Derivadas de ordem superior
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Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$.
$f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$.
Compute a derivada $f''(x)$ de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.
$f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$.
Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=e^{kx}, k \in R$.
$f^{1000}(x)=k^{1000}e^{kx}$
Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$.
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$.
Se uma massa cai uma distância $s(t)$ em $t$ segundos, e $s'$ é proporcional a $s$, então mostre que $s$ não pode ser uma função da forma $s(t)=ct^2$.
Se $s(t)=\dfrac{a}{2} t^2$, mostre que $s''(t)=a$ (a aceleração é constante) e que $[s'(t)]^2=2as(t)$ (observe que obtivemos isso trocando ligeiramente a expressão de $s(t)$).
Assumindo $a=9,8$m$/$s$^2$ (aceleração da gravidade), quantos segundos você tem para fugir de um lustre em um castelo que cai de um teto de $100$m? Se você não conseguir fugir, quão rápido o lustre vai estar quando te atingir? A que altura estava o lustre quando estava se movendo com metade desta velocidade?
Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2+3x, & \text{se} x \leq 1 \\
5x-1, & \text{se} x>1
\end{array}\right.$.
Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$.
$f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$
Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$.
Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$.
Determine a derivada de ordem $n$ de:
- $f(x)=e^x$
- $f(x)=\cos{x}$
- $f(x)=\sin{x}$
- $f(x)=\ln{x}$
Calcule a derivada de ordem $n$ da função $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$.
Determine a derivada de ordem $999$ da função $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$.
Imagine uma estrada em que o limite de velocidade é especificado a cada ponto dela. Isto é, existe uma certa função $L$ tal que o limite de velocidade no quilômetro $x$ da estrada é $L(x)$. Dois carros, $A$ e $B$, estão viajando nesta estrada; o carro $A$ com posição $a(t)$ e o $B$ com posição $b(t)$.
Escreva uma equação para o fato de que o carro $A$ sempre anda no limite de velocidade. (A resposta não é $a'(t)=L(t)$.)
Suponha que $A$ sempre ande no limite de velocidade, e que a posição de $B$ no tempo $t$ é a posição de $A$ no tempo $t-1$. Mostre que $B$ também anda no limite da velocidade em todo o tempo.
Suponha agora que $B$ anda sempre a uma distância fixa atrás de $A$. Sobre quais condições $B$ sempre irá andar no limite de velocidade?