Coordenadas esféricas
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Um navio ao mar está no ponto $A$ que está localizado a $60^\circ$ de longitude oeste e $40^\circ$ de latitude norte. O navio viaja ao ponto $B$ que está a $40^\circ$ de longitude oeste e $20^\circ$ de latitude norte. Supondo que a Terra seja uma esfera com raio de $6370$ Km, determine a menor distância que o navio pode pode viajar indo de $A$ para $B$, dado que a menor distância entre os dois pontos sobre uma esfera está ao longo do arco do círculo máximo que une os pontos. [Sugestão: usando o sistema de coordenadas esféricas, considere o ângulo entre os vetores do centro da Terra aos pontos $A$ e $B$. Se o termo "círculo máximo" lhe for estranho, consulte um dicionário.]
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=2\tan\theta$.
Usando a definição de coordenadas esféricas, a equação dada fica: $\displaystyle (x^2+y^2)(z^2-4)+z^4=0$.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por $r=9\sec\phi$.
Usando a definição, a equação dada fica: $\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{81}{x^2}(x^2+y^2).$
As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares satisfazendo a regra da mão direita, com sua origem no centro da Terra, o seu eixo $z$ positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo $x$ positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio $\rho=4000$ milhas, então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma $(4000,\theta,\phi)$, onde $\phi$ e $\theta$ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a $90^\circ$ de longitude oeste e $30^\circ$ de latitude norte. Determine as coordenadas esféricas e retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).
Uma longitude de $90^\circ$ oeste corresponde a $\theta=360^\circ-90^\circ=270^\circ$ ou $\theta=3\pi/2$ radianos; enquanto $30^\circ$ de latitude norte corresponde a $\phi=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ ou $\phi=\pi/3$ radianos. Assim, as coordenadas esféricas $(\rho, \theta,\phi)$ de New Orleans são $(4000,3\pi/2,\pi/3)$. Para determinarmos as coordenadas rectangulares, aplicamos as fórmulas de conversão de esféricas para retangulares. Assim, obteremos \begin{align*} x &=4000\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(0)= 0\ \text{milhas} \\ y & = 4000\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{3\pi}{2}=4000\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)=-2000\sqrt{3}\ \text{milhas} \\ z& = 4000\cos\dfrac{\pi}{3}=4000(\dfrac{1}{2})=2000\ \text{milhas}.\end{align*}