Diferenciabilidade e Plano Tangente

Este aplicativo mostra a função $f$ e seu plano tangente no ponto $P=(x_0,y_0)$, bem como a aproximação linear de $f$, pelo plano tangente no ponto $Q=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$, próximo ao ponto de tangência.

Considere a equação do plano tangente neste ponto: $T(x,y)=f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$.

O erro cometido nesta aproximação é visto pelo traço vermelho mais forte. $\text{Erro }=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-T(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$.

Se f for diferenciável, como é o caso do exemplo, vê-se que o limite do erro sobre a distância de $Q$ a $P$, tende a zero quando o ponto Q tende ao ponto P. Para ver isto, arraste o ponto $Q$ para o ponto $P$, com o mouse.

Exemplo de uma superfície que não tem plano tangente na origem

Este aplicativo mostra o gráfico de uma superfície, um cone, que não possui plano tangente na origem. 

Talvez pudéssemos pensar que o plano $z=0$, é um plano tangente ao cone na origem, mas por mais que se dê zoom na origem, a superfície nunca se confunde com o plano $z=0$ na origem, ou seja, nunca é suficientemente bem aproximada por este plano. 

Veja, também, que se você arrastar o ponto $Q$ sobre $P=(0,0)$, o limite permanece inalterado. 

Observe ainda que em qualquer outro ponto $P$ diferente da origem, existe um plano tangente à superfície em P. Ou seja, em qualquer outro ponto $P$ a superfície pode ser suficientemente bem aproximada pelo plano de tangência.