Regra da cadeia
Selecione os exercícios por
Dificuldade
Categoria
Outros
Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
Para retirar alguma categoria da lista, clique sobre o botão para toná-lo inativo. Para adicioná-la, clique novamente no botão.
Seja $W(s,t)=F(u(s,t),v(s,t))$, onde $F$, $u$ e $v$ são diferenciáveis, e $u(1,0)=2$, $u_{s}(1,0)=-2$, $u_{t}(1,0)=6$, $F_{u}(2,3)=-1$, $v(1,0)=3$, $v_{s}(1,0)=5$, $v_{t}(1,0)=4$, $F_{v}(2,3)=10.$ Determine $W_{s}(1,0)$ e $W_{t}(1,0).$
$W_{s}(1,0) = 52$ e $W_{t}(1,0) = 34.$
O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto aumentam à razão de $0,01cm/min$ e $0,02cm/min$, respectivamente.
- Ache a taxa de variação do volume quando $r=4cm$ e $h=7cm.$
- A que taxa a área da superfície curva está variando nesse instante?
- $0,88\pi$ cm$^{3}/$min.
- $0,3\pi$ cm$^{2}/$min.
A função diferenciável $z=z(x,y)$ é dada implicitamente pela equação $f\bigg(\dfrac{x}{y},z\bigg)=0$, onde
$f(u,v)$ é suposta diferenciável e $\dfrac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0$. Verifique que
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{1}{y} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},z \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},z \right)\right)^{-1}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},z \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},z \right)\right)^{-1}$.
Se $u=f(x,y)$, onde $x=e^{s}\cos{t}$ e $y=e^{s}\sin{t}$, mostre que
$$\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg)^{2}+ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg)^{2}=
e^{-2s}\bigg[ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial s}\bigg)^{2}+\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg)^{2}\bigg].$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} = e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial x} + e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial y} $e
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = -e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial x} + e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial y} .$
Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $y=y(x).$
$y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}=3$
$\displaystyle \frac{d y}{d x} = - \frac{2xy^{2} + 4x^{3}}{4y^{3} + 2x^{2}y}.$
Admita que, para todo $(x,y)$,
$$4y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.$$
Prove que $f$ é constante sobre a elipse $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.$
Note que $\displaystyle \frac{dz}{dt} \left(t \right) = 0,$ para $z = f(x,y),$ $x = t$ e $\displaystyle y = \pm \sqrt{1 - \frac{t^{2}}{4}}.$
Se $z=f(x-y)$, mostre que
$$\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}=0.$$
Note que se $u = x - y,$ então $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du}$e$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{dz}{du}.$
$f(x,y,z)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que, para todo $(x,y)$ no domínio de $g,f(x,y,g(x,y))=0$.
Suponha $g(1,1)=3$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1,3)=2$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1,3)=5$ e $\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,1,3)=10.$
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $g$ no ponto $(1,1,3).$
$\displaystyle z - 3 = -\frac{1}{5}(x - 1) - \frac{1}{2} (y-1).$
Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$
$z=\tan^{-1}(x/y)$, $x=e^{t}$, $y=1-e^{-t}$.
$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{xe^{-t} - ye^{t}}{x^{2} + y^{2}}.$
Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$
$z=\sin{x}\cos{y}$, $x=\pi t$, $y=\sqrt{t}$.
$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \pi \cos(x) \cos(y) - \frac{1}{2\sqrt{t}} \sin(x) \sin(y).$
Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$
$z=x^{2}y+xy^{2}$, $x=2+t^{2}$, $y=1-t^{3}$.
$\displaystyle \frac{dz}{dt} = 4(2xy + y^{2} )^{3} - 3 (x^{2} + 2xy)t^{2}.$
No item abaixo:
- expresse $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ como funções de $u$ e $v$, usando a Regra da Cadeia e também expressando $w$ diretamente em termos e $u$ e $v$ antes de diferenciar;
- calcule $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ no ponto dado $(u,v)$.
$w=\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$, $x=ue^{v}\sin{u}$, $y=ue^{v}\cos{u}$, $z=ue^{v}$; $(u,v)=(-2,0).$
- $\displaystyle w(u,v) = \ln(2) + 2\ln(u) + 2v,$$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(u,v) = \frac{2}{u}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(u,v) = 2.$
- $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(-2,0) = -1$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(-2,0) = 2.$
O comprimento $l$, a largura $w$ e a altura $h$ de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são $l=1m$ e $w=h=2m$. $l$ e $w$ aumentam a uma taxa de $2m/s$, ao passo que $h$ diminui a uma taxa de $3m/s$. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
- O volume.
- A área da superfície.
- O comprimento da diagonal.
- $6$ m$^3$/s.
- $10$ m$^2$/s.
- $0$ m/s.
Expresse $\partial z/\partial t$ em termos das derivadas parciais de $f$, sendo $z=f(x,y)$ e $x=\sin{3t}$ e $y=\cos{2t}.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 3 \cos(3t) \frac{\partial f}{\partial x}(\sin(3t),\cos(2t)) - 2\sin(2t) \frac{\partial f}{\partial y}(\sin(3t),\cos(2t)).$
Seja $z=f(u+2v,u^{2}-v)$. Expresse $\partial z/\partial u$ e $\partial z/\partial v$ em termos das
derivadas parciais de $f$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) + 2u \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v)$ e\\ $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) - \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v).$
Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:
- substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
- aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.
$z=x^{2}+3y^{2}$,$x=\sin{t}$ e $y=\cos{t}.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = -4\sin(t)\cos(t).$
Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$
$w=xe^{y/z}$, $x=t^{2}$, $y=1-t$, $z=1+2t$.
$\displaystyle \frac{dw}{dt} = e^{\frac{y}{z}} \left(2t - \frac{x}{z} - \frac{2xy}{z^{2}} \right).$
Suponha que, para todo $t$, $f(t^{2},2t)=t^{3}-3t$. Mostre que
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2).$$
Tome $t = 1$ em $\displaystyle \frac{df}{dt}(t^{2},2t) = 2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^{2},2t) + 2\frac{\partial f}{\partial y}(t^{2},2t) = 3t^{2} - 3.$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$
$z=e^{x+2y}$, $x=s/t$, $y=t/s$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{x + st}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}} \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{x + st}\left(\frac{2}{s} - \frac{s}{t^{2}} \right) $.
Encontre $\partial w/ \partial r$ quando $r=1$, $s=-1$ se $w=(x+y+z)^{2}$, $x=r-s$, $y=\cos(r+s)$, $z=\sin(r+s).$
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}(x(1,-1),y(1,-1),z(-1,1)) = 12.$
Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$.
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^{2} - 1}{3z^{2} - 1}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3y^{2} - 1}{3z^{2} - 1}.$
Nos item abaixo:
- expresse $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ como uma função de $t$, usando a Regra da Cadeia, expressando $w$ em termos de $t$ e diferenciando em relação a $t$;
- calcule $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ no valor dado de $t$.
$w=x^{2}+y^{2}$, $x=\cos{t}$, $y=\sin{t}$; $t=\pi.$
- $\displaystyle \frac{dw}{dt}(t) = 0.$
- $\displaystyle \frac{dw}{dt}(\pi) = 0.$
Mostre que qualquer função da forma
$$z=f(x+at)+g(x-at)$$
é uma solução da equação de onda
$$\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}.$$
(Sugestão: Tome $u=x+at$, $v=x-at$.)
Note que se $u = x + at$ e $v = x - at,$ então $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = a^{2}f''(u) + a^{2} g''(v)$e\\$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = f''(u) + g''(v).$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$
$z=\tan(u/v)$, $u=2s+3t$, $v=3s-2t$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{2u - 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2u + 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right))$.
Admita que, para todo $(x,y)$,
$$4y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2.$$
Calcule $g^{'}(t)$, sendo $g(t)=f(2\cos{t},\sin{t})$.
$g^{'}(t) = -1.$
Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:
- substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
- aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.
$z=\ln(1+x^{2}+y^{2})$, $x=\sin{3t}$ e $y=\cos{3t}.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 0.$
Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$.
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$e^{x+y+z}+xyz=1$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{e^{x + y + z} + yz}{e^{x + y + z} + xy}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{e^{x + y + z} + xz}{e^{x + y + z} + xy}.$
Use a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{d}z/\mathrm{d} t$ ou $\mathrm{d}w/ \mathrm{d}t.$
$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, $x=e^{2t}$, $y=e^{-2t}$.
$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{2xe^{2t} - 2ye^{2t}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$
Nos item abaixo:
- expresse $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ como uma função de $t$, usando a Regra da Cadeia, expressando $w$ em termos de $t$ e diferenciando em relação a $t$;
- calcule $\mathrm{d} w/\mathrm{d} t$ no valor dado de $t$.
$w=x^{2}+y^{2}$, $x=\cos{t}+\sin{t}$, $y=\cos{t}-\sin{t}$; $t=0.$
- $\displaystyle \frac{dw}{dt}(t) = 0.$
- $\displaystyle \frac{dw}{dt}(0) = 0.$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$u=\sqrt{r^{2}+s^{2}}$, $r=y+x\;\cos{t}$, $s=x+y\;\sin{t}$;
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ quando $x=1$, $y=2$, $t=0$.
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{4}{\sqrt{10}}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{2}{\sqrt{10}}.$
Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
$t=f(u,v,w)$, onde $u=u(p,q,r,s)$, $v=v(p,q,r,s)$, $w=w(p,q,r,s)$.
$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial p} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial p},$ $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial q} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial q},$
$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial r} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial r}$ e $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial s} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s}.$
Suponha que substituamos coordenadas polares $x=r\cos{\theta}$ e $y=r\sin{\theta}$ em uma função diferenciável $w=f(x,y).$
- Mostre que $$\frac{\partial w}{\partial r}=f_{x}\cos{\theta}+f_{y}\sin{\theta}$$ e $$\frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial \theta}=-f_{x}\sin{\theta}+f_{y}\cos{\theta}.$$
- Resolva as equações no item 1. para expressar $f_{x}$ e $f_{y}$ em termos de $\partial w/ \partial r$ e $\partial w/\partial \theta$.
- Mostre que $$(f_{x})^{2}+(f_{y})^{2}=\bigg(\frac{\partial w}{\partial r}\bigg)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\bigg(\frac{\partial w}{\partial \theta}\bigg)^{2}.$$
- $\displaystyle f_{x} = \cos(\theta) \frac{\partial w}{\partial r} - \frac{\sin (\theta)}{r} \frac{\partial w}{\partial \theta}$ e $\displaystyle f_{y} = \sin(\theta) \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\cos (\theta)}{r} \frac{\partial w}{\partial \theta}.$
$f(t)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que $g(t,f(t))=0$ para todo $t$. Suponha $f(0)=1$,
$\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,1)=2$ e $\dfrac{\partial g}{\partial y}(0,1)=4$. Determine a equação da reta tangente a $\gamma(t)=(t,f(t))$,
no ponto $\gamma(0).$
$\displaystyle (x,y) = (0,1) + \lambda \left(1, - \frac{1}{2}\right),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Se $z=f(x,y)$, onde $x=r^{2}+s^{2}$ e $y=2rs$, determine $\partial^{2}z/\partial r\partial s.$
$\displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial r\partial s} = 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} + (4r^{2} + 4s^{2}) \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} + 2 \frac{\partial z}{\partial y}.$
No item abaixo:
- expresse $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ como funções de $u$ e $v$, usando a Regra da Cadeia e também expressando $w$ diretamente em termos e $u$ e $v$ antes de diferenciar;
- calcule $\partial w/\partial u$ e $\partial w/ \partial v$ no ponto dado $(u,v)$.
$w=xy+yz+xz$, $x=u+v$, $y=u-v$, $z=uv$; $(u,v)=(1/2,1).$
- $\displaystyle w(u,v) = u^{2} - v^{2} + 2u^{2}v,$$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(u,v) = 2u + 4uv$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(u,v) = -2v + 2u^{2}.$
- $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(-2,0) = 3$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(-2,0) = -\frac{3}{2}.$
Calcule $\mathrm{d} z/\mathrm{d} t$ por dois processos:
- substituindo as expressões para $x(t)$ e $y(t)$ em $z$ e depois derivando diretamente com relação a $t$
- aplicando a Regra da Cadeia: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y }\frac{dy}{dt}$.
$z=\sin(xy)$, $x=3t$ e $y=t^{2}.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 9t^{2}\cos(3t^{3}).$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$
$z=\arcsin(x-y)$, $x=s^{2}+t^{2}$, $y=1-2st$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2s + 2t}{\sqrt{1 - (x - y)^{2}}}$.
Seja $g(t)=f(3t,2t^{2}-1).$
- Expresse $g^{'}(t)$ em termos das derivadas parciais de $f$.
- Calcule $g^{'}(0)$ admitindo $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,-1)=\dfrac{1}{3}.$
- $\displaystyle g'(t) = 3\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t^{2} - 1) + 4t \frac{\partial f}{\partial y}(3t,2t^{2} - 1).$
- $g'(0) = 1.$
Expresse $\partial z/\partial t$ em termos das derivadas parciais de $f$, sendo $z=f(x,y)$ e $x=t^{2}$ e $y=3t.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^{2},3t) + 3 \frac{\partial f}{\partial y}(t^{2},3t).$
Os lados iguais e o ângulo correspondente de um triângulo isósceles estão aumentando à razão de $3cm/h$ e $2^{\circ}/h$, respectivamente. Ache a taxa à qual a área do triângulo está aumentando no instante em que o comprimento de cada um dos
lados iguais é de $6$ metros e o ângulo correspondente é $60^{\circ}.$
$\approx 181559$ cm$^{2}/$h.
Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $y=y(x).$
Expresse $\mathrm{d} y/\mathrm{d} x$ em termos de $x$ e $y.$
$x^{2}y+\sin(y)=x$
$\displaystyle \frac{d y}{d x} = -\frac{2xy - 1}{x^{2} + \cos(y)}.$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$z=x^{2}+xy^{3}$, $x=uv^{2}+w^{3}$, $y=u+ue^{w}$;
$\dfrac{\partial z}{\partial u}$, $\dfrac{\partial z}{\partial v}$, $\dfrac{\partial z}{\partial w}$ quando $u=2$, $v=1$, $w=0$.
$\dfrac{\partial z}{\partial u} = 85$, $\dfrac{\partial z}{\partial v} = 178$, $\dfrac{\partial z}{\partial w} = 54.$
Suponha que, para todo $x$,$f(3x,x^{3})=\arctan(x)$.
- Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1)$ admitindo $\dfrac{\partial f}{\partial y}(3,1)=2$.
- Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(3,1,f(3,1))$.
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1) = -\frac{11}{6}.$
- $\displaystyle z - \frac{\pi}{4} = -\frac{11}{6}(x - 3) + 2(y - 1).$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$
$z=e^{r}\cos{\theta}$, $r=st$, $\theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}}$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{r} \left( t\cos(\theta) - \frac{s}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{r} \left( s\cos(\theta) - \frac{t}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right).$
Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
$w=f(r,s,t)$, onde $r=r(x,y)$, $s=s(x,y)$, $t=t(x,y)$.
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}$
Seja $g(x,y)=f(x^{2}+y^{2})$, onde $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função diferenciável. Mostre que
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$
Observe que $f$ é uma função de uma variável. Logo, utilizando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, obtemos
$$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2x)$$
e
$$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2y).$$
Portanto
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$
Se $z=f(x,y)$ com $x=u+v$ e $y=u-v$, demonstre que
$$\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=2 \frac{\partial f}{\partial x}.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}.$
Se $z=f(x,y)$, onde $x=r\cos{\theta}$ e $y=r\sin{\theta}$,
- Determine $\dfrac{\partial z}{\partial r}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial \theta}.$
- Mostre que $\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg)^{2}+ \bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)^{2}=\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial r}\bigg)^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\bigg)^{2}$.
- $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial z}{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial z}{\partial y} $e$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r \sin(\theta)\frac{\partial z}{\partial x} + r\cos(\theta) \frac{\partial z}{\partial y}.$
- Use $(a)$ para calcular $\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial r}\bigg)^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\bigg)^{2}$.
Suponha que $u=f(x,y)$ e $v=g(x,y)$ verifiquem as equações de Cauchy- Riemann $u_{x}=v_{y}$ e $u_{y}=-v_{x}$. Se $x=r\cos{\theta}$ e
$y=r\sin{\theta}$, mostre que
$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \text{ e } \frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \cos(\theta) u_{x} + \sin (\theta) u_{y},$ $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} = \cos(\theta) v_{x} + \sin (\theta) v_{y},$
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin(\theta) u_{x} + r \cos(\theta) u_{y}$ e $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta} = - r\sin(\theta) v_{x} + r \cos(\theta) v_{y}$.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$Y=w\tan^{-1}(uv)$, $u=r+s$, $v=s+t$; $w=t+r$
$\dfrac{\partial Y}{\partial r}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial s}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial t}$ quando $r=1$, $s=0$, $t=1$.
$\displaystyle \frac{\partial Y}{\partial r} = 1 + \frac{\pi}{4}$ ,$\dfrac{\partial Y}{\partial s} = 2$, $\displaystyle \dfrac{\partial Y}{\partial t} = 1 + \frac{\pi}{4}.$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t,$ onde
$$z=\sin{\theta}\cos{\phi}, \quad \theta=st^{2}, \quad \phi=s^{2}t.$$
Utilizando a Regra de Cadeia, obtemos
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial s} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial s} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(t^2) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(2st) \\
& = & t^2\cos(st^2)\cos(s^2t) - 2st\sin(st^2)\sin(s^2t)
\end{eqnarray*}
e
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial t} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial t} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(2st) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(s^2) \\
& = & 2st\cos(st^2)\cos(s^2t) - s^2\sin(st^2)\sin(s^2t).
\end{eqnarray*}
Considere a função $F(x,y)=f\bigg(\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{x}\bigg)$. Mostre que
$$x\dfrac{\partial F}{\partial x}+y\dfrac{\partial F}{\partial y}=0.$$
Note que$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x^{2}} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) + \frac{1}{x} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right).$
Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t.$
$z=x^{2}y^{3}$, $x=s\cos{t}$, $y=s\sin{t}$.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = 2xy^{3} \cos(t) + 3x^{2}y^{2} \sin(t) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = -2sxy^{3} \sin(t) + 3 sx^{2}y^{2} \cos(t)$.
Se $f(u,v,w)$ é diferenciável, $u=x-y$, $v=y-z$ e $w=z-x$, mostre que
$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=0.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial w}, $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{\partial f}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial w}.$
Seja $z=f(u-v,v-u)$. Verifique que
$$\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=0.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}(u-v,v-u) - \frac{\partial f}{\partial y}(u-v,v - u)$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = -\frac{\partial f}{\partial x}(u-v,v-u) + \frac{\partial f}{\partial y}(u-v,v - u).$
Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levadas em conta, a pressão $P$, o volume $V$ e a temperatura $T$
de um mol de gás confinado estão relacionados pela {\it equação de van der Waals}
$$\bigg(P+\frac{a}{V^{2}}\bigg)(V-b)=kT,$$
em que $a$, $b$ e $k$ são constantes positivas. Se $t$ é o tempo, estabeleça uma fórmula para $\mathrm{d}T/ \mathrm{d}t$ em termos de $\mathrm{d}P/\mathrm{d} t$,
$\mathrm{d} V/\mathrm{d}t$, $P$ e $V$.
$\displaystyle \frac{dT}{dt} = \frac{1}{k} \left( \left(\frac{dP}{dt} - \frac{2a}{V^{3}} \frac{dV}{dt}\right)(V - b) + \left( P + \frac{a}{V^{2}} \right) \frac{dV}{dt} \right).$
Se $z=f(x,y)$, onde $f$ é diferenciável, e $x=g(t)$, $g(3)=2$, $g'(3)=5$, $f_{x}(2,7)=6$, $y=h(t)$, $h(3)=7$, $h'(3)=-4$, $f_{y}(2,7)=-8,$ determine $\mathrm{d}z/ \mathrm{d}t$ quando $t=3.$
$\displaystyle \frac{dz}{dt}(3) = 62.$
Seja $g(t)=f(3t^{2},t^{3},e^{2t})$ e suponha $\dfrac{\partial f}{\partial z}(0,0,1)=4.$
- Expresse $g^{'}(t)$ em termos das derivadas parciais de $f.$
- Calcule $g^{'}(0).$
- $\displaystyle g^{'}(t) = 6t \frac{\partial f}{\partial x}(3t^{2},t^{3},e^{2t}) + 3t^{2} \frac{\partial f}{\partial y}(3t^{2},t^{3},e^{2t}) + 2e^{2t} \frac{\partial f}{\partial z}(3t^{2},t^{3},e^{2t}).$
- $g^{'}(0) = 8.$
Suponha que $w=f(x,y)$ é diferenciável e que exista uma constante $\alpha$ tal que
$x=u\cos(\alpha)-v\sin(\alpha)$
$y=u\sin(\alpha)+v\cos(\alpha).$
Mostre que
$$\bigg(\frac{\partial w}{\partial u}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial v}\bigg)^{2}=\bigg(\frac{\partial w}{\partial x}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial y}\bigg)^{2}.$$
Note que $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u} = \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v} = -\sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}.$