Integrais de superfície
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Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}z dS$, onde $S$ é a superfície $x=y+2z^{2}$, $0 \leq y\leq 1$, $0 \leq z \leq 1.$
$\dfrac{13\sqrt{2}}{12}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}x dS$, onde $S$ é a superfície com equações paramétricas $x=u$, $y=v$, $z=u^{2}+v$, $0 \leq u \leq 1$, $u^{2} \leq v \leq 1.$
$\dfrac{\sqrt{2}}{10}(3\sqrt{3} - 2).$
Calcule $\displaystyle\iint\limits_{S}g(x,y,z)dS,$ sendo $g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ e $S$ a parte do plano $z=y+4$ interior ao cilindro $x^{2}+y^{2}=4.$
$76\pi \sqrt{2}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=xy{\bf i}+yz{\bf j}+zx{\bf k}$ e $S$ é a parte do parabolóide $z=4-x^{2}-y^{2}$ que está acima do quadrado $0\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 1$, com orientação para cima.
$\dfrac{713}{180}.$
Encontre o fluxo exterior do campo ${\bf F}=2xy{\bf i}+2yz{\bf j}+2xz{\bf k}$ ao longo da superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos $x=a$, $y=a$ e $z=a.$
$3\pi a^4.$
Ache $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot {\bf n} dS$ se ${\bf n}$ é uma normal unitária superior de $S.$
${\bf F}=2{\bf i}+5{\bf j}+3{\bf k}$; $S$ é a parte do cone $z=(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ interior ao cilindro $x^{2}+y^{2}=1.$
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}$, $z\geq 0$, se o campo elétrico for ${\bf E}(x,y,z)=x{\bf i}+y{\bf j}+2z{\bf k}$.
$\dfrac{8\pi a^3 \epsilon_{0}}{3}$.
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}y dS$, onde $S$ é a superfície com equações paramétricas $x=u$, $y=v$, $z=1-u^{2}$, $0\leq u\leq 1$, $0\leq v\leq \sqrt{u}.$
Encontre o fluxo exterior do campo ${\bf F}(x,y,z)=z^{2}{\bf i}+x{\bf j}-3z{\bf k}$ através da superfície cortada do cilindro parabólico $z=4-y^{2}$ pelos planos $x=0$, $x=1$ e $z=0.$
$-32.$
Dados um hemisfério $H$ e uma parte $P$ de um paraboloide, suponha que ${\bf F}$ seja um campo vetorial sobre $\mathbb{R}^3$ cujas componentes tenham derivadas parciais contínuas. Explique por que
$$\displaystyle\iint\limits_{H}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf S} = \iint\limits_{P}\mbox{rot}{\bf F}\cdot{\bf S}.$$
Note que $H$ e $P$ satisfazem as hipóteses do Teorema de Stokes. Logo,
$$\displaystyle \iint \limits_{H} \mbox{rot } {\bf F} \cdot {\bf S} = \int \limits_{C} {\bf F} \cdot d{\bf r} = \iint \limits_{P} \mbox{rot }{\bf F}\cdot{\bf S},$$
onde $C$ é a curva de fronteira.
Ache $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot {\bf n} dS$ se ${\bf n}$ é uma normal unitária superior de $S.$
- ${\bf F}=x{\bf i}-y{\bf j}$; $S$ é a parte no primeiro octante da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.$
$0.$
A temperatura em um ponto $(x,y,z)$ em uma substância com condutividade $K=6,5$ é $u(x,y,z)=2y^{2}+2z^{2}.$ Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica $y^{2}+z^{2}=6$, $0\leq x\leq 4.$
O fluxo de calor, com $u(x,y,z)=2y^{2}+2z^{2}$, é dado por
$${\bf F}(x,y,z)=-K \nabla u=-6,5(0{\bf i}+4y{\bf j}+4z{\bf k})=0{\bf i}-26y{\bf j}-26z{\bf k}.$$
Temos que $S$ é a superfície cilíndrica $y^{2}+z^{2}=6$ e $0\leq x \leq 4.$ As equações paramétricas de $S$ são:
$$x=x, y=\sqrt{6}\cos \theta \mbox{e} z=\sqrt{6}\sin \theta$$
onde $0\leq x \leq 4$ e $0\leq \theta \leq 2\pi.$
Então,
$${\bf r}(x,\theta)=x{\bf i}+\sqrt{6}\cos \theta{\bf j}+\sqrt{6}\sin \theta{\bf k}.$$
Como queremos o fluxo de calor para dentro de $S$ devemos calcular
$$\int \int\limits_{S}{\bf F}\cdot dS=\int \int\limits_{ D}{\bf F}({\bf r}(x,\theta))\cdot ({\bf r}_{x}\times {\bf r}_{\theta})dA.$$
Então,
$${\bf r}_{x}(x,\theta)={\bf i}+0{\bf j}+0{\bf k}$$
e
$${\bf r}_{\theta}(x,\theta)=0{\bf i}-\sqrt{6}\sin \theta{\bf j}-\sqrt{6}\cos \theta{\bf k}.$$
Logo,
$\begin{array}{rcl} {\bf r}_{x} \times {\bf r}_{\theta} &=& \left| \begin{array}{ccc}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\\1 & 0 & 0\\0 & -\sqrt{6}\sin \theta & -\sqrt{6}\cos \theta \\ \end{array} \right| \\ &=& 0{\bf i}-\sqrt{6}\cos \theta{\bf j}-\sqrt{6}\sin \theta{\bf k}, \end{array}$
$${\bf F}({\bf r}(x,\theta))=(0{\bf i}-26\sqrt{6}\cos\theta{\bf j}-26\sqrt{6}\sin \theta{\bf k})$$
e
$${\bf F}({\bf r}(x,\theta))\cdot ({\bf r}_{x}\times {\bf r}_{\theta})=(0{\bf i}-26\sqrt{6}\cos\theta{\bf j}-26\sqrt{6}\sin \theta{\bf k}) \cdot (0{\bf i}-\sqrt{6}\cos \theta{\bf j}-\sqrt{6}\sin \theta{\bf k})=156$$
Assim, a taxa de fluxo de calor para dentro de $S$ é:
$$\int \int\limits_{S}{\bf F}\cdot dS=\int \int\limits_{ D}{\bf F}({\bf r}(x,\theta))\cdot ({\bf r}_{x}\times {\bf r}_{\theta})dA=\int \int\limits_{ D}156 dA=156\int \int\limits_{ D} 1 dA$$
$$=156\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}1dxd\theta=156\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot \int_{0}^{4}dx=156\cdot (\theta)\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot (x)\bigg|_{0}^{4}=156\cdot 2\pi \cdot 4=1248 \pi.$$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=(x+y){\bf i}+z{\bf j}+xz{\bf k}$ e $S$ é a superfície do cubo de vértices $(\pm 1,\pm 1, \pm 1).$
$8.$
A água do mar tem densidade $1025 kg/m^{3}$ e escoa em um campo de velocidade ${\bf v}=y{\bf i}+x{\bf j}$, onde $x$, $y$ e $z$ são medidos em metros e as componentes de ${\bf v}$ em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$, $z\geq 0.$
Encontre o fluxo do campo ${\bf F}$ ao longo da porção da superfície dada no sentido especificado.
- ${\bf F}(x,y,z)=yx^{2}{\bf i}-2{\bf j}+xz{\bf k}$; $S$ é a superfície retangular $y=0$, $-1\leq x \leq 2$, $2\leq z \leq 7$, sentido $-{\bf j}.$
$30.$
Integre $g(x,y,z)=x+y+z$ sobre a superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos $x=a$, $y=a$ e $z=a.$
$9a^3.$
Ache $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot {\bf n} dS$ se ${\bf n}$ é uma normal unitária superior de $S.$
- ${\bf F}=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}$; $S$ é o hemisfério superior de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.$
$2\pi a^3.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}x^{2}yz dS$, onde $S$ é a parte do plano $z=1+2x+3y$ que está acima do retângulo $[0,3]\times [0,2].$
$171\sqrt{14}.$
Calcule $\displaystyle\iint\limits_{S}g(x,y,z)dS,$ onde $g(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}$ e $S$ é a porção do parabolóide $2z=x^{2}+y^{2}$ interior ao cilindro $x^{2}+y^{2}=2y.$
$\dfrac{5\pi}{2}.$
Encontre o fluxo do campo ${\bf F}$ ao longo da porção da superfície dada no sentido especificado.
- ${\bf F}(x,y,z)=-{\bf i}+2{\bf j}+3{\bf k}$; $S$ é a superfície retangular $z=0$, $0\leq x\leq 2$, $0\leq y \leq 3$, sentido ${\bf k}.$
$18.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=x^{2}{\bf i}+y^{2}{\bf j}+z^{2}{\bf k}$ e $S$ é a fronteira do semicilindro sólido $0 \leq z \leq \sqrt{1-y^{2}}$, $0 \leq x \leq 2.$
$2\pi + \dfrac{8}{3}.$
Calcule $\displaystyle\iint\limits_{S}g(x,y,z)dS,$ onde $g(x,y,z)=x+y$ e $S$ é parte do primeiro octante do plano $2x+3y+z=6.$
$5\sqrt{14}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=(x^{2}+z){\bf i}+y^{2}z{\bf j}+(x^{2}+y^{2}+z){\bf k}$ e $S$ é a parte no primeiro octante do parabolóide $z=x^{2}+y^{2}$ intersectada pelo plano $z=4.$
$4\pi - \dfrac{320}{7}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}y^{2}dS$, onde $S$ é a parte da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ que está dentro
do cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ e acima do plano $xy.$
$\pi\left( \dfrac{32}{3} - 6\sqrt{3}\right).$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}y dS$, onde $S$ é a parte do parabolóide $y=x^{2}+z^{2}$ que está dentro do cilindro $x^{2}+z^{2}=4.$
$\dfrac{\pi(391\sqrt{17}+1)}{60}.$
Determine uma fórmula para $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ semelhante à fórmula
$\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot d{\bf S}=\displaystyle\iint\limits_{D}\left(-P\dfrac{\partial f}{\partial x}-Q\dfrac{\partial f}{\partial y}+R\right)dA$ para o caso onde $S$ é dada por $y=h(x,z)$ e ${\bf n}$ é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.
$\displaystyle \iint\limits_{S}{\bf F}\cdot d{\bf S}=\iint\limits_{D}\left(P -Q\dfrac{\partial k}{\partial y}-R\frac{\partial k}{\partial z} \right)dA.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}dS$, onde $S$ é o helicóide com equação vetorial ${\bf r}(u,v)=u\cos v{\bf i}+u\sin v{\bf j}+v{\bf k}$, $0 \leq u \leq 1$, $0 \leq v \leq \pi.$
$\dfrac{4\pi}{3}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=y{\bf j}-z{\bf k}$ e $S$ é formada pelo parabolóide $y=x^{2}+z^{2}$, $0 \leq y \leq 1$ e pelo círculo $x^{2}+z^{2} \leq 1$, $y=1.$
$0.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=xze^{y}{\bf i}-xze^{y}{\bf j}+z{\bf k}$ e $S$ é a parte do plano $x+y+z=1$ no primeiro octante, com orientação para baixo.
$-\dfrac{1}{6}.$
Integre $g(x,y,z)=xyz$ sobre a superfície do sólido retangular cortado do primeiro octante pelos planos $x=a$, $y=b$ e $z=c.$
$\dfrac{abc(ab+ac+bc)}{4}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}\dfrac{z}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}dS$, onde $S$ é a parte do parabolóide
$z=1-x^{2}-y^{2}$ que se encontra dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 2y.$
Parametrizando a superfície $S$, temos as equações paramétricas:
$x=u, y=v \, \mbox{e} \, z=1-u^{2}-v^{2}.$
Então,
${\bf r}(u,v)=u{\bf i}+v{\bf j}+(1-u^{2}-v^{2}){\bf k}.$
Logo,
$f({\bf r}(u,v))=\dfrac{1-u^{2}-v^{2}}{\sqrt{1-4u^{2}-4v^{2}}},$ ${\bf r}_{u}={\bf i}+0{\bf j}-2u{\bf k}$ e ${\bf r}_{v}=0{\bf i}+{\bf j}-2v{\bf k}.$
Temos que
${\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}=\left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\\ 1 & 0 & -2u\\ 0 & 1 & -2v \end{array} \right| = 2u{\bf i}+2v{\bf j}+{\bf k}$,
implicando que $|{\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}|=\sqrt{(2u)^{2}+(2v)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4u^{2}+4v^{2}}.$ Assim,
$\displaystyle\iint\limits_{S}\dfrac{z}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\displaystyle\iint\limits_{D} f({\bf r}(u.v))|{\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}| du dv$ $=\displaystyle\iint\limits_{D} \frac{1-u^{2}-v^{2}}{\sqrt{1-4u^{2}-4v^{2}}} \sqrt{1+4u^{2}+4v^{2}} du dv=\displaystyle\iint\limits_{D}(1-u^{2}-v^{2})du dv$.
Notemos que
$D=\{(u,v)| u^{2}+v^{2}\leq 2v\}=\{(u,v)|u^{2}+(v-1)^{2}\leq 1\}.$
Em coordenadas polares teremos que
$u=r\cos \theta, v-1=r\sin \theta,$
$du dv=\left| \begin{array}{cc}
\dfrac{\partial u}{\partial r} & \dfrac{\partial u}{\partial \theta}\\
\dfrac{\partial v}{\partial r} & \dfrac{\partial v}{\partial \theta}
\end{array} \right|$, $ dr d\theta=\left| \begin{array}{cc} \cos \theta & -r\sin \theta\\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array} \right| \, e \, du dv=r dr d\theta.$
Como $u^{2}+u^{2}=2u \Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=r\sin \theta \Rightarrow r=2\sin \theta,$ então $0\leq r \leq 2\sin \theta \, \mbox{e} \, 0 \leq \theta \leq \pi.$
Logo
$\displaystyle\iint\limits_{S}\dfrac{z} {\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\sin \theta}(1-r^{2}\cos^{2} \theta-r^{2}\sin^{2}\theta)r dr d\theta$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\sin \theta}(1-r^{2})r dr d\theta=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin \theta}(r-r^{3})dr d\theta$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2\sin^{2}\theta-4\sin^{4}\theta)\bigg|_{0}^{2\sin \theta}d\theta=2\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta d\theta-4\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta$
$=2\cdot\left(\dfrac{\theta}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\theta\right)\bigg|_{0}^{\pi}-4\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\sin^{3}
\theta \cos \theta+\dfrac{3}{8}\theta-\dfrac{3}{16}\sin 2\theta\right)\bigg|_{0}^{\pi}$
$=2\cdot \dfrac{\pi}{2}-4\cdot\left(\dfrac{3}{8}\pi\right)=-\dfrac{\pi}{2}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}xy dS$, onde $S$ é a superfície com equações paramétricas $x=u-v$, $y=u+v$, $z=2u+v+1$, $0 \leq u \leq 1$, $0 \leq v \leq u.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}$, $S$ é a esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.$
$108\pi.$
Considere um escoamento com velocidade ${\bf v}(x,y,z)$ e densidade $\rho(x,y,z)$, tal que ${\bf u}=\rho {\bf v}$ seja dado por ${\bf u}=x{\bf i}+y{\bf j}-2z{\bf k}$. Seja $S$ a superfície $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, $z\geq \sqrt{2}$, e seja ${\bf n}$ a normal com componente $z>0$. Calcule o fluxo de ${\bf u}$ através de $S$. (Observe que, neste caso, o fluxo tem dimensões $MT^{-1}$ (massa por unidade de tempo).)
$-4\pi\sqrt{2}.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}$ e $S$ é a parte no primeiro octante do plano $2x+3y+z=6.$
$18.$
Um fluido tem densidade $870kg/m^{3}$ e escoa com velocidade $v=z{\bf i}+y^{2}{\bf j}+x^{2}{\bf k},$ onde $x$, $y$ e $z$ são medidos em metros e as componentes de $v$ em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=4$, $0\leq z\leq 1.$
$0$ kg/s.
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=x{\bf i}+2y{\bf j}+3z{\bf k}$ e $S$ é o cubo com vértices $(\pm 1, \pm 1,\pm 1).$
$48.$
Seja ${\bf F}$ um campo inverso do quadrado, ou seja, ${\bf F}(r)=cr/|r|^{3}$ para alguma constante $c$, onde $r=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}.$ Mostre que o fluxo de ${\bf F}$ por uma esfera $S$ com centro na origem é independente do raio de $S.$
$\displaystyle \iint\limits_{S}{\bf F}\cdot d \bf S = 4\pi c.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot d{\bf S}$ para o campo vetorial ${\bf F}$ e superfície orientada $S$ dados abaixo. Em outras palavras, determine o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
- ${\bf F}(x,y,z)=x{\bf i}-y{\bf j}+z{\bf k}$ e $S$ é a superfície do sólido delimitado pelos gráficos de $z=x^{2}+y^{2}$ e $z=4.$
$8\pi.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}yz dS$, onde $S$ é a superfície com equações paramétricas $x=u^{2}$, $y=u \sin v$, $z=u\cos v$, $0 \leq u \leq 1$, $0 \leq v \leq \pi/2.$
$\dfrac{5\sqrt{5}}{48} + \dfrac{1}{240}.$
Calcule $\displaystyle\iint\limits_{S}g(x,y,z)dS,$ sendo $g(x,y,z)=x^{2}$ e $S$ o hemisfério superior de $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.$
$\dfrac{2\pi a^4}{3}.$
Ache $\displaystyle\iint \limits_{ S}{\bf F}\cdot {\bf n} dS$ se ${\bf n}$ é uma normal unitária superior de $S.$
${\bf F}=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}$; $S$ é a parte do plano $3x+2y+z=12$ intersectada pelos planos $x=0$,$y=0$, $x=1$ e $y=2.$
$24.$
Seja $S$ a superfície $z=f(x,y)$, $(x,y)\in K$, de classe $C^{1}$ num aberto contendo $K$. (Observação: trata-se da superfície dada por $x=u$, $y=v$ e $z=f(u,v)$). Seja ${\bf n}$ a normal a $S$ com componente $z>0$ e seja ${\bf F}=P{\bf i}+Q{\bf j}+R{\bf k}$ um campo vetorial contínuo na imagem de $S$. Mostre que $\displaystyle\iint\limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}dS=\displaystyle\iint\limits_{K}\left[ -P\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)-Q\dfrac{\partial f}{\partial y}+R\right]dx dy,$ onde $P$, $Q$ e $R$ são calculadas em $(x,y,f(x,y)).$
Veja a subseção "Integrais de superfície de campos vetoriais"' da seção 16.7 do livro do Stewart.
Integre $g(x,y,z)=x+y+z$ sobre a porção do plano $2x+2y+z=2$ que está no primeiro octante.
$2.$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}x^{2}z^{2}dS$, onde $S$ é a parte do cone $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ que está entre os planos $z=1$ e $z=3.$
Temos que $S$ é a porção do cone $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ para $1 \leq z \leq 3$, ou equivalentemente, $S$ é a parte da superfície $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ sobre a região $D=\{(x,y)| 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\}.$ Assim,
$\displaystyle\iint\limits_{S}x^{2}z^{2}dS=\displaystyle\iint\limits_{D}x^{2}(x^{2}+y^{2})\sqrt{\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}
+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}+1}dA$
$=\displaystyle\iint\limits_{D}x^{2}(x^{2}+y^{2})\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+1}dA$
$=\displaystyle\iint\limits_{D}x^{2}(x^{2}+y^{2})\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+1}dA=\iint\limits_{D}\sqrt{2}x^{2}(x^{2}+y^{2})dA$
$=\sqrt{2}\displaystyle\iint\limits_{D}x^{2}(x^{2}+y^{2})dA.$
Por coordenadas polares, temos que $x=r\cos \theta, y=r\sin \theta, 1\leq r\leq 3 , 0\leq \theta \leq 2\pi \,\mbox{e} \, dA=r dr d\theta.$
Logo,
$\displaystyle\iint\limits_{S}x^{2}z^{2}dS=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3}(r^{2}\cos^{2}\theta)(r^{2})r dr d\theta =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta \cdot \int_{1}^{3}r^{5}dr$
$=\sqrt{2}\cdot (\theta)\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot \bigg(\frac{r^{6}}{6}\bigg)\bigg|_{1}^{3}=\sqrt{2}\cdot \pi \cdot \frac{1}{6}\cdot (3^{6}-1)=\frac{364\sqrt{2}}{3}\pi$
Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}yz dS$, onde $S$ é a parte do plano $x+y+z=1$ que está no primeiro octante.
$\dfrac{\sqrt{3}}{24}.$