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| MA111 - Cálculo I | Derivada | Regra da Cadeia

Regra da Cadeia

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836   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right)}.$


Pela regra da cadeia, temos que
$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$
Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:
$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$
Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.
Assim, 
$(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$
Portanto:
$(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$

841   

O que podemos dizer sobre uma função $f\left( x\right) $ tal

que $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }$ para todo $x$?


Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que:

$\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para $f(x)$, portanto, temos que:

$f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou:

$f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$

 i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou: 

$f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$

i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$).

847   

Calcule a derivada da função:

$y=e^{x^{x}}$.

$y'=e^{x^x} x^x (\log x + 1)$.

1190   

Calcule a derivada da seguinte função: 
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.

849   

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \left(\dfrac{\cos \sqrt{x}}{1+\sin \sqrt{x}}\right)$.

$y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$.

1533   

Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.

$y=2x$.

1184   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$

$f'(x) = -20\tan(4x)$.

842   

Calcule a derivada da função:

$y=\sqrt{1+\sqrt{x}}$.

$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.

1539   

Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado.

818   

Sejam $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ funções
diferenciáveis e suponha que esta assuma os seguintes valores:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline x & f\left( x\right)  & g\left( x\right)  & f^{\prime }\left(
x\right)  & g^{\prime }\left( x\right) \\\hline
  0 & 1 & 1 & 5 & 1/3 \\\hline
  1 & 3 & -9 & -1/3 & -8/3 \\\hline
\end{array}$

Encontre as derivadas de:

  1. $f\left( x\right) -3g\left( x\right) $ em $x=0;$

  2. $f\left( g\left( x\right) \right) $ em $x=0;$

  3. $\left( x^{11}+f\left( x\right) \right) ^{-2}$ em $x=1;$

  4. $f\left( e^{\sin \left( x-1\right) }\right) $ em $x=1;$

  1. $4$
  2. $8/9$
  3. $-1/3$
  4. $-1/3$

1816   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $xe^x\cos{x}$.
  2. $e^x \sin{x} \cos{x}$.


  1. $-e^x x^2 \sin (x)+e^x x^2 \cos (x)+2 e^x x \cos (x)$.
  2. $-e^x \sin ^2(x)+e^x \cos ^2(x)+e^x \sin (x) \cos (x)$.

1537   

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.

  1. Estude o sinal de $f'(x)$.
  2. Faça um esboço do gráfico de $f$.

848   

Calcule a derivada da função:


$y=\dfrac{2\left( 4+3\sqrt[3]{x}\right) \left( 2-\sqrt[3]{x}\right)^{3/2}}{5}$.

$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.

1188   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  2x\right)  \log_{3}\left(3x\right)  .$

$f'(x) = \dfrac{2 \ln x + \ln 6}{x \ln 2 \ln 3}$.

851   

Determine as derivadas das seguintes funções:

  1. $f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right) }$.

  2. $f\left( x\right) =\left( \sin x+\cos x\right)^{3}$.

  3. $f\left( x\right) =x^{3}e^{-3x}.$

1196   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =3^{2x}\ln\left(  x^{2}\right)  .$

$2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$

846   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{e^{\sec \sqrt{x}}}{x}$.

$y'=\dfrac{(\tan x) e^{\sec x} \sec x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sec x}}{(2 x^{3/2})}$.

1817   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $x^2e^x\cos{x}$
  2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$


1818   

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.


852   

Determine as derivadas das seguintes funções:

  1. $f\left( x\right) =e^{\tan \left( x^{3}\right) }$.

  2. $f\left( x\right) =\left( a\sin x+\cos bx\right)^{3};$

  3. $f\left( x\right) =\dfrac{xe^{-3x}}{1+\cos x}.$

1195   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \cos^{2}\left(  x\right)  .$

1185   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\left( \left( \sin x\right) \left(\cos x\right) \right) ^{3}.$

$f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$.

1535   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $x^2e^x\cos{x}$
  2. $e^x \sinh{x} \cos^2{x}$

839   

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:


$f\left( x\right) =e^{2x^{3}}+\cos \left( \sin \left( 3x\right)\right) ;$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( 0\right) $.

$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$.

$f'(0) = 0$.

837   

Determine a derivada da função:

$f\left( x\right) =\left( sen x+\cos x\right) ^{3}.$

$3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$

1197   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\cos^{2}\left(  x\right)  +\sin^{2}\left(x\right)  }{\sqrt{x^{3}+1}}.$

1536   

Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize.

Dica: Derive a função $Fh$, onde $F=fg$. Use a regra do produto duas vezes. Para generalizar use o princípio da indução finita.

1198   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left(  x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

1538   

Suponha que em uma máquina um pistão se desloque verticalmente tal que sua posição no instante $t$ (medido em segundos) seja dado por:

$$s=A \cos(2 \pi b t ),$$

onde $A>0$ é a amplitude do movimento, e $b>0$ é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca de cima para baixo por segundo). Qual o efeito da duplicação da frequência sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? Relacione a sua resposta com o fato de que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.

1189   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.$

$f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$.

838   

Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$

$ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.

1194   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{3}+1\right)  ^{5}}{\left(x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

$\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$

1191   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  \cos^{3}\left(  x\right)  \right).$

$f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$.

843   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{x\tan 3x}{x^{2}+4}$.

$y' =  -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$.

840   

Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:

$f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( x^{2}\right) +5x^{3}}{1+\cos^{2}x};$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( \pi /2\right) .$.

$f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

$f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.

850   

Calcule a derivada da função:

$y=\dfrac{1}{2}\cot ^{2}5x+\ln \sin x.$

$y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.

844   

Calcule a derivada da função:

$y=\ln \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.

$y' = \sec x$.

1819   

Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.
Estude o sinal de $f'(x)$.
Faça um esboço do gráfico de $f$.


1186   

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\cos \left( x^{-2}\right)+x^{3}e^{-3x}.$

$f'(x) =  -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$.

1193   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =5^{x\cos\left(  x^{2}\right)  }.$

1820   

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

845   

Calcule a derivada da função:

$y=\left( 2+\sin x\right) ^{x}$.

$y' = (\sin x + 2)^x (\log(\sin x + 2) + (x \cos x )/(\sin x + 2))$.

1534   

Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:

  1. $xe^x\cos{x}$
  2. $e^x \sin{x} \cos{x}$

1192   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =x^{3}\ln\left(  x^{2}\right)  .$

1187   

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

 $f'\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$