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Derivadas de funções trigonométricas

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1547   

Um aluno estudioso está sentado em uma sala de aula, ao lado da parede e de frente para a lousa, como na figura abaixo. A lousa tem $3$m de largura e começa a $1$m da parede à qual o aluno está próximo. Mostre que, se a distância da parede for $x$, o ângulo de visão é

$$\alpha = \cot^{-1} \dfrac{x}{15} - \cot^{-1} \dfrac{x}{3}.$$

fig_trig_1.png


1203   

Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.


1548   

A posição $s$ de uma partícula em um instante $t \geq 0$, se deslocando em um movimento retilíneo, é dada por:

$$s=10\cos(t+\pi/4).$$

  1. Encontre a posição inicial da partícula. Isto é, a posição em $t=0$.
  2. Quais são os pontos mais distantes da origem que a partícula pode alcançar? (à direita e à esquerda).
  3. Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos do item anterior.
  4. Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração neste instante.


1541   

Calcule $f'(x)$ sendo

  1. $f(x)=tg{x}$
  2. $f(x)=sec{x}$


1. $f'(x)=sec^2(x)$.

2. $f'(x)=sec(x)tg(x)$.


1204   

Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.


1201   

Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$?


$s(t)=\cos(4)-\sin(4)$


1542   

Seja $f(x)=cotg{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.


$f'(x)=-cossec^2(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2$.


1546   

Demonstre as seguintes regras de derivação:

  1. $(sec{x})'=sec{x} \cdot tg{x}$
  2. $(cotg{x})'=-cossec^2{x}$
  3. $(cossec{x})'=-cossec{x} \cdot cotg{x}$


1543   

Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.



Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$:

$f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$.
Agora, substituímos $x$ por $\dfrac{\pi}{4}$ e obtemos

$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec\(\dfrac{\pi}{4}\)cotg\(\dfrac{\pi}{4}\)=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$.





1545   

 Demonstre as seguintes regras de derivação:

  1. $(\sin{x})'=cos{x}$
  2. $(\cos{x})'=-\sin{x}$
  3. $(tg{x})'=sec^2{x}$


1202   

Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno.


1200   

Uma partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com a relação $s(t)=-2\sin(t)+3\cos(t)$ , onde $s$ é dado em metros e $t$ em segundos.

  1. Encontre a velocidade da partícula no instante $t$.
  2. Encontre a velocidade da partícula no instante $t=3$ segundos.


1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.

2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.


1540   

Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.


$f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.


1544   

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.


$y=x$