Integração de funções racionais por frações parciais
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Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.
Uma alternativa ao método das frações parciais é calcular integrais da forma
$$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx} \, dx$$
utilizando a substituição $u=a+\dfrac{b}{x}$. Mostre que com essa substituição a integral se torna:
$$\displaystyle \int \dfrac{1/x^2}{a+b/x} \, dx.$$
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int{\frac{dx}{1-x^2}}$
Podemos escrever:
$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$
Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.
Assim, reescrevemos a integral como
$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int{\frac{x^2dx}{(x-1)(x^2 + 2x + 1)}}$
Em uma reação química de dois reagentes, a velocidade da reação depende, em geral, da concentração destes. Seja $a$ a quantidade do reagente $A$ e $b$ a quantidade do reagente $B$ em $t=0$, sendo $x$ a quantidade do produto no instante $t$, a velocidade de formação de $x$ pode ser dada pela equação diferencial
$\frac{dx}{dt} = k(a-x)(b-x)$,
sendo que $k$ é uma constante para a reação. Encontre $x(t)$ se:
$a=b$
$a \neq b$
Em ambos os casos, considere $x(t=0)=0$.
Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.
Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.
Calcule a integral a seguir utilizando decomposição de quocientes em frações parciais:
$\int_{0}^{1}{\frac{x^3dx}{x^2 + 2x + 1}}$
Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.
Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$
Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$
Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.
Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.
Sociólogos utilizam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural, ou notícias sobre uma inovação técnica Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas $x$ que tem a informação é tratado como uma função derivável do tempo $t$, e a taxa de difusão é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas que não a tem, isto é,
$\frac{dx}{dt} = kx\left(N-x\right)$, sendo que $N$ é o número total de pessoas da população.
Suponha então que $t$ seja medido em dias, $k=1/250$ e que duas pessoas deram início a um boato no momento $t=0$ em uma população tal que $N=1000$.
Determine $x(t)$.
Quando metade da população terá ouvido o boato?
Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.