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Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\sin\left( \arccos\left( x\right) \right) .$
Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\arcsin\left( \cos\left( x\right) \right) .$
-\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos ^2(x)}}
Calcule a derivada da seguinte função:
$f\left( x\right) =\tan\left( x\right) \arcsin\left( x^{2}\right).$
Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$ cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?
Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $x^2+(y-c)^2=c^2$ e da família $(x-k)^2+y^2=k^2$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de círculos) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)
Determine o domínio de definição das funções trigonométricas inversas a seguir e expresse suas derivadas em termos de funções polinomiais:
- $g\left( x\right) =\mathrm{\arccos }\left( x\right) $;
- $g\left( x\right) =\mathrm{arcsec}\left( x\right) $;
- $g\left( x\right) =\mathrm{arccot}\left( x\right) $.
Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $xy=c$ e da família $x^2-y^2=k$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de hipérboles) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)