Área entre curvas
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A figura mostra as curvas aceleração versus tempo para dois carros movendo-se em uma pista reta, começando alinhados e acelerando a partir do repouso. O que representa a área $A$ entre as curvas no intervalo $0 \leq t \leq T$? Justifique.
Para uma aceleração $a(t)$ qualquer, $\int_0^Ta(t)\,dt$ representa a velocidade adquirida desde o instante $t=0$, ou seja, $v(T)= v_0+\int_0^Ta(t)\,dt$. Sendo assim, a área entre as curvas representa $v_1(T)-v_2(T)$, a diferença de velocidade entre os carros no instante $t=T$.
Seja $\mathcal{A}$ o subconjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\sin x$ e $y=\cos x$. Faça um esboço do conjunto $\mathcal{A}$ e calcule sua área.
Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.
Sabemos que, no intervalo $[0,1]$, $g(x)=\sin(\pi x)>0$. Uma análise das raízes de $f(x)=x^3-x$ nos mostra que no intervalo referido, $f(x)<0$. Assim,como não há mudança de sinal de $f(x)-g(x)$, o cálculo da área entre as curvas se resumo ao cálculo da integral definida
$\int_0^1 \left(g(x)-f(x)\right)\,dx= \left.\left(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}-\frac{\cos (\pi x)}{\pi }\right) \right\vert_0^1=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi }$
Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo $y$, abaixo pela curva $x=2\sqrt{y}$, acima à esquerda pela curva $x=\left(y-1\right)^2$ e acima à direita pela reta $x=3-y$.
Primeiramente, devemos escrever as curvas na forma $y=f(x)$, tomando cuidado com o sinal. Após este procedimento, uma análise da figura nos permite resumir o cálculo da área $A$ como $A=A_1+A_2$, sendo que:
$A_1=\int_0^1\left (1+\sqrt{x}-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$
$A_2=\int_1^2\left (3-x-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$
Assim, temos
$A_1=\left.\left(x + \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3/12\right)\right\vert_0^1=\frac{19}{12}$
$A_2=\left.\left(-\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+3 x\right)\right\vert_1^2=\frac{11}{12}$
O que nos leva a $A=\frac{5}{2}=2.5$
Encontre a área limitada pela elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\text{.}$
Ache uma reta vertical $x=k$ que divida a área entre as curvas $y=x^2$ e $y=9$ em duas partes iguais.
$x=k=0$
Calcule a área do conjunto $A$ dos pontos $\left( x,y\right)$ tais que $x^{2}-1\leq y\leq x+1.$
Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.
Um retângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados tem um vértice na origem e o vértice diagonalmente oposto está sobre a curva $y=kx^m$ no ponto onde $x=b$ ($b>0$, $k>0$, $m \geq 0$). Mostre que o quociente entre a área do retângulo compreendida entre a curva e o eixo $x$ depende de $m$, mas não depende de $k$ ou $b$.
Qual das integrais a seguir, se houver alguma, serve para calcular a área da região sombreada mostrada aqui? Justifique sua resposta.
$\int_{-1}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx} = \int_{-1}^{1} {2x\ dx}$- $\int_{-1}^{1} {\left(-x-x\right)dx} = \int_{-1}^{1} {-2x\ dx}$
Uma análise do resultado de ambas as integrais nos mostra, de imediato, que nenhuma delas é a adequada para o cálculo da área da figura. A segunda integral nada mais é do que a primeira integral com o sinal invertido, e portanto ambas são iguais a zero.
A questão é que no caso, se denotarmos $f_1(x)=x$ e $f_2(x)=-x$, é fácil observar que para $x>0$ $f_1(x)>f_2(x)$, e para $x<0$ $f_2(x)>f_1(x)$. Portanto, o cálculo correto da área se daria através de duas integrais, na forma
$A=\int_{-1}^{0} {\left(-x-x\right)dx}+\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}$
Ou ainda, fazendo uso da simetria, poderia também se fazer:
$A=2\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}=4\int_{0}^{1} {x\,dx}=2$
Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva $y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.$
Encontre a área da região limitada pela elipse $x^2+\frac{y^2}{4}=1.$
Primeiramente, escreve-se a equação da elipse na forma $y=\pm f(x)$:
$y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$
Observação: Nesta forma, é possível ver mais facilmente que a elipse não apresenta nenhum ponto com $\left\vert x\right\vert >1$.
Se denotarmos $f_1(x)= 2\sqrt{1-x^2}$ e $f_2(x)=- 2\sqrt{1-x^2} $, a área da região limitada pela elipse é portanto
$\int_{-1}^{1}f_1(x)-f_2(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}f_1(x)\,dx=2 \left(\sqrt{1-x^2} x+\sin ^{-1}(x)\right)=2\pi$