Identificação das quádricas
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Reduza a equação $3x^2+y^2+z^2+4yz+12x+2y-2z+9=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2-3y^2-5z^2-2xy-6xz-6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Considere a quádrica $x^2 +(m+1)y^2 +mz^2-2yz+2xy+2x+2z+4 = 0$, calcule $m$ para que a quádrica seja um parabolóide hiperbólico e obtenha sua equação reduzida.
Reduza a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $z^2 + 4xy + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 \\2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 & 0 \\2 & -\lambda & 0 \\0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+4\lambda-4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $1$, $2$ e $-2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $1$ e $2$, $(A-I) X = 0$ e $(A-2I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,0,1)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $z^2 + 4xy + 1 = 0$ se transforma em:
$$-(x')^2-\dfrac{(y')^2}{1/2}+\dfrac{(z')^2}{1/2}=1,$$
que é a equação de um hipérbolóide de duas folhas.
Reduza a equação $4x^2+4y^2+9z^2+8xy+12xz+10x+y+4z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Mostre que a intersecção de um plano $\displaystyle by+cz+d=0$, em que $b^2+c^2=1$, com o cone $x^2+y^2=z^2$ é uma cônica que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. (Sugestão: mude para um sistema de coordenadas $\{O,U_1,U_2,U_3\}$ tal que $U_1=\vec{i}=(1,0,0)$, $U_2=(0,b,c)$ e $U_3=(0,-c,b)$).
Reduza a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -2 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 1 \\0 & -1-\lambda & 0 \\1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $2$ e $-1$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $2$: $A X = 0$ e $(A-2I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (0,-1,0)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2y + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(z'-1)^2}{2}-(y')2=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Reduza a equação $xz = 1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $xz = 1$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX-1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 \\1/2 & 0 & 0\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 1/2 \\0 & -\lambda & 0 \\1/2 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+\lambda/4.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $0$, $-1/2$ e $1/2$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $0$ e $1/2$: $A X = 0$ e $(A-1/2 I) X = 0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas consiste em $U_1=(0,1,0)$ e $U_2=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $xz=1$ se transforma em:
$$\dfrac{(y')^2}{2}-\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um cilindro hiperbólico.
Reduza a equação $-2x^2+4y^2+6z^2+2xy+6xz+6yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $x^2+y+z^2=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$y=-(x^2+z^2)$: parabolóide elíptico.
Reduza a equação $2x^2 + 30y^2 + 23z^2 + 72xz + 150 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $x^2+4y^2+9z^2-4xy+6xz-12yz+4x-8y+12z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX+1=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}-24 & -24 & 6\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}45 & -18 & 0 \\-18 & 54 & 18 \\0 & 18 & 63\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}45-\lambda & -18 & 0 \\-18 & 54-\lambda & 18 \\0 & 18 & 63-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+162\lambda^2+-8019\lambda +118098.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $27$, $54$ e $81$. Considere os sistemas lineares referentes às raízes $27$ e $54$: $(A-27I) X = 0$ e $(A-54I)=0$. Uma solução de norma unitária desses sistemas são $U_1=(-2/3,-2/3,1/3)$ e $U_2=(-2/3,1/3,-2/3)$, respectivamente. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (1/3,-2/3,-2/3)$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $45x^2 + 54y^2 + 63z^2 - 36xy + 36yz - 24x - 24y + 6z + 1 = 0$ se transforma em:
$$\dfrac{(x'+17/27)^2}{796/2187}+\dfrac{(y'+1/27)^2}{796/4374}+\dfrac{(z'+2/81)^2}{796/6561}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Reduza a equação $x^2+z^2-xy+xz+yz-2x+2y-2z+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+3y+4z+4=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2+3y^2+z^2-2xy-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+2y^2-4z^2-5xy-2xz-2x-2y+z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $5x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz+2yz+2x-y=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $4x^2+6y^2+4z^2-4xz+1=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+4yz-4x+2y+6z+5=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $4x^2-2y^2+z^2=1$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{x^2}{1/4} - \dfrac{y^2}{1/2} + z^2 = 1$: hiperbolóide de uma folha.
Reduza a equação $7x^2 + 7y^2 + 10z^2 - 2xy - 4xz + 4yz - 12x + 12y + 60z = 24$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $x^2+y^2+4z^2-2xy-4xz+6x+12y+18z=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2x^2+y^2-4xy-4yz+12x+6y+6z=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz - 2yz + x - y + z + 1 = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2+3z^2+4xy+8xz+4yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $x^2+y^2+z^2-4xy-4xz-4yz=7 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Considere o polinômio $p(\lambda)=\det(A-\lambda I_3)$, em que$$ A= \left[\begin{array}{ccc} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{array}\right]. $$
Sejam $\alpha$ e $\beta$ raízes reais (pois $A$ é simétrica) distintas de $p(\lambda)$. Mostre que se $X_1$ é solução de $(A-\alpha I_2)X=\vec{0}$ e $X_2$ é solução de $(A-\beta I_2)X=\vec{0}$, então $X_1$ e $X_2$ são ortogonais. (Sugestão: Mostre que $\alpha X_1\cdot X_2=\beta X_1\cdot X_2$)
Mostre que se $p(\lambda)$ tem raízes reais distintas, então sempre existe uma matriz $Q$ tal que $$ Q^tAQ = \left[\begin{array}{ccc} a' & 0 & 0 \\ 0 & b' & 0 \\ 0 & 0 & c' \end{array}\right]. $$ Conseqüentemente, a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$ transforma a equação $$ ax^2+by^2 + cz^2 + dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0 $$ na equação $$a'x'^2+b'y'^2+c'z'^2+g'x'+h'y'+i'z + j=0, $$ onde os termos "cruzados" $xy$, $xz$ e $yz$ são eliminados.
Reduza a equação $-x^2-y^2-7z^2+16xy+8xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2+y^2-2xy+2xz-2yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2xy + z = 0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=2x^2+2y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
Reduza a equação $4x^2-8x-9y^2+6y-36z+3=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$9z-2=(x-1)^2-\dfrac{(3y-3)^2}{4}$: parabolóide hiperbólico.
Reduza a equação $2x^2+2y^2-z^2+8xy-4xz-4yz=2 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2+4y^2+z^2-12x-8y-2z+16=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
$\dfrac{(x-2)^2}{1/3}+\dfrac{(y-1)^2}{1/4}+(z-1)^2=1$: elipsóide.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $\displaystyle f(x,y)=-2xy$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta, primeiro achando uma mudança de coordenadas conveniente (rotação) e, em seguida, completando os quadrados em $f(x',y')$ de tal forma a identificar a quádrica resultante.
Reduza a equação $4x^2+y^2-8z^2+4xy-4xz+8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $144x^2+100y^2+81z^2-216xz-540x-720z=0$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
A equação da quádrica $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ pode ser escrita em forma matricial:
$$X^tAX+KX-6=0,$$
onde:
$$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \ K=\begin{pmatrix}0 & -4 & 0\end{pmatrix}, \ A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 3\end{pmatrix}. $$
Seja:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & -1 \\0 & 2-\lambda & 0 \\-1 & 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=-\lambda^3+8\lambda^2-20\lambda+16.$$
As raízes de $P(\lambda)$ são $2$ e $4$, sendo $2$ uma raiz dupla. Considere o sistema linear referente à raiz $2$: $(A-2I) X = 0$. Duas soluções de norma unitária desse sistema são $U_1=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$ e $U_2=(0,1,0)$. Sejam $U_3=U_1 \times U_2 = (-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$, $Q=(U_1,U_2,U_3)$ e $X'=\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}.$ Dessa forma, com a mudança de coordenadas dada por $X=QX'$, a equação $3x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xz - 4y = 6$ se transforma em:
$$\dfrac{(x')^2}{4}+\dfrac{(y'-1)^2}{4}+\dfrac{(z')^2}{2}=1,$$
que é a equação de um elipsóide.
Reduza a equação $4x^2+3y^2-z^2-12xy+4xz-8yz$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2z^2+5x+12y+12z+18=0 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Reduza a equação $2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 4z = 9$ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.
Em cálculo de uma variável vemos que se $x_0$ é um extremo local (máximo ou mínimo) de uma função $f(x)$, então a reta tangente ao gráfico de $f$ em $x_0$ é horizontal, ou seja, $f'(x_0)=0$.
Encontre uma relação similar entre um extremo local de uma função de duas variáveis e o plano tangente ao seu gráfico.
Use esta relação para encontrar os extremos locais da função $f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14$.
Verifique se sua resposta no item anterior está correta completando os quadrados em $f(x,y)$ e identificando a quádrica.
Reduza a equação $2x^2+y^2+2z^2+2xy-2yz=1 $ de forma a identificar a quádrica que ela representa e esboce o seu gráfico.