Funções trigonométricas
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Seja $x(t)$ a posição horizontal e $y(t)$ a posição vertical de um objeto no tempo $t$. Com $x(0)=y(0)=0$ e velocidade iniciais horizontal $v_x$ e vertical $v_y$, a trajetória do objeto pode ser representada pelas equações $x(t)=v_xt$ e $y(t)=-5t^2+v_y t$. Suponha que o módulo da velocidade inicial seja igual a $1$. Neste caso, o ângulo $\theta$ entre a linha horizontal (eixo $x$) e a tangente à parábola na origem $(0,0)$ satisfaz $v_x=\cos(\theta)$ e $v_y=\sin(\theta).$
- Use a identidade $\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_2)\cos(\theta_1)$ para provar que $\cos(\theta)\sin(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta).$
- Para $v_x>0$, $v_y>0$, determine o tempo $t_f>0$ tal que $y(t_f)=0$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ com domínio $]0,\frac{\pi}{2}[$.
- Definimos uma função $x_f$, também com dominio $]0,\frac{\pi}{2}[$, por $x_f(\theta)=x(t_f(\theta))$. Escreva $t_f(\theta)$ como função de $\theta$ e simplifique.
- Qual é a imagem de $x_f$?
- Quais são os ângulos $\theta\in\,]0,\frac{\pi}{2}[$ com valores $x_f(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{20}$, $x_f(\theta)=\frac{1}{10}$ e $x_f(\theta)=\frac{1}{5}$?
Calcule o valor das seguintes expressões:
- $sen(45^0)+cos(45^0)$
- $\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}$
- $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)$
- Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen(45^0)+cos(45^0)$ é $1$.
- Este item se resolve por substituição direta: $cos(30^0)=sen(60^0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $tg(45^0)=1$:$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times 1=\dfrac{3}{4}$.
- Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)$ é $1$. Além disso, temos que $cotg(45^0)=\dfrac{1}{tg(45^0)}=\dfrac{1}{1}=1$. Então:\\ $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)=1 \times 1=1$.
Usando as fórmulas pra $\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$, calcule $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
$tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.
$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.
$\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mostre que a equação $\sin x +\cos x =0$ tem exatamente duas raízes reais.
A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de $30^0$. Caminhando $23$m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de $60^0$. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.
Usando as fórmulas do seno da soma e do cosseno da soma de dois ângulos, obtenha fórmulas para:
$\sin(2x), \cos(2x), \sin(3x)$ e $\cos(3x)$.
$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
$\sin(3x) = \sin x (2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 1)$.
$\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \sin^2 x \cos x$.
Sejam $a$ e $b$ reais quaisquer. Verifique que:
- $\sin{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
- $\cos{a}\cos{b}=\dfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$
- $\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \sin(a+b) + \sin(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \sin a \cos b + \sin b \cos a + \sin a \cos b - \sin b \cos a ) \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \sin a \cos b) \\ &=& \sin a \cos b .\end{array}$
- $\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} ( \cos(a+b) + \cos(a-b) ) &=& \frac{1}{2} ( \cos a \cos b + \sin a \sin b + \cos a \cos b - \sin a \sin b ) \\ &=& \frac{1}{2} ( 2 \cos a \cos b) \\ &=& \cos a \cos b .\end{array}$