1$ e $m_2$.
Propriedade de Reflexão da Elipse: uma reta tangente a uma elipse em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. (Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que a elipse seja descrita pela equação $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
Propridedade de Reflexão da Hipérbole: Uma reta tangente à hipérbole em um ponto $P$ faz ângulos iguais com as retas que unem $P$ aos focos. ([)Sugestão: Introduza coordenadas de tal modo que hipérbole seja descrita pela equação $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ e use o item 1.)
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce também o gráfico.
A hipérbole $\ell$ tem focos $F_1$ e $F_2$ e vértices $A_1$ e $A_2$. Encontrar equações paramétricas de $\ell$ se
$F_1=(2,0)$, $F_2=(8,0)$, $A_1=(3,0)$, $A_2=(7,0)$;
$F_1=(0,0)$, $F_2=(4,8)$, $A_1=(1,2)$, $A_2=(3,6)$.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: hipérbole com assíntotas $y=\pm x$ e um ponto da hipérbole $P=(2,7)$.
Determinar a equação reduzida da hipérbole com assíntotas $3y=\pm 2x $ e vértices $(\pm 10,0).$
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi ab^2$.
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo menor tem volume $\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi a^2b$.
Um homem parado num ponto $Q=(x,y)$ ouve o estampido de um rifle localizado no ponto $P_1=(1000,0)$ e o som do projétil atingindo o alvo no ponto $P_2=(-1000,0)$ ao mesmo tempo. Se o projétil viaja a $2000$ pés/s e o som a $1100$ pés/s, ache uma equação relacionando $x$ e $y$.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce também o gráfico.
Considere a matriz diagonal $ A = diag\{a, b\},$ onde $a,b\in\mathbb{R}$, e seja $\Delta$ um triângulo com vértices $0$, $u$ e $v$, onde $u$ e $v$ são pontos na circunferência $S^1$ de equação $x^2+y^2=1$. Seja $A\Delta$ o triângulo
de vértices $0$, $A\cdot u$ e $A\cdot u$.
Mostre que os vértices $A\cdot u$ e $A\cdot v$ estão na elipse $E$ de equação $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.
Mostre que se $S(\Delta$) for a área de $\Delta$ e $S(A\Delta$) for a área de $A\Delta$, então $S(A\Delta)=abS(\Delta)=S(\Delta)\,\det A$.
Mostre que a relação do item anterior é preservada para qualquer polígono inscrito na circunferência.
Inspirando-se no processo clássico para o cálculo da área do círculo, pense na área da região limitada pela elipse $E$ como sendo
o limite das áreas dos polígonos inscritos em $E$, quando o lado maior tende a zero. Conclua que esta área é dada por $\pi ab$.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: elipse com vértices $A_1=(10,0), \, A_2=(-10,0), \, B_1=(0,6), \, B_2=(0, -6).$
A fim de esboçarmos uma hipérbole, precisamos indicar: centro, focos, vértices e assíntotas. Os pontos sobre a curva mais próximos do centro (sobre o eixo maior) são os vértices. Os vértices distam $a$ do centro e as assíntotas são da forma $y=\pm(\frac{a}{b}) x$ (se os focos estiverem sobre o eixo $y$) ou $y=\pm(\frac{b}{a}) x$ (se estiverem sobre o eixo $x$), onde $a^2+b^2=c^2$. A excentricidade de uma hipérbole é definida como $\frac{c}{a}$.
Esboce o gráfico de $25x^2-16y^2=400$.
Dê a equação da hipérbole com vértices $(0,\pm3)$ e excentricidade $e=5/3$.
Esboce o gráfico da curva $9x^2-y^2=-36$.
Mostre que os ramos direito e esquerdo da hipérbole $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ podem ser representados parametricamente por
$$ x= a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2) $$
$$ x= -a\sec t, \quad y=b\tan t, \quad(-\pi/2 < t < \pi/2). $$
Use um recurso gráfico para gerar ambos os ramos da hipérbole $x^2-y^2=1$ em um mesmo gráfico.
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(c,0)$?
Qual a distância de um ponto $(x,y)$ ao ponto $(-c,0)$?
Use sua resposta anterior para obter a equação de uma elipse com focos $(c,0)$ e $(-c,0)$.
Simplifique sua equação o máximo possível. Isso exigirá certa manipulação algébrica mas, ao final, podemos obter uma forma simplificada para elipses deste tipo.
Quais são as intersecções desta elipse com os eixos $x$ e $y$?
Como muda a sua equação se os focos forem $(0,c)$ e $(0,-c)$?
Mostre a seguinte propriedade de Reflexão da Parábola: A reta tangente em um ponto $P$ da parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por $P$ paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por $P$ e o foco. (Sugestão: Escolha os eixos coordenados de tal modo que a parábola tenha a equação $x^2=4py$.
Mostre que a reta tangente em $P(x_0,y_0)$ intersecta o eixo $y$ no ponto $Q(0,-y_0)$ e que é isósceles o triângulo cujos três vértices estão em $P$, $Q$ e o foco.
Um próton é lançado ao longo da reta $y = \frac{1}{2} x$ em direção ao núcleo de um átomo localizado na origem. Se o próton é defletido em direção à linha $y = -\frac{1}{2} x$, ao longo de um trecho de hipérbole, dê a equação para a trajetória do próton.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{3}{2+4cos\theta}$.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $3x^2-14y=0$. Esboce o gráfico.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{6}{3+sen\theta}$.
O que acontece com a distância entre a diretriz e o centro de uma elipse se os focos permanecerem fixados e a excentricidade tender a $0$?
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica: elipse com vértices $A_1=(5,0), \, A_2=(-5,0), \, B_1=(0,2), \, B_2=(0, -2)$.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: parábola com vértice na origem e foco $F=(3,0).$
Encontre a equação da parábola que tem foco no ponto $F = (1,1)$ e tem reta diretriz com equação $y = -x - 2$.
Como é afetado o formato de uma hipérbole quando sua excentricidade tende a $1$? E quando tende a $+\infty$? Esboce algumas figuras para ilustrar suas conclusões.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $49x^2-9y^2=441$. Esboce o gráfico.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{4}{2-3cos\theta}$.
Dado um plano qualquer com um sistema de coordenadas $xy$, encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce o gráfico.
Seja $\ell$ a curva com equações paramétricas $x=a(1+t^2)/(1-t^2)$, $y=2bt/(1-t^2)$. Determine $\ell$.
Determine a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse com vértices $A_1=(10,0)$, $A_2=(-10,0)$, $B_1=(0,6)$, $B_2=(0, -6)$.
Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita por $4x^2+9y=144$. Esboce também o gráfico.
Determinar a equação reduzida da seguinte cônica e fazer um esboço gráfico da mesma: hipérbole com focos no eixo $x$, assíntotas $y=\pm 2 x $ e o ponto $P=(5,6).$
Mostre que o elipsóide obtido girando uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ em torno do eixo maior tem área de superfície
$$ S= 2\pi ab\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\arcsin\dfrac{c}{a}\right), $$
onde $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
Identifique a seguinte cônica, determinando sua excentricidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): $r=\frac{5}{2-2cos\theta}$.
A elipse $\ell$ tem focos $F_1=(1,2)$ e $F_2=(2,4)$ e vértices $A_1=(0,0)$ e $A_2=(3,6)$. Dê as equações paramétricas de $\ell$.