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| MA211 - Cálculo II | Integrais triplas

Integrais triplas

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2428   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}z\,dV$, onde $E$ é limitado pelo cilindro $y^{2}+z^{2}=9$ e pelos planos $x=0$, $y=3x$ e $z=0$ no primeiro octante.

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}xyz\;dx dy dz$, onde $E$ é o paralelepípedo $0\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$, e $1\leq z\leq 2.$

  1.  $\dfrac{27}{8}.$

  2.  $\dfrac{3}{2}.$

2498   

Esboce a região limitada pelos gráficos das equações e use uma integral tripla para calcular seu volume.

  1.  $z+x^{2}=4$, $y+z=4$, $y=0$ e $z=0.$

  2.  $y=2-z^{2}$, $y=z^{2}$, $x+z=4$ e $x=0.$

  3.  $y^{2}+z^{2}=1$, $x+y+z=2$ e $x=0.$

  1.  $\dfrac{128}{5}.$

  2.  $\dfrac{32}{3}.$

  3.  $2\pi.$

2497   

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

  1.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{2-2z}\;dy dz dx$

  2.  $\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}}\;dx dz dy$

  3.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-z}}^{\sqrt{4-z}}\int_{2}^{3}\;dx dy dz$

  4.  $\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2x}\int_{0}^{x+y}\;dz dy dx$

  1. (... fig)

  2. (... fig.)

  3.  $\displaystyle \left\lbrace (x,y,z); 2 \leq x \leq 3,  \sqrt{1 - z} \leq y \leq \sqrt{4 - z} , 0 \leq z \leq 1\right\rbrace.$

  4.  $\displaystyle \left\lbrace (x,y,z); 0 \leq x \leq 2,  x^{2} \leq y \leq 2x , 0 \leq z \leq x + y\right\rbrace.$

2434   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}e^{x^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq x$ e $0\leq z \leq 1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}\leq y\leq x$, $0\leq z\leq x+y.$

  1.  $\dfrac{e - 1}{2}.$

  2.  $\dfrac{11}{120}.$

3049   

 Calcule a integral tripla $\int\int\int\limits_{T}x^{2}dV$, 

onde $T$ é o tetraedro sólido com vértices $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1).$


Para resolvermos a integral tripla, vamos desenhar dois diagramas: um da região sólida $T$ (Figura 1) e o outro a sua projeção $D$ no plano $xy$ (Figura 2). 

ma211lista8q1res.png

A fronteira inferior do tetraedro $T$ é o plano $z=0$ e a superior é o plano $x+y+z=1$ (ou $z=1-x-y$). 

Notemos que os planos $x+y+z=1$ e $z=0$ se interceptam na reta $x+y=1$ (ou $y=1-x$) no plano $xy.$ 

Logo a projeção de $T$ é a região triangular da Figura 2 e temos 

$$T=\{(x,y,z)|\,0\leq x \leq 1,\, 0\leq y \leq 1-x,\, 0\leq z \leq 1-x-y\}.$$

Assim, 

$$\int\int\int\limits_{T}x^{2}\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-z}x^{2}\,dz\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}z\bigg|_{0}^{1-x-y}\,dy\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}(1-x-y)\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x^{2}-x^{3}-x^{2}y)\,dy\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}y-x^{3}y-x^{2}\frac{y^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1-x}\,dx=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}(1-x)-x^{3}(1-x)-\frac{x^{2}}{2}(1-x)^{2}\bigg)dx$$

$$=\int_{0}^{1}\bigg(\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{x^{4}}{2}\bigg)\,dx =\bigg[\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}\bigg]\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{60}.$$

2436   

Calcule a integral tripla.

  1. $\displaystyle\iiint\limits_{  E}\cos{z} \; dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$, $0\leq y \leq \dfrac{\pi}{2}$ e $x-y\leq z \leq x+y.$

  2. $\displaystyle\iiint\limits_{  E}(y-x)\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $4\leq x+y\leq 8$, $\dfrac{1}{x}\leq y\leq \dfrac{2}{x}$,  $y> x$ e $0\leq z \leq \dfrac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt{x+y}}.$

  1.  $2.$

  2.  $3 - 6\sqrt[3]{2} - 2\sqrt{2} + 6 \sqrt[6]{2^5}.$

3051   

A figura mostra a região da integral

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}}\int_{0}^{1-x}f(x,y,z)\;dy dz dx.$$

Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.

ma211lista8q16.png

$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dx dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - z}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dy dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - y}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dz dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - \sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dz dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1 - z)^2}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dx dz.$

2496   

Para qual valor de $c$ o volume do elipsóide $x^{2}+(y/2)^{2}+(z/c)^{2}=1$ é igual a $8\pi$?

$3.$

3055   

 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.

$\displaystyle \int_0^4 \int_0^{2\pi}\int_r^4 r \, dz d\theta dr$

ma211lista8q32ares.png

2455   

Encontre a constante $a$ tal que $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{4-a-x^{2}}\int_{a}^{4-x^{2}-y}\;dz dy dx=\frac{4}{15}.$$

$\dfrac{13}{3}$ ou $3.$

3053   

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{2-2z}\;dy dz dx$

ma211lista8q12ares.png

2533   

Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do sólido retangular no  primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos $x=1$, $y=2$ e $z=3$. Calcule uma das integrais.

$$\begin{split} 6 &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} dz dy dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dz dx dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} dx dy dz\\ &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} dx dz dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} dy dx dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{0}^{2} dy dx dx. \end{split} $$

2422   

Calcule a integral iterada.

  1.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{z}\!\!\int_{0}^{x+z}6xz\;dy dx dz$

  2.  $\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}ze^{y}\;dx dz dy$

  3.  $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x}\cos(x+y+z)\;dz dx dy$

  1.  $1.$

  2.  $\displaystyle \frac{e^3 - 1}{3}.$

  3.  $-\dfrac{1}{3}.$

2538   

Determine o sólido $E$ para o qual a integral $$ \iiint\limits_{  E}(1-x^{2}-2y^{2}-3z^{2})\,dV$$ é máxima.

$E = \left\{ (x,y,z);  x^2 + 2y^2 + 3z^2 \leq 1 \right\}.$

2420   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado por $x^{2}+y^{2}\leq z\leq \sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}.$


Primeiramente, vamos determinar a projeção no plano $xy$ da interseção de \begin{eqnarray*} z&=&\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\\ z&=&x^{2}+y^{2}. \end{eqnarray*} Da primeira equação temos que \begin{eqnarray*} \label{1}z=\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\Leftrightarrow z^{2}=4-3x^{2}-3y^{2}\Leftrightarrow z^{2}=4-3(x^{2}+y^{2}). \end{eqnarray*} Substituindo a segunda equação  na primeira, obtemos que $$z^{2}=4-z\Leftrightarrow z^{2}+3z-4=0\Leftrightarrow (z-1)(z-4)=0.$$ Logo, $z=-4$ e $z=1.$ Notemos que $z=-4$ não satisfaz as duas primeiras equações acima, então a projeção $D$ no plano $xy$ é o círculo de raio 1, isto é, $D=\{(x,y)\in \mathbb{R};\;\, x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$ Assim, o volume, $V$, do sólido é: $$V=\iint\limits_{D}\bigg[\int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}}1\, dz\bigg]\,dA = \iint\limits_{ D}\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\,dA.$$ Passando para coordenadas polares temos que \begin{eqnarray*}  x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta\\ dA=r\,dr\,d\theta\\ 0\leq r\leq 1\\ 0\leq \theta \leq 2\pi.\\ \end{eqnarray*} Então, $$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(\sqrt{4-3r^{2}}-r^{2})r\,dr\,d \theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r\sqrt{4-3r^{2}}-r^{3})\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\,d\theta\cdot \bigg[\bigg(\underbrace{\int_{0}^{1}r\sqrt{4-3r^{2}}\,dr}_{\substack{ u=4-3r^{2}\\ du=-6r\,dr}}\bigg)-\bigg(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\bigg)\bigg]$$ $$=\theta\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot \bigg[\bigg(\int_{4}^{1}r\cdot u^{1/2}\frac{du}{-6r}\bigg)-\bigg(\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}\bigg)\bigg]$$ $$=2\pi\cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\int_{4}^{1}u^{1/2}\,du\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\bigg|_{4}^{1}\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]$$ $$=2\pi \cdot \bigg[-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot 8-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \frac{19}{36}=\frac{19\pi}{18}.$$

2427   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E} x^2 e^y\,dV$, onde $E$ é delimitado pelo cilindro parabólico $z=1-y^{2}$ e pelos planos $z=0$, $x=1$ e $x=-1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}x\,dV$, onde $E$ é limitado pelo paraboloide $x=4y^{2}+4z^{2}$ e  pelo plano $x=4.$

  1.  $\dfrac{8}{3e}.$

  2.  $\dfrac{16\pi}{3}.$

2429   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq 1$ e \\ $x+y\leq z \leq x+y+1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}\sqrt{1-z^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $0 \leq x \leq 1$, $0\leq z\leq 1$ e $0\leq y \leq z.$

  1.  $\dfrac{1}{2}.$

  2.  $\dfrac{1}{3}.$

2435   

Calcule a integral tripla.

  1. $\displaystyle\iiint\limits_{  E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$

  2. $\displaystyle\iiint\limits_{  E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $4x^{2}+9y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$

  1.  $8\pi.$

  2.  $0.$

3054   

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

$\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}}\;dx dz dy$


ma211lista8q12bres.png

2430   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}\sqrt{1-z^{2}}\;dx dy dz$, onde $E$ é o cubo $0\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 1$ e $0\leq z\leq 1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 2x.$

  1.  $\dfrac{\pi}{4}.$

  2.  $\dfrac{\pi}{2}.$

2421   

Calcule a integral tripla $\displaystyle\iiint\limits_{B}xyz^{2}\,dV$, onde $B$ é a caixa retangular dada por $B=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\;0\leq x\leq 1,\;-1\leq y\leq 2,\;0\leq z\leq 3\}$, integrando primeiro em relação a $y$, depois a $z$ e então a $x$.

$\dfrac{27}{4}.$

2433   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}2z\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq 1$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $z\geq 0.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}-y^{2}\leq z \leq 1-2y^{2}.$

  1.  $\dfrac{7\pi}{2}.$

  2.  $0.$

3052   

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades $0 \leq r \leq 2$, $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$ e $0 \leq z \leq 1$.

ma211lista8q29res.png

2536   

Calcule a massa do sólido $x+y+z\leq 1$, $x\geq 0$, $y\geq 0$ e $z\geq 0$, sendo a densidade dada por $\rho(x,y,z)=x+y.$

$\dfrac{1}{12}.$

2539   

Encontre o centróide e os momentos de inércia $I_{x}$, $I_{y}$ e $I_{z}$ do tetraedro cujos vértices são os pontos $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1).$

Centróide: $\displaystyle \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4} \right),$ $I_{x} = I_{y} = I_{z} = \dfrac{1}{30}.$

2483   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

  1.  $x^{2}+y^{2}\leq 1$ e $x^{2}+z^{2}\leq 1.$

  2.  $(x-a)^{2}+y^{2}\leq a^{2}$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4a^{2}$, $z\geq 0$ $(a>0).$

  3.  $x^{2}+y^{2}\leq a^{2}$ e $x^{2}+z^{2}\leq a^{2}$ $(a>0).$

  4.  $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}$ e $z\geq \dfrac{a}{2}$ $(a>0).$

  1.  $\dfrac{16}{3}.$

  2.  $\dfrac{16a^3}{3} \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3}\right).$

  3.  $\dfrac{16a^3}{3}.$

  4.  $\dfrac{5\pi a^3}{24}.$

2537   

Suponha que o sólido tenha densidade constante $k$. Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado $L$ se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados.

$\displaystyle I_{x} = I_{y} = I_{z} = \dfrac{2kL^5}{3}.$

2481   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

  1.  $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq 1$ e $0\leq z \leq 5-x^{2}-3y^{2}.$

  2.  $0\leq x \leq 1$, $0\leq y \leq x^{2}$ e $0\leq z \leq x+y^{2}.$

  3. $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 4.$

  4.  $x^{2}+4y^{2}\leq z \leq 1.$

  1.  $\dfrac{11}{3}.$

  2. $\dfrac{25}{84}.$

  3. $8\pi.$

  4.  $\dfrac{\pi}{4}.$

2432   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}y\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+4y^{2}\leq 1$ e $0\leq z \leq 1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}x\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq 4$, $x\geq 0$ e \\ $x+y\leq z \leq x+y+1.$

  1.  $0.$

  2.  $\dfrac{16}{3}.$

2534   

Determine a massa e o centro de massa do cubo dado por $0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$ e com função densidade:

  1.  $\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

  2.  $\rho(x,y,z)=x+y+z.$

  1.  Massa: $a^5;$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{7a}{12},\frac{7a}{12},\frac{7a}{12} \right).$

  2.  Massa: $\dfrac{3a^4}{2};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{5a}{9},\frac{5a}{9},\frac{5a}{9} \right).$

3056   

 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\!\!\int_0^{9 - r^2} r dz dr d\theta$

ma211lista8q32bres.png

2482   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

  1.  $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9.$

  2.  $x^{2}+4y^{2}+9z^{2}\leq 1.$

  3.  $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$,  $(a>0,\;b>0\;e\;c>0).$

  4.  $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 4x+2y.$

  1.  $\left(36 - \dfrac{20\sqrt{5}}{3} \right)\pi.$

  2.  $\dfrac{2\pi}{9}.$

  3.  $\dfrac{4\pi abc}{3}.$

  4.  $\dfrac{25\pi}{4}$

3050   

A figura mostra a região de integração da integral

$$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx.$$

Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.

ma211lista8q15.png

$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dx dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - z}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dy dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - y}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dz dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - \sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dz dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1 - z)^2}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dx dz.$

2454   

Calcule as integrais mudando a ordem de integração de maneira apropriada.

  1.  $\displaystyle\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\dfrac{4\;\cos(x^{2})}{2\sqrt{z}}\;dx dy dz$

  2.    $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}12xze^{zy^{2}}\;dy dx dz$

  3.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{\sqrt[3]{z}}^{1}\int_{0}^{\ln 3}\dfrac{\pi e^{2x}\;\sin(\pi y^{2})}{y^{2}}\;dx dy dz$

  1.  $2 \sin(4).$

  2.  $3e - 6.$

  3.  $4.$

2535   

Ache o centro de massa de $E$, em que:

  1.  A densidade de um ponto $P$ de um sólido cúbico $E$ de aresta $a$ é diretamente proporcional ao quadrado da distância de $P$ a um vértice fixo do cubo.

  2.  $E$ é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano  $2x+5y+z=10$ e a densidade em $P(x,y,z)$ é diretamente proporcional $\grave{a}$ distância do plano $xz$ a $P.$

  1.  $\displaystyle \left( \dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12} \right).$

  2.  $\displaystyle \left( 1,\dfrac{4}{5},2 \right).$

2484   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

  1.  $x^{2}\leq z \leq 1-y$ e $y\geq 0.$

  2.  $x^{2}+2y^{2}\leq z\leq 2a^{2}-x^{2}$ $(a>0).$

  3.  $x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1$ e $z\geq x^{2}+y^{2}.$

  4.  $4x^{2}+9y^{2}+z^{2}\leq 4$ e $4x^{2}+9y^{2}\leq 1.$

  1.  $\dfrac{4}{15}.$

  2.  $\pi a^4.$

  3.  $\dfrac{71\pi}{54}.$

  4.  $\dfrac{7\pi}{12}.$

2426   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}2x\,dV$, onde $E=\{(x,y,z)|\;0\leq y\leq 2,\,0\leq x\leq \sqrt{4-y^{2}},\;\\ 0\leq z\leq y\}.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}6xy\,dV$, onde $E$ está abaixo do plano $z=1+x+y$ e acima da região do plano $xy$ limitada pelas curvas $y=\sqrt{x}$, $y=0$ e $x=1.$

  1.  $4.$

  2.  $\dfrac{65}{28}.$

2485   

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

  1.  O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano $2x+y+z=4.$

  2.  O sólido limitado pelo paraboloide $x=y^{2}+z^{2}$ e pelo plano $x=16.$

  3.  O sólido delimitado pelo cilindro $x=y^{2}$ e pelos planos $z=0$ e $x+z=1$.

  1.  $\dfrac{16}{3}.$

  2.  $128\pi.$

  3.  $\dfrac{8}{15}.$

2431   

Calcule a integral tripla.

  1.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}(x^{2}+z^{2})\;dx dy dz$, onde $E$ é o cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 1$ e $0\leq z \leq 1.$

  2.  $\displaystyle\iiint\limits_{  E}\;dx dy dz$, onde $E$ é o conjunto $x^{2}+y^{2}\leq z \leq 2x+2y-1.$

  1.  $\dfrac{7\pi}{12}.$

  2.  $\dfrac{\pi}{2}.$

2540   

Um cubo sólido de $2$ unidades de lado é limitado pelos planos $x=\pm 1$, $z=\pm 1$, $y=3$ e $y=5.$ Encontre o centro de massa e os momentos de inércia desse cubo.

Centro de massa: $\displaystyle \left(0,4,0 \right),$ $I_{x} = \dfrac{400}{3},$ $I_{y} = \dfrac{16}{3},$ $I_{z} = \dfrac{400}{3}.$

3115   

Seja \(G\) a caixa retangular definida pelas desigualdades \(a\leq x\leq b\),  \(c\leq y\leq d\) e \(k\leq z\leq l\). Mostre que \[\iiint\limits_G f(x)g(y)h(z)\,dV = \left[\int_a^bf(x)\,dx\right]\left[\int_c^dg(y)\,dy\right]\left[\int_k^lh(z)\,dz\right].\]