Comprimento de arco

Uma circunferência de raio $R$ centrada na origem pode ser vista como a união dos gráficos das funções $f\left(t\right)  =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ e  $g\left(  t\right)  =-\sqrt{R^{2}-t^{2}}$, com $t\in\left[  -R,R\right]  $ Por simetria, estes dois arcos têm o mesmo comprimento, digamos $L$, e o perímetro $p$ é dado por $p=2L$.
  Considerando $f\left(  t\right)  =\sqrt{R^{2}-t^{2}}$ temos
  que:
  \[
  f^{\prime}\left(  t\right)  =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}\text{.}%
  \]
  Usando a fórmula acima temos que:
  \begin{align*}
  L  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(  t\right)  \right)  ^{2}%
  }dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\frac{t^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{\left(  R^{2}-t^{2}\right)  +t^{2}}{R^{2}-t^{2}}%
  }dt\\
  & =\int_{-R}^{R}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt
  \end{align*}

  Fazendo a mudança de variável $t=R\sin\theta$, com  $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$, temos que:
  \begin{align*}
  \sqrt{R^{2}-t^{2}}  & =\sqrt{R^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}\\
  & =R\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\\
  & =R\cos\theta,\\
  dt  & =R\cos\theta d\theta
  \end{align*}

  Obtemos assim que:
  \begin{align*}
  L  & =R\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{R^{2}-t^{2}}}dt\\
  & =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R\cos\theta}{R\cos\theta}d\theta\\
  & =R\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\\
  & \left.  R\theta\right\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}\\
  & =\pi R
  \end{align*}
  e concluimos que:
  \[
  p=2L=2\pi R
  \]