Integração por partes
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Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.
$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.
Calcule a seguinte integral:
$\int{x\cos x dx}.$
$xsinx+cosx+C$
Discuta a seguinte "demonstração'':
Dada a integral $\displaystyle\int (1/x)dx$, seja $dv=dx$ e $u=1/x$, de modo que $v=x$ e $du=(-1/x^2)dx$.
Então $\displaystyle\int (1/x)dx=(1/x)x-\displaystyle\int x (-1/x^2) dx \Rightarrow \displaystyle\int (1/x)dx=1+\displaystyle\int (1/x)dx \Rightarrow 0=1.$
Calcule a seguinte integral:
$\int \cos(x)\ln (\sin (x))dx $.
$sinx(ln(sinx)-1)+C$
Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.
$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.
Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$.
Calcule a seguinte integral:
$\int{x^2e^{2x}dx}.$
$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.
Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.
Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.
$x(lnx-1)+C$
Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.
1
Considere uma força $f(x)$ que atua sobre um corpo no ponto $x$. A força varia em função do ponto $x$, segundo a função $f(x)=x^5 \sqrt{x^3+1}$. Determine o trabalho realizado se o corpo se move do ponto $x=0$ ao ponto $x=1$.
Seja $P(x)$ um polinômio de qualquer grau. Mostre que:
$$\displaystyle \int P(x) e^x \, dx = (P - P' + P'' -P''' + \ldots)e^x.$$
Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$.
Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.
$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.
Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.
Calcule a seguinte integral:
$\int e^{x}\sin xdx.$
$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$
Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.
Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$.
Calcule a seguinte integral:
$\int{x\sin{\frac{x}{2}}dx}$.
$4sin(x/2)-2xcos(x/2)+C$
Calcule a seguinte integral:
$ \int x^2\sin (\pi x)dx$.
$\dfrac{(2-\pi^2x^2)cos(\pi x+2 \pi xsin(\pi x)}{\pi^3}+C$.
Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.
Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$.
Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.
$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.
Calcule $\displaystyle \int \sin (\ln x) \, dx$ utilizando integração por partes.
$-\dfrac{1}{2}x(cos(ln x)-sin(ln x))+C$
Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.
Uma força de retardamento freia o movimento de uma massa presa a uma mola alinhada com o eixo $y$, de modo que a posição da massa no instante $t$ é
$y=3 e^{-t}\cos\ t,\ \ t\geq 0$.
Calcule o valor médio de $y$ no intervalo $ 0 \leq y \leq 2\pi$
Aproximadamente $0,2383$.
Calcule a seguinte integral:
$\int{e^x(x^2-2x+1)dx}$.
$e^x(x^2-4x+5)+C$
Calcule a seguinte integral:
$\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.
$\pi^2-4$