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Teste da Derivada Primeira

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536   

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.


1811   

As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.

  1.  Use um recurso gráfico computacional  para gerar o gráfico de $f$ com $n=2,3,4$ e $5$ e faça uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de $f$.

  2.  Confirme a sua conjectura usando o teste da derivada primeira.


1168   

Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.

  1. Quais são os pontos críticos de $f$?

  2. Em quais intervalos $f$ é crescente ou decrescente?

  3. Em quais pontos $f$ assume valores máximos e mínimos locais?


1167   

Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.


1814   

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

  1.  $\displaystyle f'(x)=x^2(2x+1)(x-1)$;

  2.  $\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-4x^2}{\sqrt[3]{x+1}}$.


1602   

O gráfico a seguir mostra o custo hipotético $c=f(x)$ para fabricar $x$ itens. O chamado custo marginal é a mudança no custo total advinda da produção de uma unidade a mais do produto, para um certo volume de produção. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?

fig_deriv_prim_1.png


1565   

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e  e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.


1810   

  1.  Mostre que as funções $f(x)=(x-1)^4$ e $g(x)=x^3-3x^2+3x-2$ têm pontos estacionários em $x=1$.

  2.  O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza destes pontos?


535   

Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.


1170   

Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right)  =xe^{-x}$ no intervalo $\left[  -10,10\right]$.



$f^{\prime}\left(  x\right)  =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left(  1-x\right)  $.

Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left(  x\right)  =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.

Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left(  x\right)  =0$ ou os extremos do intervalo.

Avaliamos:

$f\left(  -10\right)     =-10e^{10}$

$f\left(  1\right)    =\frac{1}{e}$

$f\left(  10\right)     =\frac{10}{e^{10}}$

Como

$-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$

temos que o valor máximo é $f\left(  1\right)  =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left(  -10\right)  =-10e^{10}$.


1564   

O efeito da luz sobre a taxa de fotossíntese pode ser descrito por $f(x)=x^a e^{(a/b)(1-x^b)}$ para $x>0$ e constantes positivas $a$ e $b$.

Mostre que $f$ tem um máximo em $x=1$.

Conclua que, se $x_0>0$ e $y_0>0$, então $g(x)=y_0f(x/x_0)$ tem máximo em $g(x_0)=y_0$.


1813   

Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

  1.  $\displaystyle f'(x)=x^3(x^2-5)$;

  2.  $\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$.


537   

Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo.

fig_deriv_prim_3.png







\begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*}

Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta


1169   

Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:

  1. $s(t) = 2t^3 + t^2-20t +4$

  2. $f(x) = 4x^3-5x^2-42x + 7$

  3. $g(w) = w^4-32w$


1812   

(Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.

  1.  Se $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)<0$ em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ tem um máximo relativo em $x_0$.

  2.  Se $f'(x)<0$ em um intervalo aberto  ampliando-se à esquerda de $x_0$ e $f'(x)>0$ em um intervalo aberto ampliando-se  à direita de $x_0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $x_0$. 

  3.  Se $f'(x)$ tiver o mesmo sinal $\displaystyle [f'(x)>0\ \text{ou}\ f'(x)<0]$ em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de $x_0$ e em um intervalo aberto ampliando-se à direita de $x_0$, então $f$ não tem extremo relativo em $x_0$.

Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$.


1603   

O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?

fig_deriv_prim_2.png