Bases e sistemas de coordenadas

473

Considere o subconjunto de vetores $\mathcal{B} =\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}$.

Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?

Pois $\det\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] =2\neq0$.
$A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{ccc}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\-\overset{}{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] $.
São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) $ e $\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $.
$(-3,1,4).$

1427

Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(-1,4,7)$ e $B=(3,-2,-1)$, deve ser dividida em duas partes iguais. Determine o ponto $C$ que realiza esta divisão.

480

Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.

474

Considere o subconjunto de vetores $\mathcal{B} =\{(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1)\}$.

Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para $\mathbb{R}^{3}$.
Encontre a matriz de mudança de coordenadas $A$ da base canônica $\{i,j,k\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ para a base $\mathcal{B}$. Qual é matriz de mudança de coordenadas $A^{\prime}$ da base $\mathcal{B}$ para a base canônica?
Quais são as coordenadas dos vetores canônicos $i,j$ e $k$ em relação à base $\mathcal{B}$?
Se o ponto $P$ tem coordenadas $(1,-2,5)$ no sistema $\{O,i,j,k\}$, quais são as coordenadas de $P$ no sistema $\{O,\mathcal{B}\}$?

Como eles são ortogonais dois a dois e dim $\!\mathbb{R}^{3}=3$, eles são L.I.
$A^{\prime}=\left[\begin{array}[c]{rrr}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-2 & 0 & 1\end{array}\right] ;A=(A^{\prime})^{-1}=\left[\begin{array}[c]{rrr}
\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3}\\\overset{}{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2} & 0\\\overset{}{\frac{1}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right] $.
São as colunas de $A$, respectivamente: $\left(
\frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) ,\left( \frac{1}{6},-\frac{1}%
{2},\frac{1}{3}\right) $ e $\left( -\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right) $.
$\left( -\frac{11}{6},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right) $.

475

Os vetores $(1,1,0,-1),(1,2,1,3),(1,1,-9,2),(16,-13,1,3)$ formam uma base para $\mathbb{R}^{4}$?

Sim, porque são 4 vetores linearmente independentes, e dim $\mathbb{R}^{4}=4$.

1406

No tetraedro $ABCD$, seja $X$ um ponto tal que $\vec{AX}$ = $m\vec{XD}$. Determine os valores de $m$ para os quais os vetores $\vec{AX}+\vec{AC}$, $\vec{BX}+\vec{BC}$ e $(1-m)\vec{BC}+\vec{AB}$ sejam linearmente independentes.

481

Considere a reta $r=\{(x,y):2x-3y=1\}\subset\mathbb{R}^2$. Seja $B$ a base formada pelos vetores $(3,2)$ e $(1,0)$ e $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$ coordenadas definidas em $\mathbb{R}^2$ pela origem usual e pela base $B$. Ache a equação de $r$ nas coordenadas $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$.

1428

Uma viga metálica fina, com extremidades nas coordenadas $A=(2,5,3)$ e $B=(1,1,0)$, deve ser dividida em três partes iguais. Determine os pontos $C$ e $D$ que realizam esta divisão.

478

Sabemos que se $B$ é uma base de $R^3$ formada pelos vetores $U,V$ e $W$, então as leis de mudança de base entre a base usual e a base $B$ são $$ P_B = [U,V,W]^{-1}P\ \ {\rm e}\ \ P = [U,V,W]P_B$$ Determine a mudança de base entre a base $B$ e uma base $B^{\prime}$ distinta da usual.

479

Considere o círculo $C$ de raio $1$ e centrado na origem do sistema usual de coordenadas do $\mathbb{R}^2$. Lembre-se que a equação de $C$ é $x^2+y^2=1$. Considere o sistema $\{ Q,i,j\}$, onde $Q=(-3,2)$. Ache a equação de $C$ no novo sistema de coordenadas.

1423

Suponha que $u_1,\ldots, u_n$ gerem $\mathbb{R}^n$. Mostre que dados vetores quaisquer em $\mathbb{R}^n$, $u_{n+1}, \ldots, u_m$, então $u_1, \ldots, u_n, u_{n+1}, \ldots, u_m$ geram $\mathbb{R}^n$.

1422

Encontre $\lambda \in \mathbb{R}$ para que $v_1=(2 \lambda,1)$, $v_2=(\lambda + 1, \lambda + 1)$:

Sejam paralelos;
Não sejam paralelos;
$v_1$ e $v_2$ formem uma base para $\mathbb{R}^2$.

$\lambda=-1$ ou $\lambda=1/2$.
$\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.
$\lambda\neq -1$ ou $\lambda\neq 1/2$.

476

Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação ao sistema usual de $\mathbb{R}^3$, $S_0=\{O,i,j,k\}$. Considere o paralelepípedo $P$ com vértices $(0,0,0)$, $(3,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,1)$ (quais são os outros quatro?). Determine os vetores que representam as quatro diagonais de $P$. Escolha três deles e mostre que formam uma base de $R^3$. Chame esta base de $\beta =\{V_1,V_2,V_3\}$.

477

Nesta questão, todos os sistemas de coordenadas têm mesma origem $O$. Sejam $(x,y,z)$ coordenadas em relação à base usual $\{i,j,k\}$; $(u,v,w)$ coordenadas em relação à base $\beta =\{j,i,i-j+k\}$ e $(r,s,t)$ coordenadas em relação à base $\gamma =\{k,i-j,i+j\}$. Dado um ponto $P\in\mathbb{R}^3$, escrito na base $\beta$ como $P_{\beta} = (3,2,1)$, ache $P_{\gamma}$, isto é, $P$ na base $\gamma$.

1424

Mostre que quaisquer que sejam $u$, $v$ e $w$ em $\mathbb{R}^2$, eles são linearmente dependentes.